Teoremi di Rolle, Lagrange e De L'Hôpital: esercizi svolti

In quinta superiore le derivate partono tra metà ottobre e novembre. I teoremi (Rolle, Lagrange, Cauchy, De L’Hôpital) arrivano di solito a fine novembre, quando le regole di derivazione sono già state spiegate. La verifica sulle derivate cade a dicembre, cioè fra otto e dieci settimane da oggi. Questa guida vale per il liceo scientifico e per ogni liceo che abbia la matematica in quinta. La pubblico adesso perché sia già leggibile quando il professore arriva ai teoremi: nelle mie lezioni vedo che è il punto in cui molti studenti smettono di capire e iniziano a ricopiare.

Qui parlo solo dei teoremi. Per le regole di derivazione e i punti di non derivabilità c’è derivate spiegate bene, per il contorno di analisi trovi limiti e asintoti e lo studio di funzione con la derivata prima. Il quadro dell’intero anno è nel programma e formulario di quinta.

Il metodo in una riga

Un teorema di analisi è una macchina: se le ipotesi sono vere, la tesi segue. Se anche una sola ipotesi manca, la macchina non dice niente (non dice che la tesi è falsa, dice solo che non puoi usarla). La verifica dà punti per due cose distinte: aver controllato le ipotesi e aver tratto la conclusione. Chi salta il controllo perde metà del punteggio anche se il risultato è giusto.

Teorema di Rolle

Enunciato. Sia $f$ una funzione tale che:

1. $f$ è continua nell’intervallo chiuso $[a,b]$;
2. $f$ è derivabile nell’intervallo aperto $(a,b)$;
3. $f(a)=f(b)$.

Allora esiste almeno un punto $c\in (a,b)$ tale che

Significato geometrico. Se il grafico parte e arriva alla stessa altezza, da qualche parte nel mezzo c’è una tangente orizzontale. Il punto può essere un massimo, un minimo o un flesso a tangente orizzontale.

Errore numero 1: dire “vale Rolle” senza controllare. Prendi $f(x)=|x|$ su $[-1,1]$. La funzione è continua, e $f(-1)=f(1)=1$. Ma non esiste nessun punto con derivata nulla: a sinistra di zero la derivata è $-1$, a destra è $+1$, e in $x=0$ la funzione non è derivabile. Qui fallisce la seconda ipotesi. Il teorema non è sbagliato: semplicemente non si applica.

Teorema di Lagrange

Enunciato. Sia $f$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$. Allora esiste $c\in (a,b)$ tale che

Significato geometrico. Esiste un punto in cui la tangente è parallela alla corda che unisce gli estremi del grafico. Rolle è il caso particolare in cui la corda è orizzontale, cioè $f(a)=f(b)$.

Significato fisico. Se in due ore percorri 150 km, la velocità media è 75 km/h, e in almeno un istante il tachimetro ha segnato esattamente 75. È l’argomento con cui un’autorità può multare qualcuno senza averlo mai visto superare il limite: basta confrontare due passaggi.

Due corollari che escono spesso in verifica.

• Se $f^{\prime }(x)=0$ in tutto un intervallo, allora $f$ è costante in quell’intervallo. Di conseguenza due funzioni con la stessa derivata differiscono per una costante: è il motivo per cui nell’integrale compare il "$+c$".
• Se $f^{\prime }(x)>0$ in un intervallo, allora $f$ è strettamente crescente (se $f^{\prime }(x)<0$, decrescente). È la giustificazione teorica del metodo dello studio del segno della derivata prima.

Cauchy in tre righe

Date $f$ e $g$ continue in $[a,b]$ e derivabili in $(a,b)$, con $g^{\prime }(x)\ne 0$ in $(a,b)$, esiste $c\in (a,b)$ tale che

Con $g(x)=x$ ritrovi Lagrange. Serve soprattutto come passaggio per dimostrare De L’Hôpital: all’orale può essere richiesto, in uno scritto quasi mai.

Come si verifica l’applicabilità

Quando il testo dice “verifica che la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di … nell’intervallo … e determina i punti $c$”, la risposta ha tre parti, sempre nello stesso ordine.

1. Continuità in $[a,b]$. Una funzione elementare (polinomio, esponenziale, seno, coseno) è continua dove è definita. Per razionali, radici e logaritmi guarda dove il denominatore si annulla o dove l’argomento esce dal dominio. Per funzioni definite a tratti calcola i limiti destro e sinistro nel punto di raccordo e confrontali con il valore.
2. Derivabilità in $(a,b)$. Calcola la derivata e individua dove non esiste. Valore assoluto, radici con esponente frazionario e raccordi a tratti sono i sospetti abituali. Ricorda che gli estremi non contano: bastano punti interni.
3. Per Rolle, $f(a)=f(b)$. Calcola i due valori e confrontali, scrivendoli.

Solo dopo scrivi “le ipotesi sono soddisfatte, quindi esiste $c$” e passi a cercarlo. Il punto $c$ si trova risolvendo l’equazione $f^{\prime }(x)=0$ (Rolle) oppure $f^{\prime }(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ (Lagrange), e poi scartando le soluzioni fuori da $(a,b)$. Lo vedo dimenticare spesso: l’equazione ha due soluzioni, una sola è nell’intervallo, e lo studente le elenca tutte e due.

Esercizio 1: verificare Rolle e trovare $c$

Verifica che $f(x)=x^3-3x$ soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle in $[0,\sqrt{3}]$ e determina i punti $c$.

Continuità e derivabilità. $f$ è un polinomio, quindi continua e derivabile su tutto $\mathbb{R}$, in particolare in $[0,\sqrt{3}]$ e in $(0,\sqrt{3})$.

Valori agli estremi.

Quindi $f(0)=f(\sqrt{3})$ e le tre ipotesi sono verificate.

Ricerca di $c$. La derivata è $f^{\prime }(x)=3x^2-3$. Imponiamo $f^{\prime }(x)=0$:

Solo $x=1$ appartiene a $(0,\sqrt{3})$, perché $\sqrt{3}\approx 1,73$. Dunque $c=1$. Il valore $x=-1$ va scartato: è fuori dall’intervallo (sarebbe un altro punto valido se l’intervallo fosse $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$).

Prima di passare agli esercizi successivi, se vuoi allenarti a controllare le ipotesi su molti casi, c’è la verifica di matematica di quinta sulle derivate: la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: Lagrange e una disuguaglianza

Parte a. Trova il punto $c$ del teorema di Lagrange per $f(x)=x^3-2x$ in $[0,2]$.

$f$ è un polinomio, quindi continua e derivabile ovunque. Calcoliamo i valori agli estremi:

Il coefficiente angolare della corda è

La derivata è $f^{\prime }(x)=3x^2-2$. Imponiamo $f^{\prime }(x)=2$:

Solo il valore positivo sta in $(0,2)$, perché $\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,15$. Quindi $c=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Parte b. Dimostra che per ogni $a,b$ reali vale

Se $a=b$ la disuguaglianza è $0\le 0$ ed è vera. Supponiamo $a<b$ (l’altro caso è simmetrico, perché entrambi i membri non cambiano scambiando $a$ e $b$). La funzione $\sin x$ è continua e derivabile su tutto $\mathbb{R}$, quindi su $[a,b]$ vale Lagrange: esiste $c\in (a,b)$ con

cioè $\sin b-\sin a=\cos c(b-a)$. Passando ai valori assoluti:

perché $|\cos c|\le 1$ per ogni $c$. La tecnica è sempre la stessa: scrivi il rapporto incrementale, sostituisci con la derivata calcolata in un punto non noto, poi maggiori o minori la derivata con una stima nota.

De L’Hôpital: condizioni e quando non usarlo

Enunciato. Siano $f$ e $g$ derivabili in un intorno di $x_0$ (escluso al più $x_0$), con $g^{\prime }(x)\ne 0$ in quell’intorno. Se il limite del rapporto $\frac{f(x)}{g(x)}$ per $x\to x_0$ si presenta nella forma $\frac{0}{0}$ oppure $\frac{\infty }{\infty }$, e se esiste il limite

allora il limite di partenza esiste e ha lo stesso valore. Il teorema vale anche per $x\to \pm \infty$ e per i limiti laterali.

Le tre condizioni da dichiarare nello svolgimento: la forma indeterminata, la derivabilità, l’esistenza del limite del rapporto delle derivate. Se quest’ultimo non esiste, il teorema non dice nulla sull’originale. Esempio classico: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+\sin x}{x}$ è del tipo $\frac{\infty }{\infty }$, il rapporto delle derivate è $1+\cos x$, che oscilla e non ha limite. Eppure il limite vero esiste e vale $1$ (dividi numeratore e denominatore per $x$). De L’Hôpital qui non serve e non funziona.

Quando NON usarlo.

• Forme non indeterminate. ${\lim }_{x\to 0}\frac{x+2}{x}$ non è $\frac{0}{0}$: il numeratore tende a $2$. Chi deriva comunque ottiene $\frac{1}{1}=1$, risposta sbagliata (il limite è infinito, da destra $+\infty$, da sinistra $-\infty$). Prima di derivare scrivi sempre la forma.
• Limiti notevoli circolari. Per dimostrare che ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ non puoi usare De L’Hôpital, perché la derivata del seno si ricava proprio da quel limite. In un esercizio di calcolo puoi usarlo senza problemi, ma in una dimostrazione dei limiti notevoli sarebbe un ragionamento che si morde la coda.
• Quando un’altra strada è più corta. Un rapporto di polinomi con $x\to \infty$ si risolve confrontando i gradi.

Forme da ricondurre. De L’Hôpital si applica solo a rapporti. Una forma $0\cdot \infty$ si riscrive come quoziente portando un fattore al denominatore (come reciproco): $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$. Una forma $\infty -\infty$ si riscrive con denominatore comune o raccoglimento, fino a ottenere un rapporto.

Esercizio 3: tre limiti con De L’Hôpital

a) Forma $\frac{0}{0}$.

Numeratore: $e^0-1-0=0$. Denominatore: $0$. Forma $\frac{0}{0}$, funzioni derivabili. Deriviamo:

Ancora $\frac{0}{0}$. Deriviamo di nuovo:

Il limite del rapporto delle derivate esiste, quindi il limite iniziale vale $\frac{1}{2}$.

b) Forma $0\cdot \infty$.

Il primo fattore tende a $0$, il secondo a $-\infty$. Scriviamo

che per $x\to 0^{+}$ è del tipo $\frac{-\infty }{+\infty }$, quindi $\frac{\infty }{\infty }$ in valore assoluto. Deriviamo numeratore e denominatore:

Il limite vale $0$. Se avessi scritto invece $x\ln x=\frac{x}{1/\ln x}$ i conti sarebbero diventati più complicati: la scelta di quale fattore mettere al denominatore conta, e la regola pratica è tenere al numeratore il logaritmo e mettere al denominatore la potenza.

c) Forma $\infty -\infty$.

Denominatore comune:

Per $x\to 0$ numeratore e denominatore tendono a $0$: forma $\frac{0}{0}$. Deriviamo:

Di nuovo $\frac{0}{0}$ (numeratore $\cos 0-1=0$, denominatore $0+0=0$). Deriviamo ancora:

Il limite vale $0$. Nota il passaggio sul denominatore: la derivata di $\sin x+x\cos x$ è $\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x$.

Gli errori che vedo di più

• Applicare il teorema senza scrivere le ipotesi. Il risultato può essere giusto e il punteggio comunque dimezzato.
• Non scartare le soluzioni fuori intervallo nella ricerca di $c$.
• Usare Rolle senza controllare che gli estremi abbiano lo stesso valore, o scambiare Rolle con Lagrange.
• Derivare il quoziente come $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ quando si fa il limite del rapporto, ma anche quando il rapporto è una funzione da derivare. De L’Hôpital deriva numeratore e denominatore separatamente, la derivata del quoziente è un’altra regola. Sono due contesti diversi e vengono confusi.
• Ripetere De L’Hôpital senza ricontrollare la forma a ogni passaggio. Quando smette di essere indeterminata, si ferma.
• Non riconoscere i limiti che si risolvono in modo più rapido, con un limite notevole o un confronto tra infiniti.

Come usare queste settimane

Fino a fine novembre ha senso consolidare le regole di derivazione e la derivata della funzione composta, che è il punto dove le verifiche si perdono più punti. Quando il professore passa ai teoremi, rileggi gli enunciati e rifai a mano i tre esercizi di questa pagina senza guardare. Poi prova la verifica di matematica di quinta sulle derivate, in stagione da ottobre a maggio. Per il quadro generale della materia c’è la pagina di matematica.

Se i teoremi non ti tornano o vuoi capire se i buchi sono nelle derivate o nei limiti, scrivimi dalla pagina contatti: la diagnosi iniziale è gratuita e ti dico da dove conviene ripartire.