Ripetizioni di Matematica generale, online e senza passaggi saltati.
Studio di funzione, integrali, massimi con vincolo, sistemi con parametro: in Matematica generale lo scritto è una catena di esercizi in cui un errore di segno all'inizio arriva fino all'ultima riga. Lavoriamo 1-a-1 online sui tuoi esercizi, mettendo in ordine il procedimento prima del calcolo.
Partiamo da dove sei bloccato adesso.
Chi ci chiede aiuto in Matematica generale.
- Vieni da un percorso senza molta matematica e al primo anno di Economia ti trovi derivate, integrali e matrici tutti insieme.
- I calcoli ti riescono ma ti dimentichi le condizioni: dominio, vincolo, caso del determinante nullo.
- Confondi che cosa chiede la domanda: il punto di massimo, il valore del massimo o il moltiplicatore.
- Ripeti l'esame e ti serve un metodo per fare ogni esercizio sempre nello stesso ordine.
Come lavoriamo su Matematica generale.
- Uno schema per ogni tipo di esercizio: dominio e derivata per le funzioni, vincolo e lagrangiana per l'ottimizzazione, rango e determinante per i sistemi. Lo ripetiamo finché diventa abitudine.
- I tuoi esercizi, a voce alta: risolvi tu, io intervengo sul punto in cui il ragionamento si inceppa, così i passaggi saltati diventano visibili sulla lavagna condivisa.
- Allenamento a tempo con la simulazione di Matematica generale del sito e una correzione che spiega ogni errore.
Che cosa copre Matematica generale.
Il programma è molto ampio e cambia con il corso di laurea. Questo è il filo che si ritrova più spesso, con le applicazioni economiche dentro gli esercizi. Il programma ufficiale del tuo corso resta l'ultima parola: alla prima lezione lo guardiamo insieme e lavoriamo su quello.
- Funzioni, limiti e asintoti
- Dominio, funzione inversa e composta
- Limiti, confronto di infiniti e asintoti
- Continuità e grafici delle funzioni elementari
- Derivate e studio di funzione
- Regole di derivazione, prodotto, quoziente, composta
- Crescenza, massimi, minimi e convessità
- Elasticità, costo medio e profitto
- Integrali
- Integrali indefiniti, per parti e per sostituzione
- Integrale definito, area e valore medio
- Integrali impropri ed eccedenza del consumatore
- Funzioni di due variabili
- Derivate parziali, gradiente e piano tangente
- Funzioni omogenee e curve di livello
- Hessiano e natura dei punti stazionari
- Ottimizzazione
- Massimi e minimi liberi
- Moltiplicatori di Lagrange con un vincolo
- Problemi di produzione e di utilità
- Matrici, sistemi e serie
- Determinante, rango, inversa e regola di Cramer
- Rouché-Capelli, sistemi con parametro e modello di Leontief
- Serie numeriche, di potenze e matematica finanziaria
Com'è fatto di solito l'esame.
In molti corsi di Economia lo scritto dura due o tre ore e propone di solito quattro o cinque esercizi: uno studio di funzione o un integrale, un problema di ottimizzazione libera o vincolata, un sistema o un'operazione tra matrici, a volte una serie o un calcolo finanziario. Il formato esatto cambia, e gli appelli passati del tuo corso dicono molto più di una descrizione generale.
Di solito non si chiedono dimostrazioni: il voto dipende dall'arrivare al numero giusto con il procedimento in ordine. Proprio per questo gli errori sono piccoli e pesanti, perché un segno sbagliato in una derivata cambia tutti i punti critici e nessun passaggio successivo può rimediare.
Aiuta molto avere uno schema fisso per ogni tipo di esercizio: scrivere il dominio, poi la derivata, poi la tabella dei segni; scrivere il vincolo, poi la lagrangiana, poi il sistema. Con uno schema la fretta fa meno danni, e ricontrollare diventa una lettura veloce invece che un rifare tutto.
Tre errori che costano punti.
- Derivare prima di scrivere il dominio
Un logaritmo o una radice limitano l'insieme dove la funzione esiste, e un punto critico trovato fuori dal dominio non è un punto critico. Scrivi il dominio come prima riga di ogni studio di funzione, anche quando sembra ovvio.
- Dimenticare di sostituire il vincolo nella lagrangiana
Con un vincolo si scrive $\mathcal L=f-\lambda g$ e si azzerano le derivate rispetto a tutte le variabili, $\lambda$ compreso: l'ultima equazione è il vincolo stesso. Saltarla lascia un sistema sottodeterminato e porta a punti che non lo rispettano.
- Rispondere con il valore sbagliato
«Determina il punto di massimo» e «determina il valore massimo» sono domande diverse. Il punto è una coppia $(x,y)$, il valore è un numero. Sottolinea nel testo che cosa viene chiesto e scrivi quel dato, in una riga a parte, alla fine.
Un esercizio da appello, passo per passo.
Un massimo vincolato con Lagrange
Determina il punto di massimo di con il vincolo , per , e il valore del massimo.
Scriviamo la lagrangiana, mettendo il vincolo nella forma :
Azzeriamo le tre derivate parziali:
Da e segue e, dato che , . Nel vincolo: , quindi e .
Per controllare che sia un massimo sostituiamo e studiamo su . La derivata è positiva prima di e negativa dopo. Il massimo è in e vale .
Il punto di massimo è , il valore massimo è e il moltiplicatore è : tre risposte diverse a tre domande diverse, ed è il terzo errore dell'elenco qui sopra.
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Domande frequenti su Matematica generale.
Matematica generale è adatta a chi non ha fatto un liceo scientifico?
Sì, partiamo da quello che c'è. Se mancano le basi di algebra o di funzioni le ripassiamo dentro gli esercizi, quando servono, senza un corso a parte. Chi ha fatto poca matematica spesso recupera bene, a patto di lavorare con regolarità.
Come si studia l’elasticità senza impararla a memoria?
Come una derivata scalata: dice di quanto cambia in percentuale una grandezza se ne cambia l'altra dell'uno per cento. Capita la definizione, la formula si ricostruisce e gli esercizi di economia diventano esercizi di derivate come gli altri.
Quando conviene la regola di Cramer e quando Rouché-Capelli?
Cramer quando il sistema è quadrato e il determinante è diverso da zero: dà la soluzione in modo diretto. Rouché-Capelli quando c'è un parametro o la matrice non è quadrata: dice se ci sono soluzioni e quante, prima di calcolarle.
Vale la pena allenarsi con le serie e la matematica finanziaria?
Dipende dal corso, ma quando ci sono sono esercizi molto sistematici e quindi allenabili. Dopo un paio di appelli passati diventano tra le parti più rapide dello scritto, perché si riconducono a pochi schemi.
Gli altri esami che seguiamo.
- Analisi 1
Limiti, derivate, integrali, serie: esercizi da appello e orale sulle ipotesi dei teoremi.
Vedi la pagina → - Analisi 2
Più variabili, integrali multipli, campi e superfici: il disegno viene prima del calcolo.
Vedi la pagina → - Algebra lineare
Matrici, spazi vettoriali, autovalori e forme quadratiche: il lessico conta quanto i conti.
Vedi la pagina → - Fisica 1
Meccanica e termodinamica: il metodo per impostare il problema, simboli prima dei numeri.
Vedi la pagina → - Fisica 2
Elettrostatica, circuiti, magnetismo e induzione: prima la simmetria, poi il conto.
Vedi la pagina → - Statistica
Dal dataset al test d’ipotesi: il calcolo si fa in fretta, ciò che conta è saper leggere il risultato.
Vedi la pagina → - Probabilità
Combinatoria, Bayes, variabili aleatorie e Markov: contare bene prima di calcolare.
Vedi la pagina → - Chimica generale
Mole, equilibrio, acidi e basi, redox: bilanciare bene e saper dire perché.
Vedi la pagina → - Geometria
Rette e piani nello spazio, coniche e quadriche: il calcolo serve a riconoscere la figura.
Vedi la pagina → - Elettrotecnica
Reti, fasori, potenza e transitori: l’ordine con cui imposti il circuito decide il voto.
Vedi la pagina → - Meccanica razionale
Cinematica, statica, corpo rigido e Lagrange: scegliere bene le coordinate è metà dell’esame.
Vedi la pagina →
Per vedere un'applicazione economica della derivata leggi domanda, offerta ed elasticità; per i teoremi sulle derivate c'è Rolle, Lagrange e de l'Hôpital con esercizi.
Per allenarti prova la simulazione di Matematica generale; il quadro completo è alle ripetizioni universitarie e al programma di matematica.
Il tuo prossimo scritto, passaggio per passaggio.
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