Fisica 2: legge di Gauss, esercizi

Fine settembre 2026, secondo anno di ingegneria o fisica: il primo semestre di Fisica 2 è appena partito e il programma segue quasi ovunque lo stesso ordine, elettrostatica prima di tutto il resto. Il campo elettrico e il flusso arrivano nelle prime settimane, e la legge di Gauss si spiega fra ottobre e inizio novembre. Ogni ateneo ha il suo calendario didattico — verifica le date esatte sul sito del tuo corso — ma la prima prova in itinere cade tipicamente fra inizio e metà novembre, quindi fra sei e sette settimane da adesso, e copre quasi sempre elettrostatica pura: campo, potenziale, legge di Gauss, condensatori. Il resto — magnetismo, induzione, equazioni di Maxwell — arriva dopo, nella seconda prova o nello scritto finale.

Chi ha fatto Fisica 1 sa già come muoversi con vettori e integrali; qui lo stesso metodo si applica a un oggetto nuovo, il campo elettrico, e a uno strumento che il liceo non dà: la legge di Gauss. Se cinematica e dinamica non sono ancora solide, trovi il taglio dedicato in Fisica 1: cinematica e dinamica per la prova in itinere.

Campo elettrico: il richiamo che serve prima di Gauss

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme $q$ a distanza $r$ è

E (r) = k \frac{q}{r ^{2}} \overset{r}{^}, k = \frac{1}{4 π ε _{0}} \approx 8, 99 \times 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}

diretto lungo la retta che congiunge la carica al punto, uscente se $q > 0$ , entrante se $q < 0$ . Per più cariche puntiformi vale il principio di sovrapposizione: si sommano vettorialmente i singoli campi.

Per una distribuzione continua di carica (un filo, una superficie, un volume) la somma diventa un integrale sull’elemento di carica $d q$ :

E = \int k \frac{d q}{r ^{2}} \overset{r}{^}

Questo integrale è quasi sempre difficile da calcolare direttamente, perché $\overset{r}{^}$ cambia direzione punto per punto. È esattamente il problema che la legge di Gauss risolve, ma solo quando la distribuzione ha una simmetria sfruttabile: sferica, cilindrica o piana. Senza simmetria, l’integrale diretto (o il calcolo numerico) resta l’unica strada.

Flusso del campo elettrico

Il flusso di un campo vettoriale $E$ attraverso una superficie $S$ misura quanto campo “attraversa” quella superficie, tenendo conto dell’angolo fra il campo e la normale alla superficie:

Φ (E) = \oint_{S} E \cdot \overset{n}{^} d A

Il simbolo $\oint$ indica che l’integrale è su una superficie chiusa — questo è il caso che serve per la legge di Gauss. La normale $\overset{n}{^}$ punta sempre verso l’esterno della superficie, per convenzione: un flusso positivo significa campo netto uscente, negativo significa campo netto entrante. Se il campo è perpendicolare alla superficie in ogni punto e ha modulo costante su di essa, l’integrale si riduce a un prodotto semplice, $Φ = E \cdot A$ : è esattamente la situazione che la scelta della superficie gaussiana deve costruire.

La legge di Gauss

Φ (E) = \oint_{S} E \cdot \overset{n}{^} d A = \frac{Q _{in t}}{ε _{0}}

Il flusso del campo elettrico attraverso qualunque superficie chiusa dipende solo dalla carica racchiusa all’interno, $Q_{in t}$ , e non dalla forma della superficie né dalle cariche esterne (che contribuiscono al campo in ogni punto, ma il loro flusso netto attraverso la superficie chiusa è sempre zero).

Il punto che genera più confusione è questo: la legge di Gauss vale sempre, per qualunque distribuzione di carica e qualunque superficie chiusa — non è un’approssimazione valida solo in casi particolari. Quello che vale solo in casi particolari è la sua utilità pratica per calcolare $E$ : la legge dà un’unica equazione scalare, e per risalire al campo vettoriale servono simmetrie che permettano di portare $E$ fuori dall’integrale. Le tre simmetrie che funzionano sono sferica, cilindrica e piana (infinita, o trattata come tale in prossimità). Fuori da questi tre casi, la legge di Gauss resta vera ma non aiuta a trovare $E$ : torni all’integrale diretto o a metodi numerici.

Come si sceglie la superficie gaussiana: procedura in 5 passi

Identifica la simmetria della distribuzione di carica. Sferica (dipende solo da $r$ dal centro), cilindrica (dipende solo dalla distanza dall’asse), o piana (dipende solo dalla distanza dal piano).
Scegli una superficie gaussiana con la stessa simmetria: una sfera concentrica per la simmetria sferica, un cilindro coassiale per quella cilindrica, una “scatola” (o un cilindro) che attraversa il piano per quella piana. La superficie è immaginaria: serve solo per il calcolo, non esiste fisicamente.
Verifica che su ogni porzione della superficie $E$ sia parallelo o perpendicolare a $\overset{n}{^}$ , con modulo costante dove è parallelo. Se questo non succede, la superficie scelta non va bene, o la simmetria non è sfruttabile.
Calcola $Q_{in t}$ , la carica racchiusa dalla superficie gaussiana — spesso una frazione della carica totale, se il punto scelto è dentro la distribuzione.
Risolvi $E \cdot A = Q_{in t} / ε_{0}$ rispetto a $E$ , dove $A$ è l’area della porzione di superficie dove $E$ è parallelo a $\overset{n}{^}$ (le porzioni dove $E$ è perpendicolare a $\overset{n}{^}$ contribuiscono flusso zero e si escludono dal calcolo).

Tre esercizi svolti

1. Sfera isolante uniformemente carica

Una sfera isolante di raggio $R$ ha carica totale $Q$ distribuita uniformemente nel volume, con densità $ρ = Q / (\frac{4}{3} π R^{3})$ . Si chiede $E (r)$ dentro e fuori la sfera.

Fuori dalla sfera ( $r > R$ ). Superficie gaussiana: sfera concentrica di raggio $r$ . Per simmetria, $E$ è radiale e ha modulo costante su tutta la superficie, quindi $Φ = E \cdot 4 π r^{2}$ . La carica racchiusa è tutta la carica della sfera, $Q_{in t} = Q$ :

E \cdot 4 π r^{2} = \frac{Q}{ε _{0}} ⟹ E (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{r ^{2}} (r > R)

Identico al campo di una carica puntiforme $Q$ posta nel centro: da fuori, una distribuzione sferica si comporta come se fosse tutta concentrata nel centro.

Dentro la sfera ( $r < R$ ). Stessa superficie gaussiana, raggio $r < R$ questa volta. La carica racchiusa non è più tutta $Q$ : è solo la frazione contenuta nel volume di raggio $r$ , proporzionale al volume (la densità è uniforme):

Q_{in t} = ρ \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = Q \cdot \frac{r ^{3}}{R ^{3}}

E \cdot 4 π r^{2} = \frac{Q _{in t}}{ε _{0}} = \frac{Q}{ε _{0}} \frac{r ^{3}}{R ^{3}} ⟹ E (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{R ^{3}} r (r < R)

Dentro la sfera il campo cresce linearmente con $r$ , non con $1/ r^{2}$ : a $r = 0$ vale zero (nessuna carica racchiusa), e cresce fino al valore di superficie $r = R$ , dove le due espressioni coincidono: $E (R) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{R ^{2}}$ da entrambi i lati — il campo è continuo, come deve essere per una distribuzione senza cariche superficiali concentrate. Il grafico $E (r)$ è quindi una retta crescente da 0 a $R$ , seguita da una curva che decresce come $1/ r^{2}$ per $r > R$ : il massimo del campo è esattamente sulla superficie della sfera.

Prova il metodo anche sulla simulazione di Fisica 2: la risposta corretta di ogni domanda è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

2. Filo infinito carico

Un filo rettilineo infinito ha densità di carica lineare $λ$ (carica per unità di lunghezza), costante. Si chiede il campo a distanza $r$ dal filo.

Simmetria cilindrica: il campo dipende solo dalla distanza $r$ dall’asse, ed è radiale rispetto al filo (perpendicolare ad esso in ogni punto, per ragioni di simmetria — non c’è una direzione lungo il filo privilegiata rispetto a un’altra). Superficie gaussiana: un cilindro coassiale al filo, raggio $r$ , altezza $h$ scelta arbitrariamente (si semplifica nel calcolo).

Il flusso attraversa solo la superficie laterale del cilindro: sulle due basi, $E$ è parallelo alle basi stesse (perpendicolare a $\overset{n}{^}$ , che lì punta lungo l’asse), quindi il flusso attraverso le basi è zero. Sulla superficie laterale, $E$ è costante e parallelo a $\overset{n}{^}$ :

Φ = E \cdot (2 π r h)

La carica racchiusa nel cilindro di altezza $h$ è $Q_{in t} = λh$ :

E \cdot 2 π r h = \frac{λh}{ε _{0}} ⟹ E (r) = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}

Il campo del filo infinito decresce come $1/ r$ , non come $1/ r^{2}$ : è più “lento” a spegnersi della carica puntiforme, proprio perché la carica è distribuita lungo tutta una retta infinita e non concentrata in un punto. Lo stesso identico procedimento, con la stessa superficie gaussiana cilindrica, vale per un cilindro carico uniformemente in volume: fuori dal cilindro il risultato è identico (tutta la carica racchiusa conta), dentro si ripete lo stesso ragionamento di proporzionalità visto per la sfera isolante, ma con l’area della sezione circolare al posto del volume della sfera.

3. Due piani infiniti carichi (condensatore piano)

Due piani infiniti paralleli hanno densità di carica superficiale $+ σ$ e $- σ$ , distanza $d$ fra loro piccola rispetto all’estensione dei piani (approssimazione di piano infinito). Si chiede il campo nelle tre regioni: a sinistra del primo piano, fra i due piani, a destra del secondo.

Il campo generato da un singolo piano infinito uniformemente carico, con densità $σ$ , si trova con una gaussiana a forma di “scatola” (o cilindro) che attraversa il piano, con le due basi parallele al piano stesso e equidistanti da esso. Per simmetria il campo è perpendicolare al piano e ha lo stesso modulo sulle due basi, uscente da entrambe le parti se $σ > 0$ . Il flusso attraversa solo le due basi (la superficie laterale è parallela al campo):

Φ = 2 E A = \frac{σ A}{ε _{0}} ⟹ E = \frac{σ}{2 ε _{0}}

campo costante, indipendente dalla distanza dal piano — a differenza della sfera e del filo, qui non c’è alcun decadimento, perché il piano è infinito in ogni direzione.

Con due piani di segno opposto, si sovrappongono i due campi (principio di sovrapposizione, non serve una nuova gaussiana):

A sinistra del piano positivo: i due campi hanno versi opposti (quello del piano $+ σ$ punta verso sinistra, quello del piano $- σ$ punta verso destra, attirando le cariche positive verso di sé, quindi verso destra) e si annullano: $E = 0$ .
Fra i due piani: entrambi i campi puntano nella stessa direzione, dal piano positivo verso quello negativo, e si sommano: $E = σ / ε_{0}$ .
A destra del piano negativo: di nuovo versi opposti, $E = 0$ .

Questo è esattamente il modello del condensatore piano: campo uniforme e diverso da zero solo nella regione fra le armature, nullo fuori. È il motivo per cui un condensatore piano “intrappola” il campo elettrico fra le sue armature invece di disperderlo nello spazio.

Dal campo al potenziale

Il potenziale elettrico si ottiene dal campo per integrazione lungo un percorso, con il segno meno che ne fa una funzione decrescente lungo la direzione del campo:

V (r) - V (r_{0}) = - \int_{r_{0}}^{r} E \cdot d l

Per una carica puntiforme (o, da fuori, per la sfera uniformemente carica dell’esercizio 1), integrando $E (r) = k Q / r^{2}$ da un riferimento a distanza infinita (dove per convenzione $V = 0$ ) fino a $r$ :

V (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{r} (r \geq R)

Per il filo infinito, invece, il riferimento a distanza infinita non è utilizzabile — il potenziale diverge logaritmicamente — e si integra fra due raggi finiti $r_{1}$ e $r_{2}$ :

V (r_{1}) - V (r_{2}) = - \int_{r_{2}}^{r_{1}} \frac{λ}{2 π ε _{0} r} d r = \frac{λ}{2 π ε _{0}} ln (\frac{r _{2}}{r _{1}})

Il campo, in ogni punto, è (meno) il gradiente del potenziale: dove $E (r)$ è più semplice da calcolare con Gauss, conviene sempre partire da lì piuttosto che affrontare il potenziale direttamente con un integrale di carica.

Errori tipici

“Gauss vale sempre, quindi la uso sempre per calcolare $E$ ”. La legge è sempre vera, ma dà $E$ esplicitamente solo con una simmetria sfruttabile (sferica, cilindrica, piana). Su una distribuzione qualunque, la legge di Gauss resta un’equazione corretta ma non risolvibile per $E$ .
Carica interna sbagliata. $Q_{in t}$ è la carica racchiusa dalla superficie gaussiana, non la carica totale del sistema. Con una distribuzione non uniforme o con più oggetti carichi, va calcolata con attenzione — è l’errore più comune nell’esercizio della sfera isolante, dove capita di usare $Q$ anche per $r < R$ .
Verso della normale. $\overset{n}{^}$ punta sempre verso l’esterno della superficie gaussiana. Un errore di verso qui inverte il segno del flusso e, a cascata, il segno di $E$ .
Confondere $ε_{0}$ e $k$ . Sono legate da $k = 1/ (4 π ε_{0})$ : usare $Q_{in t} / ε_{0}$ al posto di $4 π k Q_{in t}$ (o viceversa) per disattenzione produce un fattore $4 π$ di troppo o di meno — un errore che il controllo dimensionale da solo non intercetta, va controllato a mente.

Prepararsi alla prova

I temi di questo blocco — campo, flusso, Gauss, potenziale, condensatori — coprono la parte di elettrostatica pura della prima prova in itinere. Se il tuo corso segue un ordine diverso (alcuni atenei anticipano i condensatori, altri li trattano più avanti insieme ai circuiti), la struttura logica resta la stessa: prima il campo, poi lo strumento per calcolarlo nei casi simmetrici, poi il potenziale come sua conseguenza.

Per il quadro completo del corso, oltre alla legge di Gauss, trovi la simulazione di Fisica 2 su tutto il programma: elettrostatica, circuiti, magnetismo, induzione. Anche qui la risposta corretta di ogni domanda è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione. Il quadro delle materie che seguo all’università è su ripetizioni universitarie, e la pagina di riferimento per fisica in generale è /materie/fisica/.

Se vuoi una mano a impostare gli esercizi o a rivedere gli appunti prima della prova, parti da una chiamata conoscitiva gratuita: mezz’ora per capire dove concentrare il ripasso.

Fisica 2: campo elettrico e legge di Gauss all'esame