Teorema di Gauss e flusso del campo elettrico

Al liceo scientifico la fisica di quarta ha tre ore a settimana, e fra ottobre e novembre arriva l’elettrostatica: carica, legge di Coulomb, campo elettrico. Il teorema di Gauss viene subito dopo, spesso la settimana in cui il professore ha appena finito Coulomb, e quella sera chi studia lo cerca con una domanda precisa: «cosa vuol dire flusso, e come si sceglie la superficie?». Il compito sul campo elettrico cade a gennaio, fra dieci e dodici settimane. C’è tempo: ma Gauss è l’argomento su cui si perde più terreno a metà del capitolo, e conviene capirlo la prima volta.

Questo post è per il liceo: niente calcolo vettoriale e niente divergenza, solo flusso, superfici chiuse e tre simmetrie. Per la versione universitaria c’è campo elettrico e legge di Gauss in Fisica 2.

Cos’è il flusso

Immagina la pioggia che cade su un telaio. Quanta ne passa attraverso dipende da tre cose: quanto è forte la pioggia, quanto è grande il telaio, come è inclinato. Il flusso del campo elettrico fa lo stesso lavoro con le linee di campo.

Per un campo uniforme e una superficie piana di area $A$:

dove $\theta$ è l’angolo fra il campo e la normale alla superficie, cioè la perpendicolare. Non l’angolo fra il campo e la superficie: la normale è il punto in cui molti studenti sbagliano.

Tre casi da riconoscere:

• campo perpendicolare alla superficie ($\theta =0$): $\cos \theta =1$, flusso massimo $EA$;
• campo parallelo alla superficie ($\theta =90^{\circ }$): $\cos \theta =0$, flusso nullo, le linee la sfiorano senza attraversarla;
• campo che entra nel verso opposto alla normale ($\theta =180^{\circ }$): flusso negativo.

L’unità di misura è $\text{N}\cdot {\text{m}}^2/\text{C}$ (newton per metro quadro su coulomb). Il flusso è uno scalare: un numero con segno, non un vettore.

Superficie chiusa e carica interna

Per una superficie chiusa (una sfera, un cubo, un cilindro con le basi) si convenziona di prendere la normale uscente. Allora il flusso è positivo dove le linee escono e negativo dove entrano. Il flusso totale è la somma dei contributi di tutta la superficie.

Il teorema di Gauss dice che questo totale dipende solo da quanta carica c’è dentro:

Qui $Q_{\text{int}}$ è la somma algebrica delle cariche racchiuse nella superficie e ${\epsilon }_0\approx 8,85\cdot 10^{-12}{\text{C}}^2/(\text{N}\cdot {\text{m}}^2)$ è la costante dielettrica del vuoto. Il legame con Coulomb è $k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$.

Due conseguenze, che valgono molto in un compito:

1. Una carica fuori dalla superficie dà flusso totale nullo: le linee che entrano da un lato escono dall’altro.
2. Il flusso non dipende dalla forma della superficie, né da dove sta la carica all’interno. Solo dal valore di $Q_{\text{int}}$.

C’è però una distinzione da tenere ferma. Il flusso dipende solo dalle cariche dentro. Il campo $\vec{E}$ in un punto della superficie dipende da tutte le cariche, anche da quelle fuori. È l’errore concettuale più frequente: «la carica fuori non conta», vera per il flusso e falsa per il campo.

Quando serve davvero: le simmetrie

Gauss è sempre vero, ma per calcolare il campo serve una situazione con simmetria, dove si può scegliere una superficie gaussiana su cui $E$ è costante e perpendicolare (oppure parallelo, e quindi senza flusso). Ne bastano tre.

La ricetta è sempre la stessa:

1. riconosci la simmetria (sferica, cilindrica, piana) e disegna come devono essere le linee di campo;
2. scegli una superficie che sia ovunque perpendicolare o parallela al campo, passante per il punto che ti interessa;
3. scrivi il flusso: $E$ per l’area dove il campo è perpendicolare, zero dove è parallelo;
4. calcola $Q_{\text{int}}$ e uguaglia a $Q_{\text{int}}/{\epsilon }_0$;
5. ricava $E$.

Carica puntiforme o sfera: simmetria sferica

Superficie: una sfera di raggio $r$ centrata sulla carica. Il campo è radiale e uguale su tutta la sfera, quindi:

È la legge di Coulomb, ritrovata. Lo stesso vale fuori da una sfera o da un guscio sferico con carica distribuita in modo uniforme: all’esterno il campo è quello di una carica puntiforme posta nel centro. Dentro un guscio vuoto $Q_{\text{int}}=0$, quindi $E=0$. All’interno di un conduttore in equilibrio il campo è nullo, e tutta la carica sta sulla superficie.

Filo infinito: simmetria cilindrica

Un filo rettilineo molto lungo con carica per unità di lunghezza $\lambda$. Superficie: un cilindro coassiale al filo, raggio $r$, lunghezza $L$. Il campo è radiale, quindi le due basi non danno flusso (il campo è parallelo a loro) e la superficie laterale vale $2\pi rL$:

La lunghezza $L$ si semplifica, ed è un buon segnale: il risultato non può dipendere da quanto è lungo il pezzo di filo che hai deciso di considerare. Il campo scende come $1/r$, non come $1/r^2$.

Piano infinito: simmetria piana

Un piano con densità superficiale di carica $\sigma$. Superficie: un cilindretto con le basi parallele al piano, una per lato, ciascuna di area $S$. Il campo è perpendicolare al piano, quindi la superficie laterale non dà flusso e le due basi danno $2ES$. La carica racchiusa è $\sigma S$:

Il campo non dipende dalla distanza dal piano, ed è uniforme. Un’avvertenza utile: sulla superficie di un conduttore carico, invece, il campo vale $\sigma /{\epsilon }_0$ (il doppio), perché all’interno del conduttore il campo è zero e c’è una sola base che contribuisce.

Esercizio 1: flusso attraverso una superficie inclinata

Un campo uniforme di intensità $E=500\text{N/C}$ attraversa una superficie quadrata di lato $20\text{cm}$. L’angolo fra il campo e la normale alla superficie è $60^{\circ }$. Calcola il flusso.

L’area è $A=(0,20\text{m}{)}^2=0,040{\text{m}}^2$. Quindi:

Se il testo avesse dato l’angolo fra il campo e il piano della superficie, sarebbe stato $60^{\circ }$ con il piano, cioè $30^{\circ }$ con la normale: il flusso sarebbe stato $500\cdot 0,040\cdot \cos 30^{\circ }\approx 17,3$. Leggi sempre da che cosa è misurato l’angolo.

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Esercizio 2: una carica dentro un cubo

Una carica $Q=3,0\text{nC}$ è posta al centro di un cubo. Quanto vale il flusso totale attraverso la superficie del cubo? E attraverso una singola faccia?

Il flusso totale dipende solo dalla carica interna:

cioè circa $339\text{N}\cdot {\text{m}}^2/\text{C}$. Per simmetria le sei facce ricevono lo stesso flusso:

La domanda tipo trabocchetto: «e se il cubo fosse il doppio più grande?». Il flusso totale resta uguale, perché $Q_{\text{int}}$ non è cambiata. E se la carica fosse spostata dal centro? Il flusso totale è sempre lo stesso, ma le facce non ne ricevono più uguali.

Esercizio 3: il campo di un filo carico

Un filo rettilineo molto lungo ha densità lineare di carica $\lambda =2,0\cdot 10^{-9}\text{C/m}$. Calcola il campo elettrico a $r=10\text{cm}$ dal filo.

Dalla formula ricavata con il cilindro:

Controllo con $k$: $E=\frac{2k\lambda }{r}=\frac{2\cdot 8,99\cdot 10^9\cdot 2,0\cdot 10^{-9}}{0,10}\approx 360\text{N/C}$. Le due strade coincidono. Se la distanza raddoppiasse, a $20\text{cm}$, il campo si dimezzerebbe: $180\text{N/C}$.

Gli errori che si ripetono

• Usare $\theta$ sbagliato. L’angolo del flusso è con la normale, non con la superficie.
• Contare tutte le cariche. In $Q_{\text{int}}$ vanno solo quelle racchiuse dalla superficie che hai scelto.
• Scegliere una superficie senza simmetria. Se $E$ non è costante sulla superficie, il flusso non si scrive come $E\cdot A$ e la ricetta non funziona.
• Dimenticare le basi del cilindro. Nel filo contano solo se sono perpendicolari al campo: non lo sono, e quindi non contribuiscono. Nel piano, invece, sono le uniche che contano.
• Confondere flusso e campo. Il flusso vede solo le cariche dentro, il campo le vede tutte.

Come prepararsi da qui a gennaio

Prima impara bene Coulomb e il campo di una carica puntiforme: Gauss lo ritrova e lo estende, non lo sostituisce. Poi fissa le tre simmetrie con i loro tre campi e fai ogni volta il disegno della superficie scelta, con il motivo per cui è fatta così. Quando avrai capito Gauss, il passo successivo del programma è il potenziale: lo trovi in potenziale elettrico e condensatori, mentre per rivedere il capitolo come verrà chiesto in classe c’è elettrostatica e circuiti, la verifica di quarta. Se invece parti da zero con le cariche e Coulomb, elettrostatica e legge di Coulomb è un ripasso scritto con meno formalismo. Il resto dei contenuti è nella pagina di fisica.

Se Gauss continua a sembrare un trucco di magia, non c’è nulla di strano: è il primo ragionamento «alla rovescia» del corso, e basta un esercizio guidato per renderlo naturale. Puoi chiedere una diagnosi gratuita dalla pagina contatti: guardiamo insieme gli esercizi che ti hanno bloccato e ti dico da dove ripartire.