Punti di non derivabilità: punto angoloso, cuspide e flesso a tangente verticale

Al liceo linguistico, a quello delle scienze umane e in buona parte dei licei classici le derivate si iniziano a novembre-dicembre di quinta, e la verifica cade tipicamente a gennaio. Mancano otto-dieci settimane, quindi puoi permetterti di portarti avanti di un passo rispetto al professore, e conviene farlo proprio su questo punto: nei testi di verifica la domanda “studia la derivabilità” o “classifica i punti di non derivabilità” arriva quasi sempre, e non si risolve a memoria.

In questo post c’è solo questo argomento, con il metodo completo e quattro esercizi. Cos’è la derivata, le regole di calcolo e la regola della catena sono in derivate spiegate bene: se ti manca quel pezzo, parti da lì. Qui diamo per scontato di saper derivare e ci concentriamo su cosa succede nei punti dove la derivata non c’è.

Continuità e derivabilità: un’implicazione sola

Una funzione derivabile in $x_0$ è continua in $x_0$. La dimostrazione sono tre righe: se esiste il limite del rapporto incrementale, vale

e quindi $f(x)\to f(x_0)$. Il viceversa è falso: $f(x)=|x|$ è continua in $0$ ma non derivabile. Ne segue una regola pratica che evita un sacco di errori: prima la continuità, poi la derivabilità. Se in un punto c’è un salto, non serve nemmeno calcolare le derivate; se non c’è continuità non c’è derivabilità. (Sulle discontinuità c’è il richiamo in limiti e asintoti; se vieni dal linguistico, anche funzioni e limiti in quinta al linguistico riprende i casi.)

Derivata destra e sinistra

La derivata in $x_0$ è il limite del rapporto incrementale. Quel limite esiste solo se i due limiti laterali esistono e coincidono:

$f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se $f_{+}^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0)$ e il valore comune è finito. I tre tipi di punto di non derivabilità nascono da come questa condizione fallisce.

I tre tipi, con il criterio dei limiti

Calcolare il limite del rapporto incrementale va sempre bene ma è lungo. Nella pratica si usa il criterio: se $f$ è continua in $x_0$ ed esiste il limite di $f^{\prime }(x)$ per $x\to x_0^{\pm }$, allora le derivate laterali sono quei limiti. (È una conseguenza del teorema di Lagrange, di cui trovi le condizioni nel post sui teoremi di Rolle, Lagrange e De L’Hôpital.) Si deriva la funzione fuori dal punto, e si guardano i due limiti:

La condizione “la funzione è continua in $x_0$” non si salta: il criterio vale solo con quella. Per questo i testi dicono sempre “dopo aver verificato la continuità”.

Un modo per ricordare cuspide e flesso senza sbagliare: nella cuspide la derivata cambia segno (il grafico torna indietro, come in un massimo o minimo a punta); nel flesso a tangente verticale la derivata mantiene il segno (la funzione continua a salire, o a scendere, solo molto ripida).

Dove cercare: valori assoluti, radici, funzioni a tratti

I punti sospetti compaiono in tre situazioni:

1. Valore assoluto $|g(x)|$: si sospetta dove $g(x)=0$.
2. Radici ed esponenti frazionari, per esempio $\sqrt[3]{x}$ o $x^{2/3}$: si sospetta dove la base si annulla.
3. Funzione definita a tratti: si sospetta nel punto in cui si cambia espressione.

Sul valore assoluto c’è una regola che fa risparmiare tempo. Se $f=|g|$ e $g(x_0)=0$ con $g^{\prime }(x_0)\ne 0$, allora $x_0$ è sempre un punto angoloso, con derivate laterali $\pm |g^{\prime }(x_0)|$: il segno di $g$ cambia, e $f$ passa da $g$ a $-g$. Se invece $g^{\prime }(x_0)=0$ non si può concludere a occhio e va fatto il limite.

Esercizio 1: valore assoluto

Trova i punti di non derivabilità di $f(x)=|x^2-4|$ e classificali.

1. Dove $g=x^2-4$ si annulla. Per $x=\pm 2$. Negli altri punti $f$ è derivabile perché composta da funzioni derivabili.

2. Scrivo $f$ a tratti.

3. Derivata fuori dai punti sospetti. $f^{\prime }(x)=2x$ per $x<-2$ e per $x>2$; $f^{\prime }(x)=-2x$ per $-2<x<2$.

4. Limiti di $f^{\prime }$ nei due punti. Continuità: $f(\pm 2)=0$ da entrambi i lati, ok.

In $x=2$:

In $x=-2$:

In entrambi i punti i limiti sono finiti e diversi: $x=2$ e $x=-2$ sono punti angolosi. Torna con la regola: $g^{\prime }(\pm 2)=\pm 4$, quindi le derivate laterali sono $\pm |g^{\prime }|=\pm 4$. Nota anche che $x=0$, dove $f$ ha il massimo relativo $f(0)=4$, è un punto perfettamente liscio con $f^{\prime }(0)=0$: non tutti gli estremi stanno su uno spigolo.

Se l’esercizio sulla derivabilità ti sembra a posto e vuoi provarti sull’intero capitolo, la verifica simulata sulle derivate è fatta per questo: la risposta corretta di ogni quesito è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: una cuspide, con la derivata della composta

Studia la derivabilità di $f(x)=2-(x+1{)}^{2/3}$ in $x=-1$.

1. Continuità. Per $x<-1$ la potenza va letta come $(\sqrt[3]{x+1}{)}^2$, quindi $f$ è definita e continua su tutto $\mathbb{R}$, e $f(-1)=2$.

2. Derivata fuori da $x=-1$. La base è $x+1$: serve la regola della catena. Con $\frac{d}{dx}(x+1{)}^{2/3}=\frac{2}{3}(x+1{)}^{-1/3}\cdot 1$:

3. Limiti. Se $x\to -1^{+}$, $\sqrt[3]{x+1}\to 0^{+}$, quindi $f^{\prime }(x)\to -\infty$. Se $x\to -1^{-}$, $\sqrt[3]{x+1}\to 0^{-}$ (la radice cubica mantiene il segno), quindi $f^{\prime }(x)\to +\infty$.

I due limiti sono infiniti di segno opposto: $x=-1$ è una cuspide. Controllo con il rapporto incrementale: $\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\frac{-(x+1{)}^{2/3}}{x+1}=-(x+1{)}^{-1/3}$, che dà lo stesso comportamento. E $f(-1)=2$ è un massimo assoluto, perché $(x+1{)}^{2/3}\ge 0$ sempre: la cuspide è la cima.

Esercizio 3: un flesso verticale, e il caso che sembra e non è

a) Classifica $x=1$ per $f(x)=x+\sqrt[3]{x-1}$.

$f$ è continua su $\mathbb{R}$. Fuori da $x=1$:

Per $x\to 1$ da qualunque lato $\sqrt[3]{(x-1{)}^2}\to 0^{+}$ (il quadrato rende positivo ciò che sta sotto), quindi $f^{\prime }(x)\to +\infty$ da entrambe le parti. Stesso segno: flesso a tangente verticale (ascendente). Il grafico attraversa la retta $x=1$ salendo sempre.

b) Studia $f(x)=x\sqrt{|x|}$ in $x=0$.

C’è una radice con lo zero sotto, e il riflesso è dire “non derivabile”. Calcolo il rapporto incrementale in $0$:

Il limite è finito e uguale da destra e da sinistra: la funzione è derivabile in $0$, con $f^{\prime }(0)=0$. Coerente con il criterio: fuori da $0$, $f^{\prime }(x)=\frac{3}{2}\sqrt{|x|}\to 0$. Il segnale “radice, valore assoluto” dice dove guardare, non cosa troverai.

Esercizio 4: funzione a tratti con parametri

Determina $a$ e $b$ in modo che

sia derivabile in $x=1$.

La derivabilità richiede due condizioni, e servono entrambe.

1. Continuità in $x=1$: i due rami devono dare lo stesso valore. Da sinistra $f(1)=1+a+b$, da destra $\ln 1=0$:

2. Derivate laterali uguali. Con la continuità assicurata uso il criterio dei limiti. Derivo i due rami: $2x+a$ e $\frac{1}{x}$. In $x=1$ valgono $2+a$ e $1$:

Dalla prima condizione $b=-1-a=0$. Quindi $a=-1$, $b=0$, con $f(x)=x^2-x$ per $x\le 1$.

Verifica con il rapporto incrementale. A sinistra $\frac{x^2-x-0}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x\to 1$; a destra $\frac{\ln x}{x-1}\to 1$ (limite notevole). Le due derivate laterali valgono $1$: derivabile con $f^{\prime }(1)=1$.

Cosa succede se imposto solo la continuità? Per esempio $a=0$, $b=-1$: i due rami si incontrano, ma le derivate laterali sono $2$ a sinistra e $1$ a destra. Punto angoloso. È la differenza che il testo vuole vedere: una funzione può essere continua senza essere derivabile, e il parametro serve a “lisciare” lo spigolo.

Gli errori che costano punti

1. Dire “derivabile” perché è continua. Il controesempio $|x|$ vale una domanda di teoria quasi ogni anno.

2. Confondere cuspide e flesso. Entrambi hanno derivate infinite. Si distinguono solo dal segno dei due limiti: opposti, cuspide; uguali, flesso. Scrivi i due segni uno accanto all’altro prima di rispondere.

3. Semplificare male una radice. $\sqrt{(x-1{)}^2}=|x-1|$, non $x-1$. Chi semplifica senza il valore assoluto si perde lo spigolo in $x=1$.

4. Dichiarare non derivabile ogni punto con una radice o un valore assoluto. Come in $x\sqrt{|x|}$, che è derivabile. Prima si calcola.

5. Dimenticare che il criterio dei limiti vuole la continuità. Nelle funzioni a tratti prima si controlla che i rami si incontrino: se c’è un salto, $f$ non è derivabile e hai finito.

Come usare le settimane che mancano

Prendi tre funzioni a tratti e tre con valore assoluto o radice, e per ognuna scrivi: dominio, continuità, derivata fuori dal punto, i due limiti, classificazione. Fai sempre tutti e cinque i passaggi, anche quando l’esito ti sembra ovvio. Poi passa a studio di funzione con la derivata prima, dove questi punti entrano nella tabella dei segni e possono essere massimi o minimi.

Se dopo qualche esercizio vedi che il calcolo regge ma la classificazione no, o il contrario, nelle ripetizioni di matematica lavoriamo proprio su questo. Se vuoi, la diagnosi gratuita è su /contatti/; intanto la verifica simulata sulle derivate ti dice quali argomenti del capitolo sono i tuoi punti deboli.