Potenziale elettrico e condensatori: esercizi svolti

Fine settembre 2026: in quinta al liceo linguistico l’elettrostatica è appena partita, con carica e legge di Coulomb. A ottobre il professore passa a campo elettrico e potenziale, e la verifica su questo blocco cade tipicamente a novembre — fra cinque e otto settimane da adesso. È lo stesso blocco che al classico e alle scienze umane si vede in quinta con lo stesso taglio (cariche, Coulomb, campo, potenziale; Gauss quasi sempre omesso) e che allo scientifico si affronta un anno prima, in quarta, con un’ora in più a settimana e qualche conto in più.

Qui non ci sono derivate né integrali, e il teorema di Gauss quasi certamente non compare nel programma: quello che conta è tenere ferme quattro grandezze — forza, campo, energia potenziale, potenziale — che nel nome si somigliano e nella sostanza sono diverse, due vettoriali e due scalari. Se cominci l’elettrostatica con Coulomb e la forza, questo post prosegue da lì: campo, energia potenziale, potenziale, e infine condensatori.

Il campo elettrico: la forza per unità di carica

Il campo elettrico generato da una carica $Q$ in un punto a distanza $r$ è definito come la forza che $Q$ eserciterebbe lì su una carica di prova $q$, divisa per $q$ stessa:

Per una carica puntiforme, sostituendo la legge di Coulomb si ottiene

Il campo è un vettore: esiste in ogni punto dello spazio attorno a $Q$, indipendentemente dal fatto che ci sia o meno una seconda carica a “sentirlo”. Si rappresenta con le linee di campo, che escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative, e sono più fitte dove il campo è più intenso.

Un caso che torna spesso nei problemi è il campo uniforme, quello che si crea fra due lastre piane parallele cariche con segno opposto: qui il campo ha lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso in ogni punto fra le lastre, dalla lastra positiva verso quella negativa.

Energia potenziale elettrica: il lavoro immagazzinato

Portare una carica $q$ vicino a una carica $Q$ (dello stesso segno o di segno opposto) richiede o libera energia, esattamente come sollevare una massa nel campo gravitazionale. Questa energia si chiama energia potenziale elettrica:

A differenza del modulo della forza di Coulomb, qui i segni delle cariche vanno tenuti, non messi in valore assoluto: se $q$ e $Q$ hanno lo stesso segno, $U$ è positiva (le cariche si respingono, serve energia per avvicinarle); se hanno segno opposto, $U$ è negativa (si attraggono, il sistema “guadagna” allontanandole, o meglio: l’energia va restituita per separarle).

Potenziale elettrico: l’energia per unità di carica

Il potenziale elettrico in un punto è l’energia potenziale che avrebbe lì una carica di prova $q$, divisa per $q$:

Per una carica puntiforme $Q$:

Il potenziale, a differenza del campo e della forza, è una grandezza scalare: ha un valore in ogni punto, ma non una direzione. Si misura in volt ($\text{V}=\text{J/C}$).

La differenza fra potenziale ed energia potenziale (l’errore che tornano tutti a fare)

È qui che quasi ogni studente inciampa: l’energia potenziale $U$ appartiene a una carica specifica (quanta energia ha quella carica $q$ in quel punto), mentre il potenziale $V$ è una proprietà del punto nello spazio, che esiste anche prima di mettere lì una carica a “sentirlo” — come il campo $E$ esiste prima della carica di prova. La relazione fra i due è sempre $U=qV$.

Il lavoro del campo elettrico

Quando una carica $q$ si sposta fra due punti a potenziale diverso, il campo elettrico compie un lavoro:

dove $\Delta V=V_A-V_B$ è la differenza di potenziale fra il punto di partenza $A$ e quello di arrivo $B$. Il segno conta: se $q$ è positiva e si sposta verso un potenziale più basso ($\Delta V>0$), il lavoro è positivo — il campo “spinge” la carica in quella direzione, esattamente come la gravità spinge una massa verso il basso. Se invece la carica si sposta verso un potenziale più alto, il lavoro del campo è negativo, e serve un agente esterno per farla muovere.

Il campo uniforme: il legame diretto fra $E$ e $\Delta V$

Nel caso particolare del campo uniforme fra due lastre parallele a distanza $d$, vale una relazione semplice fra campo e differenza di potenziale:

È la formula che compare più spesso nei problemi coi condensatori piani: conoscendo la tensione applicata alle due lastre e la loro distanza, si ricava subito il campo fra di esse, senza passare per la carica.

L’elettronvolt

Per le cariche elementari (elettroni, protoni) i joule sono unità scomodissime — i numeri vengono sempre con esponenti negativi enormi. Si usa allora l’elettronvolt (eV): l’energia acquistata da una carica pari a quella dell’elettrone che attraversa una differenza di potenziale di 1 volt.

È solo un’unità di misura più comoda, non un concetto nuovo: la conversione va sempre e solo con questo fattore.

Superfici equipotenziali

Una superficie equipotenziale è il luogo dei punti che hanno tutti lo stesso potenziale. Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di campo in ogni punto, e questo ha una conseguenza pratica: muoversi lungo una superficie equipotenziale non costa lavoro, perché $\Delta V=0$. Per una carica puntiforme le superfici equipotenziali sono sfere concentriche alla carica; nel campo uniforme sono piani paralleli alle lastre.

I condensatori: capacità, energia, collegamenti

Un condensatore è un sistema di due conduttori (le “armature”) che, sottoposto a una differenza di potenziale $\Delta V$, immagazzina una carica $Q$ proporzionale ad essa. Il rapporto fra carica e tensione si chiama capacità:

e si misura in farad ($\text{F}=\text{C/V}$), anche se nella pratica i valori reali sono sempre microfarad o picofarad — il farad da solo è un’unità enorme.

Per il condensatore piano, due armature parallele di superficie $S$ a distanza $d$, immerse in un materiale (dielettrico) con costante dielettrica relativa ${\epsilon }_r$, la capacità dipende solo dalla geometria e dal materiale, mai dalla carica o dalla tensione applicata:

dove ${\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}\text{F/m}$ è la costante dielettrica del vuoto. Inserire un dielettrico fra le armature (invece del vuoto o dell’aria, dove ${\epsilon }_r\approx 1$) aumenta sempre la capacità, perché il materiale si polarizza e riduce il campo effettivo fra le armature a parità di carica.

L’energia immagazzinata

Un condensatore carico immagazzina energia nel campo elettrico fra le armature:

Equivalente, usando $Q=C\Delta V$, si può scrivere anche come $U_C=\frac{1}{2}Q\Delta V$ o $U_C=\frac{Q^2}{2C}$: sono la stessa formula scritta in tre modi, utile scegliere quella con le grandezze che già conosci nel problema.

Condensatori in serie e in parallelo

Con più condensatori collegati, la capacità equivalente si combina con regole opposte a quelle delle resistenze:

• in parallelo (stesse due armature comuni, stessa $\Delta V$ su ciascuno): le capacità si sommano,

• in serie (armature in cascata, stessa carica $Q$ su ciascuno): i reciproci si sommano,

Nel caso di due soli condensatori in serie conviene la forma diretta $C_{eq}=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$.

Riepilogo: vettore o scalare, quale unità

Errore tipico: confondere potenziale ed energia potenziale

È l’errore che vedo più spesso: il potenziale $V$ non dipende dalla carica che ci metti, è una proprietà del punto; l’energia potenziale $U$ sì. Se il testo dice “il potenziale nel punto A è 100 V”, quella frase non cambia se ci metti una carica di 1 C o di 1 μC — cambia l’energia potenziale di quella carica, $U=qV$. Il secondo errore frequente riguarda i segni nel lavoro $L=q\Delta V$: se non sei sicuro, ragiona fisicamente (una carica positiva “cade” verso potenziali più bassi, come una massa cade verso il basso) invece di applicare la formula a memoria.

Tre esercizi svolti

1. Un elettrone accelerato da una differenza di potenziale. Un elettrone (carica $e=1,6\times 10^{-19}\text{C}$, massa $m_e=9,11\times 10^{-31}\text{kg}$), inizialmente fermo, viene accelerato da una differenza di potenziale $\Delta V=500\text{V}$. Trova la velocità finale.

Il lavoro del campo elettrico sull’elettrone si trasforma interamente in energia cinetica (teorema dell’energia cinetica):

Calcolo il lavoro:

Ricavo $v$:

Una velocità enorme (circa il 4% della velocità della luce), ma coerente: gli elettroni sono leggerissimi e bastano poche centinaia di volt per accelerarli fino a velocità relativistiche apprezzabili — anche se qui, per un compito di quinta, la trattazione classica resta valida.

2. Condensatore piano con dielettrico. Un condensatore piano ha armature quadrate di lato $10\text{cm}$, distanti $d=2\text{mm}$, con un dielettrico di ${\epsilon }_r=4$ fra le armature. È collegato a una tensione $\Delta V=12\text{V}$. Trova capacità, carica, campo elettrico ed energia immagazzinata.

Superficie delle armature: $S=(0,1{)}^2=0,01{\text{m}}^2$.

Capacità:

Carica accumulata:

Campo elettrico fra le armature (uso direttamente $E=\Delta V/d$, senza passare per $Q$):

Energia immagazzinata:

3. Due condensatori, prima in serie poi in parallelo. $C_1=4\mu \text{F}$ e $C_2=12\mu \text{F}$. Trova la capacità equivalente nei due collegamenti.

In parallelo:

In serie:

Nota che la capacità equivalente in serie ($3\mu \text{F}$) è più piccola del più piccolo dei due condensatori di partenza: è l’opposto di quello che succede con le resistenze, e in un compito basta questo controllo di plausibilità per accorgersi se hai scambiato le due formule.

Verificati su una simulazione tarata sulla quarta

Sul sito trovi la simulazione di verifica sull’elettrostatica, catalogata sotto la quarta perché allo scientifico questo blocco si fa un anno prima. È comunque un buon allenamento sui problemi di campo, potenziale e condensatori — alcune domande, in particolare quelle sui circuiti in corrente continua, vanno oltre quello che vedrai al linguistico in quinta, quindi non stupirti se qualche esercizio ti sembra fuori programma: concentrati sulle domande di elettrostatica pura. Come sempre: la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Se vuoi ripassare anche il resto del programma di fisica, trovi tutto in /materie/fisica/. Se sei partito da Coulomb e dalla carica elettrica, il post prima di questo è Elettrostatica e legge di Coulomb in quinta superiore, scritto per il liceo artistico ma con la stessa legge di base. Chi studia allo scientifico e vede questo stesso blocco un anno prima, con circuiti in più, trova il taglio giusto in Elettrostatica e circuiti: preparare la verifica di quarta, e per il ripasso di tutto l’elettromagnetismo in vista della maturità c’è Elettromagnetismo per la maturità: la mappa dei concetti del quinto liceo. Per la matematica dello stesso anno e indirizzo, il post gemello è Matematica in quinta superiore: funzioni e limiti.

Se vuoi una mano a mettere in fila queste quattro grandezze prima della verifica di novembre, la prima chiamata conoscitiva è gratuita e dura mezz’ora.