Fisica 1: cinematica e dinamica al parziale

Le lezioni del primo semestre sono iniziate da poco più di una settimana — al Politecnico di Milano il 14 settembre — e Fisica 1 sta già mettendo in chiaro le regole del gioco: derivate e vettori usati sul serio, non come al liceo. Le prime prove in itinere, dove il corso le prevede, cadono fra fine ottobre e inizio novembre (al Politecnico, 29 ottobre – 2 novembre): da qui sono circa cinque settimane. Ogni ateneo ha il suo calendario didattico, quindi verifica le date esatte sul sito del tuo corso; qui ti do il metodo, che vale a prescindere dal giorno esatto dell’appello.

La prima prova in itinere copre quasi ovunque la prima parte del programma: cinematica del punto e dinamica. Il resto — lavoro-energia, sistemi di punti, corpo rigido, oscillazioni, fluidi, gravitazione e termodinamica — arriva dopo, spesso nella seconda prova o nello scritto finale. Concentrati su quello che ti chiedono adesso.

Cosa cambia rispetto al liceo

Al liceo la cinematica si faceva con formule dirette: $s (t) = s_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ , punto. In Fisica 1 quella formula non è un punto di partenza, è un caso particolare: la definizione vera è

v = \frac{d r}{d t} a = \frac{d v}{d t}

e il problema tipico ti dà $a (t)$ (non costante) e ti chiede di risalire a $v (t)$ e $x (t)$ integrando, con le condizioni iniziali che fissano le costanti di integrazione. Se non hai ancora fatto gli integrali in Analisi 1, è il punto debole su cui investire subito: qui trovi il taglio dedicato a integrali per Analisi 1, e se ancora prima ti manca la sicurezza sui limiti c’è limiti spiegati bene. Chi arriva debole in analisi arriva debole anche qui: non sono due materie separate nel primo semestre, sono la stessa cassetta degli attrezzi usata due volte.

La seconda cosa nuova è che i moti si trattano quasi sempre per componenti, in 2D. Un moto nel piano si spezza in due moti indipendenti lungo $x$ e $y$ (o lungo radiale e tangenziale, nel caso circolare), e si risolvono separatamente prima di ricomporre il vettore risultato con Pitagora.

Dove si perdono i punti

Unità di misura incoerenti. Il controllo dimensionale è il primo filtro, non l’ultimo: se sommi metri e centimetri senza convertire, o se il risultato finale di un’accelerazione ti esce in $m/s$ , hai già sbagliato prima di guardare il numero. Fallo prima di sostituire, non dopo aver scritto il risultato.

Errori di segno. Ogni problema di dinamica comincia con un sistema di riferimento dichiarato — un asse, un verso positivo — e ogni forza, velocità, accelerazione va proiettata rispetto a quello. Cambiare convenzione a metà esercizio (l’attrito “sembra” opporsi al moto quindi lo scrivo negativo ovunque, anche quando il moto si inverte) è l’errore singolo più frequente in un compito di dinamica.

Lettura dei grafici. Nel grafico $v$ - $t$ l’area sotto la curva è lo spostamento e la pendenza è l’accelerazione; scambiare i due significati, o scambiare $v$ - $t$ con $x$ - $t$ , produce risposte plausibili ma sbagliate.

Comprensione del testo prima di applicare le formule. “Il blocco parte da fermo”, “il filo è inestensibile”, “l’attrito è trascurabile”: ogni condizione del testo elimina un termine dall’equazione o fissa una condizione iniziale. Chi legge il problema come una lista di numeri da incastrare in una formula, saltando le condizioni, sbaglia l’impostazione anche quando i conti sono giusti.

Moto circolare: il pezzo che sorprende di più

Al liceo il moto circolare uniforme bastava saperlo a memoria: $a_{c} = v^{2} / r$ , diretta verso il centro. In Fisica 1 arriva anche il caso non uniforme, dove il modulo della velocità cambia nel tempo, e l’accelerazione ha due componenti indipendenti:

a_{t} = \frac{d v}{d t} a_{c} = \frac{v ^{2}}{r}

la tangenziale (cambia il modulo della velocità) e la centripeta (cambia la direzione). Sono perpendicolari fra loro, quindi l’accelerazione totale si trova con Pitagora: $a = a_{t}^{2} + a_{c}^{2}$ . Dimenticare la tangenziale quando il testo dice “sta accelerando lungo la traiettoria” è un errore che vedo spesso in chi ha imparato il moto circolare solo nella versione uniforme.

Sui moti relativi — cambiare sistema di riferimento fra un osservatore fermo e uno in moto — la parte che ti serve per la prima prova è di solito solo la composizione delle velocità, $v_{A} = v_{A / B} + v_{B}$ : non serve altro a questo livello, il resto (sistemi non inerziali, forze apparenti) arriva più avanti.

Dinamica: il diagramma di corpo libero prima di tutto

Le tre leggi di Newton le conosci già. Quello che cambia in Fisica 1 è la disciplina con cui le applichi: prima il diagramma di corpo libero, poi le equazioni. Isoli il corpo, disegni ogni forza che agisce su di lui (mai le forze che lui esercita su altri), proietti lungo gli assi che hai scelto, e solo a quel punto scrivi $\sum F_{x} = m a_{x}$ , $\sum F_{y} = m a_{y}$ .

Gli attriti seguono due regimi diversi, ed è un punto su cui si perdono punti facili: finché il corpo è fermo, l’attrito statico vale quanto serve per mantenerlo fermo, fino a un massimo $f_{s} \leq μ_{s} N$ ; quando il corpo scivola, l’attrito dinamico ha un valore fisso, $f_{d} = μ_{d} N$ . Non sono la stessa formula applicata due volte: sono due regimi fisici diversi, e il testo del problema di solito ti dice esplicitamente quale devi usare, con “il blocco è in quiete” o “il blocco scivola”.

Quattro esercizi svolti

1. Legge oraria da un’accelerazione non costante

Un punto materiale si muove lungo un asse con accelerazione $a (t) = (6 - 2 t) m/ s^{2}$ . All’istante $t = 0$ ha velocità $v_{0} = 2 m/s$ e posizione $x_{0} = 0$ . Trova $v (t)$ , $x (t)$ e i loro valori a $t = 3 s$ .

Integro l’accelerazione una volta per la velocità:

v (t) = v_{0} + \int_{0}^{t} a (t^{'}) d t^{'} = 2 + 6 t - t^{2}

e la velocità una seconda volta per la posizione:

x (t) = x_{0} + \int_{0}^{t} v (t^{'}) d t^{'} = 2 t + 3 t^{2} - \frac{t ^{3}}{3}

A $t = 3 s$ :

v (3) = 2 + 18 - 9 = 11 m/s x (3) = 6 + 27 - 9 = 24 m

Nota il meccanismo: ogni costante di integrazione (qui $v_{0}$ e $x_{0}$ ) viene fissata dalle condizioni iniziali, non lasciata a caso. È esattamente lo stesso procedimento che vedi in Analisi 1 quando risali da una derivata alla funzione di partenza.

2. Moto parabolico da una quota, con angolo

Un proiettile parte da una quota $h = 20 m$ con velocità iniziale $v_{0} = 25 m/s$ , inclinata di $30°$ sopra l’orizzontale. Calcola tempo di volo, gittata orizzontale e velocità di arrivo al suolo (uso $g = 9, 8 m/ s^{2}$ ).

Assi: $x$ orizzontale nel verso del moto, $y$ verticale verso l’alto, origine al livello del suolo sotto il punto di lancio. Le componenti iniziali:

v_{x} = v_{0} cos 30° \approx 21, 65 m/s v_{y 0} = v_{0} sin 30° = 12, 5 m/s

Il moto orizzontale è uniforme, il verticale uniformemente accelerato — sono indipendenti. Il proiettile tocca terra quando $y (t) = 0$ :

h + v_{y 0} t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ 4, 9 t^{2} - 12, 5 t - 20 = 0

Risolvendo (scarto la radice negativa):

t = \frac{12 , 5 + 12 , 5 ^{2} + 4 \cdot 4 , 9 \cdot 20}{2 \cdot 4 , 9} \approx 3, 66 s

Gittata: $x = v_{x} t \approx 21, 65 \cdot 3, 66 \approx 79, 3 m$ .

Velocità verticale all’arrivo: $v_{y} = v_{y 0} - g t \approx 12, 5 - 9, 8 \cdot 3, 66 \approx - 23, 4 m/s$ (negativa: sta scendendo). La velocità di arrivo, per Pitagora sulle due componenti perpendicolari:

v = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} \approx 21, 6 5^{2} + 23, 4^{2} \approx 31, 9 m/s

3. Due blocchi collegati su piano inclinato con attrito

Un blocco di massa $m_{1} = 4 kg$ è appoggiato su un piano inclinato di $θ = 30°$ , con coefficiente di attrito dinamico $μ = 0, 2$ fra blocco e piano. Un filo inestensibile passa su una carrucola ideale in cima al piano e collega $m_{1}$ a una massa $m_{2} = 6 kg$ che pende verticalmente. Trova l’accelerazione del sistema e la tensione del filo, sapendo che $m_{2}$ scende e trascina $m_{1}$ su per il piano.

Diagramma di corpo libero separato per ciascuna massa. Per $m_{2}$ (asse positivo verso il basso, nel verso del moto):

m_{2} g - T = m_{2} a

Per $m_{1}$ (asse positivo lungo il piano, nel verso in cui $m_{1}$ viene tirato, cioè verso l’alto): la tensione tira su, la componente del peso lungo il piano e l’attrito — che si oppone al moto, quindi punta verso il basso lungo il piano — tirano giù:

T - m_{1} g sin θ - μ m_{1} g cos θ = m_{1} a

Sommando le due equazioni (il filo inestensibile impone la stessa $a$ a entrambe le masse, e $T$ si elide):

a = \frac{m _{2} g - m _{1} g sin θ - μ m _{1} g cos θ}{m _{1} + m _{2}}

Numericamente: $m_{2} g = 58, 8 N$ , $m_{1} g sin θ = 19, 6 N$ , $μ m_{1} g cos θ \approx 6, 79 N$ :

a = \frac{58 , 8 - 19 , 6 - 6 , 79}{10} \approx 3, 24 m/ s^{2}

E dalla prima equazione, $T = m_{2} (g - a) = 6 \cdot (9, 8 - 3, 24) \approx 39, 4 N$ .

Controllo di senso: $a$ è positiva e minore di $g$ , come deve essere in un sistema con due masse collegate; $T$ è minore del peso di $m_{2}$ (58,8 N), coerente col fatto che $m_{2}$ sta accelerando verso il basso e non è in caduta libera.

4. Moto circolare non uniforme: accelerazione totale

Un punto si muove su una circonferenza di raggio $r = 0, 5 m$ . In un certo istante ha velocità $v = 4 m/s$ e accelerazione tangenziale $a_{t} = 2 m/ s^{2}$ (sta accelerando lungo la traiettoria). Trova l’accelerazione totale.

Componente centripeta:

a_{c} = \frac{v ^{2}}{r} = \frac{16}{0 , 5} = 32 m/ s^{2}

Le due componenti sono perpendicolari, quindi il modulo totale è:

a = a_{c}^{2} + a_{t}^{2} = 3 2^{2} + 2^{2} \approx 32, 1 m/ s^{2}

Nota il rapporto: qui $a_{t}$ pesa pochissimo rispetto a $a_{c}$ (l’angolo fra il vettore totale e la direzione radiale è di soli $3, 6°$ ). È un buon promemoria del fatto che nel moto circolare, anche quando la velocità sta cambiando modulo, l’accelerazione centripeta domina appena la velocità non è piccolissima.

Come capire se sei pronto

Il modo più onesto per saperlo non è rileggere gli appunti, è mettersi al cronometro su problemi che assomigliano a quelli della prova. Trovi una simulazione d’esame di Fisica 1 — la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Se un esercizio ti si blocca a metà, prova a individuare dove: è il diagramma di corpo libero (non sai isolare le forze), è il segno (hai cambiato convenzione a metà), o è puramente il calcolo (integrali, sistemi)? Sono tre problemi diversi e vanno curati diversamente.

Se il tuo corso arriva fino alla dinamica dei sistemi e alla meccanica lagrangiana, quello è materiale da secondo anno: ne ho scritto a parte in meccanica razionale e l’esame con Lagrange. Per adesso, concentrati su cinematica e dinamica del punto: sono la base su cui si costruisce tutto il resto del corso.

Se vuoi una mano

Lavoro online su Fisica 1 partendo sempre dal disegno del problema fatto a mano — assi, forze, vincoli — perché è lì che nascono la maggior parte degli errori, molto prima di arrivare ai conti. Trovi il quadro generale nella pagina di fisica e i dettagli del percorso universitario nella pagina delle ripetizioni universitarie. Se vuoi partire da una diagnosi, scrivimi ai contatti: mi mandi gli esercizi delle tue esercitazioni e la data della prova, e ti dico onestamente cosa serve fare da qui a lì.

Fisica 1: cinematica e dinamica per la prova in itinere