Scomposizione in fattori: esercizi svolti

In prima superiore, in tutti i licei, la sequenza è quasi sempre questa: monomi e polinomi, poi prodotti notevoli a novembre-dicembre, poi la scomposizione in fattori tra dicembre e gennaio, con le frazioni algebriche dopo. La verifica sulla scomposizione cade tra gennaio e febbraio, cioè fra tredici e sedici settimane da oggi, 5 ottobre. Scrivo questo post adesso, e non a gennaio, per due motivi: chi arriva a novembre ai prodotti notevoli deve già avere la mappa di dove porta, e la scomposizione è dove nasce il debito del primo periodo. Nelle mie lezioni è la causa numero uno delle insufficienze di pagella a fine quadrimestre, e quasi sempre il problema non è la scomposizione in sé, ma i prodotti notevoli non automatizzati.

L’ordine di studio da ottobre a gennaio, per questo, fa parte della guida (lo trovi in fondo). Le formule dei prodotti notevoli sono spiegate in prodotti notevoli: formule ed esercizi e non le ripeto. Qui c’è il metodo: in che ordine provare i criteri, quando fermarsi e come controllare.

Che cosa vuol dire scomporre

Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado più basso, i fattori. È l’operazione inversa dei prodotti notevoli e del prodotto fra polinomi. Il risultato è corretto se, moltiplicando i fattori, torni al polinomio di partenza: questo è il controllo finale e lo puoi fare sempre, in due minuti, anche in verifica.

La regola da tenere in testa è una: scomponi finché puoi. Un polinomio è scomposto fino in fondo quando nessun fattore ammette ulteriori scomposizioni. Fermarsi a metà costa punti anche se i passaggi fatti sono giusti.

L’albero decisionale

Davanti a un polinomio non indovinare: provi i criteri sempre nello stesso ordine.

Raccoglimento totale. C’è un fattore comune a tutti i termini (numero, lettera, o entrambi)? Raccoglilo. Va sempre per primo, perché semplifica tutto il resto.
Differenza di quadrati (o di cubi). Due termini con segno meno in mezzo, entrambi quadrati? Allora $A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$ . Per i cubi: $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ e $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ .
Quadrato di binomio. Tre termini, due quadrati e il doppio prodotto: $A^{2} + 2 A B + B^{2} = (A + B)^{2}$ oppure $A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}$ .
Trinomio di secondo grado $x^{2} + s x + p$ . Cerchi due numeri che sommati danno $s$ e moltiplicati danno $p$ : $x^{2} + s x + p = (x + m) (x + n)$ con $m + n = s$ e $m \cdot n = p$ .
Raccoglimento parziale. Quattro o più termini: raggruppali a coppie, raccogli in ciascun gruppo e cerca un fattore comune a tutto.
Ruffini. Per polinomi di grado tre o superiore quando nessun criterio sopra funziona. Per ora lo accenno soltanto: ne parlo in divisione di polinomi e Ruffini, perché in prima di solito non si arriva.

Che cosa vedo, che cosa provo

Che cosa vedo	Che cosa provo
Un fattore presente in ogni termine	Raccoglimento totale
Due termini con meno in mezzo, due quadrati	Differenza di quadrati
Due termini con più in mezzo	Somma di quadrati: non si scompone. Somma di cubi: sì
Tre termini, due quadrati e un doppio prodotto	Quadrato di binomio
Tre termini del tipo $x^{2} + s x + p$	Somma e prodotto
Quattro termini	Raccoglimento parziale
Grado tre o più senza schemi	Ruffini

Raccoglimento totale: l’attenzione al numero

Nel raccoglimento totale si prende il massimo comune divisore dei coefficienti e le lettere comuni con l’esponente più basso. Esempio: in $6 x^{3} y - 12 x^{2} y^{2}$ il numero comune è $6$ (MCD tra $6$ e $12$ ), la lettera $x$ compare con esponente minimo $2$ e la $y$ con esponente minimo $1$ . Si raccoglie $6 x^{2} y$ :

6 x^{3} y - 12 x^{2} y^{2} = 6 x^{2} y (x - 2 y)

Per il calcolo dell’MCD con i fattori primi puoi rivedere MCD e mcm con la scomposizione in fattori primi. Il controllo: dividi ogni termine originale per il fattore raccolto e verifica che ottieni i termini tra parentesi.

Raccoglimento parziale: dove si perdono i segni

Il raccoglimento parziale funziona quando, raggruppando, le parentesi che restano sono uguali. Se sono uguali a meno del segno, hai sbagliato un segno oppure devi raccogliere un meno. Esempio:

x^{3} - x^{2} - 4 x + 4

Raggruppo i primi due e gli ultimi due termini. Dai primi due raccolgo $x^{2}$ : $x^{2} (x - 1)$ . Dagli ultimi due raccolgo $- 4$ : $- 4 x + 4 = - 4 (x - 1)$ . Il segno meno raccolto cambia i segni dentro la parentesi, ed è lì che molti sbagliano scrivendo $- 4 (x + 1)$ . Con la parentesi $(x - 1)$ comune:

x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} - 4) = (x - 1) (x - 2) (x + 2)

L’ultimo passaggio è una differenza di quadrati: ricordati di fermarti solo dopo aver controllato ogni fattore. Verifica rapida: $(x - 1) (x^{2} - 4) = x^{3} - 4 x - x^{2} + 4$ , che riordinato è $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ .

Errori tipici

Dimenticare il fattore comune numerico. In $2 x^{3} - 8 x$ lo studente raccoglie $x$ e scrive $x (2 x^{2} - 8)$ , dimenticando che $2$ è comune ai due termini. Il polinomio non è scomposto fino in fondo.
Sbagliare i segni nel raccoglimento parziale. Quando raccogli un termine negativo, tutti i segni dentro la parentesi cambiano.
Scomporre una somma di quadrati. $x^{2} + 9$ non si scompone con i numeri reali: la formula $A^{2} + B^{2}$ non ha una fattorizzazione. Vale la stessa regola per $x^{2} + 4$ dentro $x^{4} - 16$ , che resta così com’è.
Fermarsi a metà. Dopo il primo passaggio un fattore può essere a sua volta una differenza di quadrati o un trinomio.
Confondere il quadrato di binomio con il trinomio $x^{2} + s x + p$ . Nel primo, i due numeri sono uguali. Se $s^{2} = 4 p$ stai guardando un quadrato: $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ , non $(x + 3) (x + 3)$ scritto a caso, anche se per il valore è lo stesso.
Non fare il controllo finale. Moltiplicare i fattori richiede due minuti e intercetta la maggior parte degli errori di segno.

Esercizio 1: due criteri in sequenza

Scomponi $2 x^{3} - 8 x$ .

Primo criterio, raccoglimento totale. Il numero comune è $2$ (MCD di $2$ e $8$ ) e la lettera comune è $x$ . Raccolgo $2 x$ :

2 x^{3} - 8 x = 2 x (x^{2} - 4)

Dentro la parentesi c’è una differenza di quadrati, perché $x^{2} - 4 = x^{2} - 2^{2}$ :

2 x (x^{2} - 4) = 2 x (x - 2) (x + 2)

I fattori $2 x$ , $x - 2$ , $x + 2$ non si scompongono oltre. Controllo: $(x - 2) (x + 2) = x^{2} - 4$ , e $2 x (x^{2} - 4) = 2 x^{3} - 8 x$ . Corretto.

Esercizio 2: il trinomio con somma e prodotto

a) Scomponi $x^{2} - 5 x + 6$ .

Cerco due numeri con somma $- 5$ e prodotto $+ 6$ . Il prodotto è positivo, quindi i numeri hanno lo stesso segno, e poiché la somma è negativa sono entrambi negativi. Le coppie di divisori di $6$ sono $(1, 6)$ e $(2, 3)$ : con segno meno, la somma $- 5$ la dà $- 2$ e $- 3$ . Quindi

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Controllo: $(x - 2) (x - 3) = x^{2} - 3 x - 2 x + 6 = x^{2} - 5 x + 6$ .

b) Scomponi $x^{2} + 2 x - 15$ .

Cerco due numeri con somma $+ 2$ e prodotto $- 15$ . Il prodotto è negativo, quindi i numeri hanno segni opposti. Le coppie di divisori di $15$ sono $(1, 15)$ e $(3, 5)$ . Con segni opposti e somma $+ 2$ va bene $5$ e $- 3$ ( $5 - 3 = 2$ , $5 \cdot (- 3) = - 15$ ). Quindi

x^{2} + 2 x - 15 = (x + 5) (x - 3)

Controllo: $(x + 5) (x - 3) = x^{2} - 3 x + 5 x - 15 = x^{2} + 2 x - 15$ . Corretto.

Regola pratica: se il prodotto è negativo, il numero più grande in valore assoluto prende il segno della somma.

Per prendere confidenza con questi schemi su più casi puoi usare la verifica di matematica di 1ª su scomposizione e frazioni algebriche: la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 3: raccoglimento parziale con le lettere

Scomponi $a x + a y + b x + b y$ .

Quattro termini: raccoglimento parziale. Raggruppo i primi due e gli ultimi due:

a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y)

Ora le due parentesi sono uguali, $(x + y)$ è un fattore comune a tutto:

a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Controllo: $(x + y) (a + b) = a x + b x + a y + b y$ , che coincide con il polinomio di partenza a meno dell’ordine dei termini.

Esercizio 4: un caso con più passaggi

Scomponi $3 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x$ .

Passo uno, raccoglimento totale: il numero comune è $3$ e la lettera comune è $x$ , quindi raccolgo $3 x$ :

3 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x = 3 x (x^{2} - 4 x + 4)

Passo due, guardo il trinomio tra parentesi: $x^{2}$ e $4 = 2^{2}$ sono quadrati e il termine centrale è $- 2 \cdot x \cdot 2 = - 4 x$ , quindi è un quadrato di binomio:

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}

Risultato finale:

3 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x = 3 x (x - 2)^{2}

Controllo: $(x - 2)^{2} = x^{2} - 4 x + 4$ , e moltiplicando per $3 x$ ottengo $3 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x$ .

Un secondo esempio con due differenze di quadrati di fila: $x^{4} - 16$ . Prima $x^{4} = (x^{2})^{2}$ e $16 = 4^{2}$ , quindi $(x^{2} - 4) (x^{2} + 4)$ . Poi $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , mentre $x^{2} + 4$ è una somma di quadrati e si ferma qui:

x^{4} - 16 = (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)

Come usare i mesi da ottobre a gennaio

Ottobre, con i monomi. Allenati a riconoscere quadrati e doppi prodotti: se vedi $9 a^{2}$ pensi subito $(3 a)^{2}$ . Sembra un dettaglio, ed è la parte che fa risparmiare più tempo a gennaio.

Novembre-dicembre, con i prodotti notevoli. Automatizza le formule di quadrato di binomio, differenza di quadrati e cubo di binomio, in entrambi i versi: sapere sviluppare $(x + 3)^{2}$ e riconoscere $x^{2} + 6 x + 9$ sono la stessa abilità letta da due parti. Rifai gli esercizi di prodotti notevoli finché i segni non escono senza pensarci.

Dicembre-gennaio, con la scomposizione. Scrivi l’albero in cima al foglio e applicalo in ordine, anche quando “vedi” già la soluzione: è il modo più sicuro di non saltare un raccoglimento. Poi fai ogni giorno cinque scomposizioni di tipo misto, con controllo finale.

Per capire che cosa ti aspetta in classe nei mesi successivi, nella prima verifica di matematica trovi l’impostazione dei primi compiti, mentre il quadro dell’anno è nel programma e formulario di prima. La scomposizione torna in seconda con le frazioni algebriche: se vuoi vedere dove porta, c’è scomposizione e frazioni algebriche per le scienze umane. Tutta la materia è nella pagina di matematica.

Prima di gennaio

La simulazione sulla scomposizione è disponibile in stagione, da ottobre a maggio: verifica di matematica di 1ª su scomposizione e frazioni algebriche. Il consiglio è di provarla una volta quando arrivi ai prodotti notevoli, per capire cosa ti manca, e di nuovo due settimane prima della verifica.

Se i prodotti notevoli non sono ancora automatici e non vuoi arrivare a gennaio con il debito già scritto, scrivimi dalla pagina contatti: la diagnosi iniziale è gratuita e ti dico da quale tipo di scomposizione conviene partire.

Scomposizione in fattori: metodo ed esercizi svolti