Primo principio della termodinamica

Metà ottobre 2026: in quarta, negli istituti tecnici del settore tecnologico (e in molti licei), a scuola siete ancora fra calore e leggi dei gas. Il primo principio della termodinamica arriva di solito a novembre, e il compito che lo mette alla prova cade fra cinque e nove settimane, tra fine novembre e metà dicembre. Scrivo ora perché questo argomento si regge su una base che va costruita con calma: l’equazione di stato, il piano $p$ - $V$ e, soprattutto, un’unica convenzione sui segni da non tradire mai.

Nelle mie lezioni il primo principio si perde quasi sempre per lo stesso motivo: lo studente conosce la formula, ma non sa dire se in quella trasformazione il lavoro è positivo o negativo, e allora un segno sbagliato trascina tutto il resto. Il resto è meccanica: quattro trasformazioni, quattro regole. Se vi manca la base sui gas, ripassate prima le leggi dei gas (lì le vedo dal lato chimico) e il calore specifico e l’equilibrio termico.

Sistema, energia interna, e cosa dice il principio

Un sistema termodinamico è la porzione di mondo che stai studiando: qui sarà quasi sempre un gas in un cilindro con un pistone. Tutto il resto è l’ambiente. Il sistema ha un’energia interna $U$ , la somma dell’energia cinetica e potenziale delle sue molecole. Per un gas perfetto $U$ dipende solo dalla temperatura: se $T$ non cambia, $U$ non cambia.

Il sistema può scambiare energia con l’ambiente in due modi: come calore $Q$ (a causa di una differenza di temperatura) e come lavoro $L$ (il pistone che si muove). Il primo principio è la conservazione dell’energia scritta per questi due scambi:

Δ U = Q - L

La convenzione dei segni, scritta una volta per tutte

In questo post uso la convenzione più diffusa nelle scuole italiane:

$Q > 0$ : il sistema assorbe calore; $Q < 0$ : lo cede.
$L > 0$ : il lavoro è compiuto dal sistema sull’ambiente (il gas si espande); $L < 0$ : è compiuto sul sistema (il gas viene compresso).

Alcuni libri usano invece $W$ come lavoro fatto sul gas e scrivono $Δ U = Q + W$ . Sono la stessa fisica con il segno di $L$ rovesciato. Controlla sul tuo libro e sugli appunti quale usa il tuo insegnante, e poi non cambiare più a metà compito. Chi mescola le due scritture sbaglia.

Equazione di stato e calori specifici molari

Per un gas perfetto:

p V = n R T

con $p$ in pascal, $V$ in metri cubi, $T$ in kelvin, $n$ in moli e $R \approx 8, 314 J/(mol K)$ . Ricorda le conversioni: $1 L = 1 0^{- 3} m^{3}$ , $1 atm \approx 1, 013 \cdot 1 0^{5} Pa$ , $T (K) = t (^{\circ} C) + 273, 15$ . Qui la temperatura deve essere assoluta, a differenza delle formule sul calore specifico dove basta la differenza.

Per un gas perfetto monoatomico (elio, neon, argon) i calori specifici molari sono

c_{V} = \frac{3}{2} R c_{P} = \frac{5}{2} R

Il primo vale per un riscaldamento a volume costante, il secondo a pressione costante, e $c_{P} - c_{V} = R$ . Il fatto utile è che per un gas perfetto, in qualsiasi trasformazione,

Δ U = n c_{V} Δ T

anche quando la trasformazione non è a volume costante: $U$ dipende solo da $T$ , e $c_{V}$ è il suo coefficiente. Quasi tutti gli esercizi si risolvono calcolando $Δ U$ da qui, il lavoro dal grafico o dalla formula, e il calore per differenza.

Il lavoro è un’area

Nel piano $p$ - $V$ il lavoro compiuto dal gas in una trasformazione è l’area sotto la curva:

espansione (il punto si muove verso destra): $L > 0$ ;
compressione (verso sinistra): $L < 0$ ;
a volume costante il punto non si sposta in orizzontale: $L = 0$ ;
in un ciclo (si torna al punto di partenza) il lavoro totale è l’area racchiusa, positiva se il ciclo gira in senso orario, negativa in senso antiorario.

Se la pressione è costante il conto è un rettangolo: $L = p Δ V$ . Se cambia, serve la formula della specifica trasformazione.

Le quattro trasformazioni

Trasformazione	Cosa resta costante	Lavoro $L$	$Δ U$	Calore $Q$
isocora	$V$	$0$	$n c_{V} Δ T$	$= Δ U$
isobara	$p$	$p Δ V = n R Δ T$	$n c_{V} Δ T$	$n c_{P} Δ T$
isoterma	$T$	$n R T ln (V_{2} / V_{1})$	$0$	$= L$
adiabatica	niente scambio di calore	$= - Δ U$	$n c_{V} Δ T$	$0$

Cosa dice il primo principio in ciascun caso:

Isocora: il pistone è bloccato, $L = 0$ , quindi $Δ U = Q$ . Tutto il calore finisce in energia interna e la temperatura cambia.
Isobara: $Q = Δ U + L$ . Il calore si divide: una parte scalda il gas, una parte muove il pistone. Per questo $c_{P} > c_{V}$ : per salire di un kelvin a pressione costante serve più calore, perché una frazione va in lavoro.
Isoterma: $T$ costante, $Δ U = 0$ , quindi $Q = L$ . Il gas che si espande assorbe calore e lo restituisce interamente come lavoro. Il fatto che la formula contenga un logaritmo naturale non deve spaventare: negli esercizi la fornisce il testo o il libro, e tu sostituisci. Se $V_{2} > V_{1}$ il logaritmo è positivo e $L > 0$ .
Adiabatica: nessun calore scambiato, $Q = 0$ , quindi $Δ U = - L$ . Se il gas si espande compie lavoro a spese della sua energia interna, e si raffredda; se viene compresso si scalda. È il motivo per cui una pompa da bicicletta diventa calda.

Un esempio rapido sull’adiabatica: $1 mol$ di gas perfetto monoatomico si espande senza scambiare calore e la temperatura scende di $20 K$ . Allora $Δ U = 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 8, 314 \cdot (- 20) \approx - 249 J$ , quindi $L = + 249 J$ : il gas ha compiuto $249 J$ pagandoli con la propria energia interna.

Esercizio 1: l’isobara

$2, 0 mol$ di gas perfetto monoatomico si trovano a $300 K$ e alla pressione costante di $1, 0 \cdot 1 0^{5} Pa$ . Vengono scaldati fino a $450 K$ . Calcola $L$ , $Δ U$ e $Q$ .

Passo 1: la variazione di temperatura. $Δ T = 450 - 300 = 150 K$ .

Passo 2: il lavoro. A pressione costante $L = n R Δ T$ :

L = 2, 0 \cdot 8, 314 \cdot 150 = 2494 J

Passo 3: la variazione di energia interna.

Δ U = n \frac{3}{2} R Δ T = 2, 0 \cdot 1, 5 \cdot 8, 314 \cdot 150 = 3741 J

Passo 4: il calore, due modi. Dal primo principio $Q = Δ U + L = 3741 + 2494 = 6235 J$ . Come controllo, per la formula dell’isobara $Q = n \frac{5}{2} R Δ T = 2, 0 \cdot 2, 5 \cdot 8, 314 \cdot 150 = 6236 J$ (la differenza di un joule è solo arrotondamento). I due modi coincidono: è il controllo che ti consiglio di fare sempre.

Controllo sul volume. Con $p V = n R T$ : $V_{1} = \frac{2 , 0 \cdot 8 , 314 \cdot 300}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{5}} \approx 0, 0499 m^{3}$ e $V_{2} \approx 0, 0748 m^{3}$ , quindi $Δ V \approx 0, 0249 m^{3}$ e $p Δ V = 2494 J$ . Il gas si è espanso (di circa $25 L$ ), il lavoro è positivo, tutto torna. Nota che solo il $40%$ circa del calore diventa lavoro: il resto scalda il gas.

Per allenarti su quesiti a tempo ci sono le verifiche di fisica e matematica del liceo: la risposta corretta è visibile subito, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: l’isoterma

$1, 0 mol$ di gas perfetto a $300 K$ si espande isotermicamente da $10 L$ a $20 L$ . Calcola $Δ U$ , $L$ e $Q$ , e di’ se il gas assorbe o cede calore.

Passo 1: energia interna. La temperatura non cambia, quindi $Δ U = 0$ . Non serve nessun calcolo.

Passo 2: lavoro. Il rapporto dei volumi è $V_{2} / V_{1} = 2$ , e $ln 2 \approx 0, 693$ :

L = n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} = 1, 0 \cdot 8, 314 \cdot 300 \cdot 0, 693 \approx 1729 J

Il fattore $n R T = 1, 0 \cdot 8, 314 \cdot 300 = 2494 J$ coincide per caso con il lavoro dell’esercizio 1 ( $2 \cdot 150 = 1 \cdot 300$ ): non è una regola, è solo un’uguaglianza numerica dei dati scelti.

Passo 3: calore. $Δ U = Q - L = 0$ implica $Q = L \approx + 1729 J$ . Il gas assorbe calore dall’ambiente e lo trasforma tutto in lavoro.

Controllo sul grafico. Nel piano $p$ - $V$ l’isoterma è un’iperbole che scende: $p_{1} = n R T / V_{1} = 2494/0, 010 \approx 2, 49 \cdot 1 0^{5} Pa$ e $p_{2} \approx 1, 25 \cdot 1 0^{5} Pa$ . L’area sotto la curva sta fra i due rettangoli: il più piccolo ( $p_{2} \cdot Δ V = 1, 25 \cdot 1 0^{5} \cdot 0, 010 = 1247 J$ ) e il più grande ( $p_{1} \cdot Δ V = 2494 J$ ). Il risultato $1729 J$ ci sta in mezzo, come deve.

Esercizio 3: un ciclo

Un gas perfetto monoatomico percorre il ciclo $A \to B \to C \to D \to A$ nel piano $p$ - $V$ :

$A$ : $p = 1, 0 \cdot 1 0^{5} Pa$ , $V = 0, 010 m^{3}$ ;
$A \to B$ : isocora fino a $p = 2, 0 \cdot 1 0^{5} Pa$ ;
$B \to C$ : isobara fino a $V = 0, 030 m^{3}$ ;
$C \to D$ : isocora fino a $p = 1, 0 \cdot 1 0^{5} Pa$ ;
$D \to A$ : isobara fino a $V = 0, 010 m^{3}$ .

Calcola $L$ , $Δ U$ e $Q$ di ogni tratto e il lavoro totale.

Un trucco che accorcia il conto: per un gas monoatomico $n R Δ T = Δ (p V)$ , quindi $Δ U = \frac{3}{2} Δ (p V)$ e, nelle isobare, $Q = \frac{5}{2} Δ (p V)$ . Non servono le temperature né il numero di moli.

Tratto	$L$	$Δ U$	$Q$
$A \to B$ isocora	$0$	$\frac{3}{2} (2000 - 1000) = + 1500 J$	$+ 1500 J$
$B \to C$ isobara	$2, 0 \cdot 1 0^{5} \cdot 0, 020 = + 4000 J$	$\frac{3}{2} (6000 - 2000) = + 6000 J$	$+ 10000 J$
$C \to D$ isocora	$0$	$\frac{3}{2} (3000 - 6000) = - 4500 J$	$- 4500 J$
$D \to A$ isobara	$1, 0 \cdot 1 0^{5} \cdot (- 0, 020) = - 2000 J$	$\frac{3}{2} (1000 - 3000) = - 3000 J$	$- 5000 J$

Qui $p V$ vale: in $A$ $1000 J$ , in $B$ $2000 J$ , in $C$ $6000 J$ , in $D$ $3000 J$ . Ho ricavato ogni $Q$ come $Δ U + L$ e l’ho controllato con la formula delle isobare ( $\frac{5}{2} \cdot 4000 = 10000$ e $\frac{5}{2} \cdot (- 2000) = - 5000$ ).

Totali. $L_{t o t} = 4000 - 2000 = 2000 J$ ; $Δ U_{t o t} = 1500 + 6000 - 4500 - 3000 = 0$ ; $Q_{t o t} = 1500 + 10000 - 4500 - 5000 = 2000 J$ .

Le tre verifiche che il ciclo deve superare: $Δ U_{t o t} = 0$ (l’energia interna è una funzione di stato, e a fine ciclo si torna al punto di partenza); $Q_{t o t} = L_{t o t}$ (conseguenza del primo principio); e $L_{t o t}$ uguale all’area del rettangolo, base $0, 020 m^{3}$ per altezza $1, 0 \cdot 1 0^{5} Pa$ , cioè $2000 J$ , positiva perché il ciclo gira in senso orario ( $A \to B \to C \to D$ sale, va a destra, scende, torna a sinistra).

Se la verifica chiede il rendimento, è il lavoro utile diviso il calore assorbito: $Q_{a ss} = 1500 + 10000 = 11500 J$ , quindi $η = 2000/11 500 \approx 0, 17$ , cioè circa il $17%$ . Di più sul rendimento nel secondo principio, che di solito segue subito dopo.

Gli errori che costano punti

Il segno del lavoro. Espansione vuol dire $L > 0$ , compressione $L < 0$ . Con la convenzione di questo post è l’ultima cosa da controllare prima di consegnare: il gas si è espanso o compresso?
Temperature in Celsius nell’equazione di stato. $p V = n R T$ vuole i kelvin. Con $27^{\circ} C$ si scrive $300 K$ , mai $27$ .
Litri al posto dei metri cubi. Se $V$ è in litri e $p$ in pascal, il lavoro viene mille volte più grande o più piccolo. Converti $V$ in $m^{3}$ a monte.
$Δ U = Q$ ovunque. Vale solo a volume costante. In un’isobara una parte del calore diventa lavoro; in un’isoterma $Δ U = 0$ e $Q$ è tutto lavoro.
Usare $c_{P}$ per $Δ U$ . $Δ U$ si calcola sempre con $c_{V}$ , anche in una trasformazione a pressione costante. $c_{P}$ serve solo per il calore dell’isobara.
Ciclo orario o antiorario. Se il ciclo gira in senso antiorario il lavoro totale è negativo: il sistema subisce lavoro, e un frigorifero funziona così. Guarda il verso delle frecce prima di scrivere il segno.
Dimenticare che $Δ U$ di un ciclo è zero. È il controllo gratuito che ti dice se hai sbagliato un tratto: se la somma non fa zero, cerca l’errore prima di andare avanti.

Come prepararti

Rifai i tre esercizi senza guardare, cambiando $n$ e le temperature. Poi prova a disegnare ciascuna trasformazione nel piano $p$ - $V$ con le frecce, e scrivi accanto a ogni tratto i tre segni di $L$ , $Δ U$ , $Q$ : se il disegno e i segni sono coerenti, i conti seguono. Se hai ancora in sospeso la termologia di base, dopo il calore specifico passa anche ai passaggi di stato e alla dilatazione, e a chi viene da un percorso con la chimica consiglio la termochimica e l’entalpia, dove il primo principio ricompare con una scrittura diversa. L’inquadramento generale della materia è in Fisica.

Se vuoi un controllo prima della verifica

Se le formule ti tornano ma i problemi no, di solito manca un metodo: disegnare il piano $p$ - $V$ , scrivere i segni di $L$ , $Δ U$ e $Q$ prima dei numeri, e usare il primo principio come verifica finale. Scrivimi dalla pagina contatti e facciamo una diagnosi gratuita: mi mandi un esercizio di termodinamica che non ti torna e ti dico dove si inceppa.

Primo principio della termodinamica ed esercizi svolti