Ottica geometrica: specchi, rifrazione e lenti

Metà ottobre 2026: in quarta al liceo scientifico a scuola siete a cavallo fra l’ultima parte della meccanica o della termologia e l’ottica geometrica, che di solito occupa ottobre e novembre. Il compito arriva fra quattro e otto settimane, tra metà novembre e inizio dicembre. Ottica geometrica non vuol dire onde: qui la luce è un raggio che va dritto e si piega quando incontra uno specchio o cambia mezzo. Le onde, l’interferenza e la diffrazione sono un altro capitolo, e li trovi in onde meccaniche e suono e in interferenza di Young e diffrazione. Questo post resta sui raggi.

Il capitolo è breve, ma costa punti per una ragione sola: i segni. Una volta stabilita una convenzione, specchi e lenti si risolvono con la stessa equazione. Il metodo che uso nelle lezioni: si disegnano i raggi, si scrive la convenzione dei segni, si fa il conto, e il disegno serve a controllare il conto.

Raggi e riflessione

Nell’ottica geometrica la luce è descritta da raggi che si propagano in linea retta in un mezzo omogeneo. Quando un raggio arriva su una superficie liscia si riflette secondo due leggi:

1. il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie nel punto di incidenza stanno nello stesso piano;
2. l’angolo di riflessione è uguale all’angolo di incidenza: ${\theta }_r={\theta }_i$.

Gli angoli si misurano dalla normale, non dalla superficie. È l’errore più frequente: se il testo dà l’angolo con lo specchio, l’angolo di incidenza è il suo complementare.

Specchi sferici

Uno specchio sferico è una calotta di sfera di raggio $R$. Se la superficie riflettente è all’interno della sfera lo specchio è concavo, se è all’esterno è convesso. I raggi paralleli all’asse, dopo la riflessione, passano per il fuoco $F$, a distanza

dal vertice dello specchio (per lo specchio convesso passano i loro prolungamenti, dietro lo specchio).

La posizione dell’immagine si ricava dall’equazione dei punti coniugati:

e l’ingrandimento lineare è

dove $p$ è la distanza dell’oggetto dal vertice, $q$ quella dell’immagine, e l’altezza dell’immagine è $h^{\prime }=Gh$.

La convenzione dei segni

Qui è dove si vince o si perde il compito. Uso la convenzione “reale è positivo”, la più diffusa nei libri di liceo:

• $p>0$ se l’oggetto è davanti allo specchio (dalla parte da cui arriva la luce): è il caso normale.
• $q>0$ se l’immagine è reale, cioè davanti allo specchio, dove i raggi si incontrano davvero. $q<0$ se è virtuale, dietro lo specchio.
• $f>0$ per lo specchio concavo, $f<0$ per il convesso.
• $G<0$ vuol dire immagine capovolta, $G>0$ dritta; $|G|>1$ ingrandita, $|G|<1$ rimpicciolita.

Alcuni libri usano un’altra convenzione (per esempio con il raggio di curvatura positivo “dalla parte dei raggi in arrivo”, o con segni invertiti per $q$). Controlla la tua e rimani fedele a quella dall’inizio alla fine del compito: l’equazione è la stessa, cambiano solo i segni dei valori che sostituisci.

I tre raggi per la costruzione grafica

Per disegnare l’immagine di un punto dell’oggetto bastano due dei tre raggi principali, il terzo serve come controllo:

1. il raggio parallelo all’asse si riflette passando per il fuoco;
2. il raggio che passa per il fuoco si riflette parallelo all’asse;
3. il raggio che passa per il centro di curvatura $C$ (a distanza $R=2f$ dal vertice) arriva perpendicolare alla superficie e torna indietro su se stesso.

Il punto in cui i raggi riflessi si incontrano è la cima dell’immagine. Se non si incontrano davvero ma lo fanno i loro prolungamenti dietro lo specchio, l’immagine è virtuale.

Esercizio 1: specchio concavo

Uno specchio concavo ha raggio di curvatura $R=40\text{cm}$. Un oggetto alto $3,0\text{cm}$ è posto a $30\text{cm}$ dal vertice. Trova posizione, ingrandimento e altezza dell’immagine. Poi ripeti con l’oggetto a $10\text{cm}$.

Passo 1: la focale. $f=R/2=20\text{cm}$, positiva perché lo specchio è concavo.

Passo 2: l’equazione dei punti coniugati con $p=30\text{cm}$.

Quindi $q=60\text{cm}$, positiva: l’immagine è reale, davanti allo specchio.

Passo 3: ingrandimento.

L’immagine è capovolta e ingrandita il doppio: $h^{\prime }=-2\cdot 3,0=-6,0\text{cm}$, cioè alta $6,0\text{cm}$ e rovesciata.

Controllo con il disegno. L’oggetto è fra $F$ ($20\text{cm}$) e $C$ ($40\text{cm}$) o oltre? A $30\text{cm}$ sta fra $F$ e $C$, e in questa zona l’immagine è reale, capovolta, ingrandita e si forma oltre $C$: $60\text{cm}>40\text{cm}$. Coerente.

Seconda parte: $p=10\text{cm}$. L’oggetto sta dentro la focale.

$q=-20\text{cm}$, negativa: immagine virtuale, dietro lo specchio. $G=-(-20)/10=+2$: dritta e doppia, alta $6,0\text{cm}$. È lo specchio da trucco o da barba: avvicini il viso entro la focale e ti vedi ingrandito e dritto. Un risultato negativo non è un errore, è una risposta.

Per allenarti su quesiti a tempo ci sono le verifiche di fisica e matematica del liceo: la risposta corretta è visibile subito, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Rifrazione e legge di Snell

Quando un raggio passa da un mezzo a un altro cambia direzione, perché la luce ha velocità diverse nei due mezzi. Ogni mezzo ha un indice di rifrazione $n=c/v$, dove $c$ è la velocità della luce nel vuoto e $v$ nel mezzo: $n\approx 1,00$ per l’aria, $\approx 1,33$ per l’acqua, $\approx 1,5$ per un vetro comune. La legge di Snell lega gli angoli, misurati rispetto alla normale:

Regola di buon senso: andando in un mezzo con $n$ maggiore il raggio si avvicina alla normale, andando in uno con $n$ minore si allontana. Se hai ottenuto il contrario, hai scambiato i due mezzi.

Angolo limite e riflessione totale

Se il raggio passa da un mezzo con $n_1$ maggiore a uno con $n_2$ minore, l’angolo di rifrazione è più grande di quello di incidenza. Aumentando ${\theta }_1$, prima o poi ${\theta }_2$ raggiunge $90^{\circ }$: è l’angolo limite,

Oltre quell’angolo non c’è più raggio rifratto: tutta la luce si riflette, ed è la riflessione totale. Succede solo andando da $n$ grande a $n$ piccolo (dal vetro all’aria, non viceversa), ed è il principio delle fibre ottiche e dei prismi dei binocoli. Se provi a calcolare ${\theta }_L$ con i due indici scambiati ottieni un seno maggiore di $1$, che è impossibile: segnale che hai invertito qualcosa.

Esercizio 2: Snell e angolo limite

Un raggio nell’aria ($n_1=1,00$) incide con un angolo di $40^{\circ }$ sulla superficie di un blocco di vetro con $n_2=1,50$. Quanto vale l’angolo di rifrazione? Poi: all’interno del vetro, un raggio incide sulla faccia di uscita verso l’aria con un angolo di $45^{\circ }$. Esce o si riflette totalmente?

Passo 1: l’angolo rifratto.

Passando in un mezzo con $n$ più grande il raggio si è avvicinato alla normale, da $40^{\circ }$ a $25,4^{\circ }$: coerente con la regola.

Passo 2: l’angolo limite vetro-aria. Qui $n_1=1,50$ (vetro) e $n_2=1,00$ (aria):

Passo 3: il confronto. L’incidenza di $45^{\circ }$ è maggiore di $41,8^{\circ }$, quindi il raggio non esce: si ha riflessione totale. Verifica per assurdo: se provassimo ad applicare Snell, $\sin {\theta }_2=1,5\cdot \sin 45^{\circ }=1,5\cdot 0,7071\approx 1,06$, un seno maggiore di $1$, che non esiste. Questo controllo vale come prova: se la legge di Snell ti restituisce un seno maggiore di $1$, il raggio non passa.

Lenti sottili

Una lente sottile è un pezzo di vetro con due superfici curve che devia i raggi per rifrazione. Si dividono in due famiglie: la lente convergente (più spessa al centro) fa convergere i raggi paralleli in un fuoco reale; la lente divergente (più sottile al centro) li allontana, come se provenissero da un fuoco virtuale.

L’equazione è identica a quella degli specchi:

La differenza sta nella convenzione di cosa significhi “reale”. Per una lente la luce attraversa, quindi l’immagine reale si forma dall’altra parte rispetto all’oggetto:

• $p>0$ se l’oggetto è dalla parte da cui arriva la luce (il caso normale);
• $q>0$ se l’immagine è reale, cioè dalla parte opposta della lente rispetto all’oggetto; $q<0$ se è virtuale, cioè dalla stessa parte dell’oggetto;
• $f>0$ per la lente convergente, $f<0$ per la divergente;
• $G$ ha lo stesso significato: negativo se capovolta.

Il fatto da ricordare è che, con questa convenzione, “reale = positivo” è vero sia per gli specchi sia per le lenti. Cambia solo dove si trova l’immagine reale: davanti allo specchio, dietro la lente.

I tre raggi per la lente

1. Il raggio parallelo all’asse esce passando per il fuoco (dall’altra parte, per la lente convergente).
2. Il raggio che passa per il centro della lente non viene deviato.
3. Il raggio che passa per il fuoco (dalla parte dell’oggetto) esce parallelo all’asse.

L’immagine si forma dove si incontrano i raggi uscenti.

Esercizio 3: lente convergente e lente divergente

Una lente convergente ha focale $f=15\text{cm}$. Un oggetto alto $2,0\text{cm}$ è a $20\text{cm}$ dalla lente. Trova $q$, $G$ e altezza dell’immagine. Poi sposta l’oggetto a $10\text{cm}$. Infine, con una lente divergente di focale $-10\text{cm}$ e oggetto a $30\text{cm}$.

Parte a: $p=20\text{cm}$, $f=+15\text{cm}$.

$G=-60/20=-3$. Immagine reale, dall’altra parte, capovolta e tre volte più grande: $h^{\prime }=-3\cdot 2,0=-6,0\text{cm}$. È la configurazione del proiettore: l’oggetto sta fra $f$ e $2f$ e l’immagine si forma lontano, ingrandita.

Parte b: $p=10\text{cm}$. L’oggetto sta dentro la focale.

$G=-(-30)/10=+3$: immagine virtuale, dritta, ingrandita tre volte, alta $6,0\text{cm}$, dalla stessa parte dell’oggetto. È la lente d’ingrandimento.

Parte c: lente divergente, $f=-10\text{cm}$, $p=30\text{cm}$.

$G=-(-7,5)/30=+0,25$: immagine virtuale, dritta, rimpicciolita a un quarto. Una lente divergente dà sempre un’immagine virtuale, dritta e rimpicciolita, qualunque sia la distanza dell’oggetto: se ottieni $q>0$ con $f<0$ hai sbagliato un segno.

Controllo con il disegno. Nella parte a l’oggetto è fra $f$ ($15\text{cm}$) e $2f$ ($30\text{cm}$): immagine oltre $2f$, cioè oltre $30\text{cm}$. Troviamo $60\text{cm}$, che va bene. Nella parte b l’oggetto è dentro $f$: immagine virtuale, e infatti $q<0$.

Gli errori che costano punti

1. Segno di $f$. Concavo o convergente: $f>0$. Convesso o divergente: $f<0$. È l’errore con cui si perdono più punti: se $f$ ha il segno sbagliato, tutto il resto è coerente ma falso.
2. Segno di $q$ non interpretato. $q<0$ non è un errore: vuol dire immagine virtuale. Scrivi sempre le parole accanto al numero (“reale/virtuale, dritta/capovolta, ingrandita/rimpicciolita”), perché il testo le chiede quasi sempre.
3. $1/p+1/q=1/f$ invertita. Si calcola $1/q$ e poi si capovolge il risultato. Sul calcolatore, $1/f-1/p$ e poi il tasto $x^{-1}$, oppure frazioni con denominatore comune come sopra.
4. Angoli misurati dalla superficie. In riflessione e rifrazione si usa l’angolo con la normale. Se il testo dà l’angolo con la superficie, sottrailo a $90^{\circ }$.
5. Indici scambiati in Snell. Controlla la direzione: entrando in $n$ più grande ci si avvicina alla normale. Un angolo rifratto che si allontana al posto di avvicinarsi segnala l’inversione.
6. Riflessione totale in direzione sbagliata. Esiste solo da $n$ grande a $n$ piccolo. Per il passaggio inverso (aria verso vetro) non c’è angolo limite e il raggio entra sempre.
7. Il disegno che non torna con il calcolo. Un’immagine che il calcolo dice a $60\text{cm}$ ma che sul disegno sta a $12\text{cm}$ non è un’imprecisione di matita: uno dei due è sbagliato, e di solito è un segno.

Come prepararti

Rifai i tre esercizi senza guardare, cambiando focale e distanza dell’oggetto, e per ogni risultato scrivi accanto le tre parole: reale o virtuale, dritta o capovolta, ingrandita o rimpicciolita. Poi disegna a mano i tre raggi principali per ciascun caso, con le righe sul quaderno e il righello: il disegno va fatto, perché alla verifica spesso vale quanto il calcolo. Se vuoi allenarti sui tempi, prova una verifica cronometrata di quarta nelle simulazioni di verifica. L’inquadramento generale della materia è in Fisica.

Se vuoi un controllo prima della verifica

Se le formule ti tornano ma gli esercizi no, il problema quasi sempre è nei segni o nel disegno, non nell’algebra. Scrivimi dalla pagina contatti e facciamo una diagnosi gratuita: mi mandi un esercizio di ottica che non ti torna e ti dico dove si inceppa.