Ripetizioni di Analisi 2, online: dal dominio al risultato.
Funzioni di più variabili, integrali doppi e tripli, curve, campi vettoriali e superfici: Analisi 2 cambia il modo di ragionare, perché prima del calcolo viene la geometria. Lavoriamo 1-a-1 online su esercizi del tuo corso, dal disegno del dominio fino alla verifica del risultato.
Partiamo da dove sei bloccato adesso.
Chi ci chiede aiuto in Analisi 2.
- Hai superato Analisi 1 ma con più variabili ti senti spaesato: derivate parziali, gradiente, matrice hessiana.
- Sbagli gli integrali multipli per il dominio o per il cambio di variabili, non per il calcolo in sé.
- Prepari l'orale: teoremi di Green, della divergenza e di Stokes, campi conservativi, serie di Fourier.
- Ripeti l'esame e vuoi capire perché lo scritto non è andato pur conoscendo le formule.
Come lavoriamo su Analisi 2.
- Il disegno prima del calcolo: per ogni esercizio costruiamo insieme il dominio, la curva o la superficie, e solo dopo scegliamo coordinate e ordine di integrazione.
- Le ipotesi accanto ai risultati: ogni volta che si usa un teorema scriviamo da che cosa dipende la sua validità, la stessa disciplina che serve all'orale.
- Allenamento a tempo con una simulazione e la correzione ragionata degli errori, prima dell'appello.
Che cosa copre Analisi 2.
I contenuti cambiano da corso a corso e da docente a docente: questa è la struttura che ritroviamo più spesso. Il programma ufficiale del tuo corso resta l'ultima parola: alla prima lezione lo guardiamo insieme e lavoriamo su quello.
- Più variabili
- Limiti, continuità e derivate parziali
- Gradiente, differenziabilità e piano tangente
- Massimi e minimi liberi con la matrice hessiana
- Vincoli e Lagrange
- Estremi vincolati e moltiplicatori di Lagrange
- Funzioni implicite e curve di livello
- Estremi su un dominio chiuso: interno e bordo
- Integrali multipli
- Integrali doppi, formule di riduzione
- Cambio di variabili: polari, cilindriche, sferiche
- Integrali tripli, volumi e baricentri
- Curve, campi e superfici
- Integrali curvilinei e lavoro di un campo
- Campi conservativi e potenziale
- Flusso, teoremi della divergenza, di Green e di Stokes
- Serie ed equazioni
- Serie di potenze e raggio di convergenza
- Serie di Fourier
- Equazioni differenziali lineari del secondo ordine
Com'è fatto di solito l'esame.
Lo scritto di Analisi 2 ha di solito tre o quattro esercizi di natura diversa: un integrale doppio o triplo, un problema di massimi e minimi, un esercizio su un campo vettoriale o su una superficie e, secondo il corso, una serie o un'equazione differenziale. Anche qui il formato dipende dal docente, e gli scritti passati sono la guida migliore.
A differenza di Analisi 1, quasi nessun esercizio si risolve con una sola tecnica: il passo che decide il voto è spesso il primo, cioè rappresentare il dominio e capire la geometria del problema. Chi parte subito con il calcolo tende a integrare su una regione sbagliata e a ottenere un numero pulito ma errato.
L'orale, quando c'è, ruota attorno ai teoremi, alla differenza tra campo conservativo e campo irrotazionale e alle ipotesi sui domini. Per questo in lezione teniamo sempre un disegno e un'ipotesi accanto a ogni risultato.
Tre errori che costano punti.
- Dimenticare il fattore del cambio di variabili
Passando a coordinate polari, cilindriche o sferiche cambia l'elemento di area o di volume: serve il fattore r in polari e in cilindriche, ρ² sin φ in sferiche. Senza lo jacobiano il conto è ordinato e il risultato è sbagliato.
- Dire «irrotazionale, quindi conservativo»
Il rotore nullo è una condizione necessaria; per essere sufficiente il dominio deve essere semplicemente connesso. Su un dominio con un buco, come il piano privato dell'origine, un campo può avere rotore nullo e non ammettere potenziale. Controlla il dominio prima di scrivere «esiste il potenziale».
- Cercare gli estremi solo all’interno
Su un dominio chiuso trovare i punti stazionari non basta: massimo e minimo possono stare sul bordo, dove il gradiente non si annulla. Serve parametrizzare il bordo, o usare Lagrange, e confrontare tutti i candidati.
Un esercizio da appello, passo per passo.
Un integrale doppio in coordinate polari
Calcoliamo l'integrale di sul quarto di corona circolare
Prima di calcolare, disegniamo il dominio: è la parte, nel primo quadrante, compresa tra due circonferenze di raggio e . La scelta naturale sono le coordinate polari.
Poniamo , . Il dominio diventa , e l'elemento di area è : il fattore è lo jacobiano, quello che si dimentica. Inoltre .
Il dominio è un rettangolo nelle variabili , quindi l'integrale si separa:
Senza il fattore si sarebbe integrato al posto di e il risultato sarebbe stato invece di : un numero pulito, ma sbagliato.
Simulazione di Analisi 2 a tempo.
Un test che mescola gli argomenti del programma come fa un appello vero, con correzione e punti deboli. È gratuito e non serve un account per provarlo.
Domande frequenti su Analisi 2.
Analisi 2 è più difficile di Analisi 1?
È diversa più che più difficile: meno calcolo ripetitivo, più geometria e più ipotesi da controllare. Chi era bravo con i calcoli di Analisi 1 spesso inciampa le prime volte, perché qui la scelta del metodo viene prima del calcolo.
Serve saper disegnare i domini?
Sì, ed è la prima abilità che alleniamo: dominio, curva o superficie disegnati a mano prima di scrivere un integrale. Con un disegno corretto la scelta delle coordinate e degli estremi diventa quasi automatica.
Gauss e Stokes servono solo all’orale?
No, compaiono anche nello scritto, spesso come modo più rapido di calcolare un flusso o una circuitazione. Il punto non è ricordare la formula ma sapere quando le ipotesi valgono e come orientare la superficie e il suo bordo.
Seguite anche serie di Fourier ed equazioni differenziali?
Sì, fanno parte del programma tipico di Analisi 2 e le trattiamo con lo stesso metodo: esercizi di appello, passaggi scritti e controllo finale del risultato.
Gli altri esami che seguiamo.
- Analisi 1
Limiti, derivate, integrali, serie: esercizi da appello e orale sulle ipotesi dei teoremi.
Vedi la pagina → - Algebra lineare
Matrici, spazi vettoriali, autovalori e forme quadratiche: il lessico conta quanto i conti.
Vedi la pagina → - Fisica 1
Meccanica e termodinamica: il metodo per impostare il problema, simboli prima dei numeri.
Vedi la pagina →
Se ti servono prima le basi del corso precedente, guarda la pagina dedicata ad Analisi 1.
Per il quadro completo vai alle ripetizioni universitarie e al programma di matematica.
Dal dominio al risultato, insieme.
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