Conversioni di unità di misura e notazione scientifica

Siamo ai primi di ottobre e in prima superiore la fisica è appena partita: grandezze, misure, Sistema Internazionale. La prima verifica arriverà fra quattro-sei settimane, in novembre, e l’esperienza dice che la prima insufficienza dell’anno nasce quasi sempre qui, non dalla fisica vera e propria ma dalle equivalenze. Il professore ha spiegato le unità in un paio di lezioni, gli esercizi del libro sembrano banali, e poi nel compito $350{\text{ cm}}^3$ diventano $0,35{\text{ m}}^3$ e tutto il problema sbaglia di tre ordini di grandezza.

Questo post è il metodo che uso io per le conversioni e per la notazione scientifica. Se lo impari adesso, sei un passo avanti: quando il professore arriverà agli esercizi di verifica, tu avrai già fatto la parte meccanica.

Il metodo dei fattori di conversione

Una conversione non è un trucco da ricordare a memoria. È una moltiplicazione per $1$ scritto in modo furbo. Sappiamo che $1\text{ km}=1000\text{ m}$, quindi la frazione

vale $1$. Moltiplicare per $1$ non cambia la grandezza, cambia solo come la scriviamo. Si sceglie la frazione in modo che l’unità da eliminare stia dalla parte opposta e si semplifichi:

I “km” in alto e in basso si cancellano, restano i metri. Se sbagli il verso della frazione, le unità non si cancellano e te ne accorgi subito: è questo il controllo che rende il metodo sicuro.

I prefissi del Sistema Internazionale

Prima delle conversioni servono i prefissi, che sono semplicemente potenze di dieci:

Quindi $1\text{ mm}=10^{-3}\text{ m}$ e $1\text{ kg}=10^3\text{ g}$. Attenzione al chilogrammo: l’unità di base del SI per la massa è già il kg, non il grammo.

km/h e m/s: perché si divide per 3,6

La conversione che compare in ogni verifica. Applichiamo il metodo:

Da qui la regola: da km/h a m/s si divide per 3,6; da m/s a km/h si moltiplica per 3,6. Un modo per non scambiarli: il numero in m/s è sempre “più piccolo” del numero in km/h, perché il metro è piccolo e il secondo è breve. Se passando a m/s il numero ti cresce, hai moltiplicato invece di dividere.

Due esempi:

Unità al quadrato e al cubo: l’errore che costa di più

Qui sbaglia la maggior parte della classe. Se $1\text{ cm}=10^{-2}\text{ m}$, allora per l’area e il volume il fattore va elevato alla stessa potenza dell’unità:

L’errore tipico è scrivere $1{\text{ cm}}^3=10^{-2}{\text{ m}}^3$: si ricorda “centi uguale $10^{-2}$” e si dimentica che l’esponente 3 dell’unità vale anche per il fattore. Il risultato sbaglia di un fattore diecimila.

Un controllo di buon senso: un cubetto di $1\text{ cm}$ di lato è minuscolo, un metro cubo è un cubo grande quanto una lavatrice. In un metro cubo ci stanno un milione di quei cubetti, quindi $1{\text{ cm}}^3$ non può essere $0,01{\text{ m}}^3$ (ne starebbero solo cento).

Altre equivalenze di volume da conoscere: $1{\text{ dm}}^3=1\text{ L}=10^{-3}{\text{ m}}^3$, quindi $1{\text{ m}}^3=1000\text{ L}$.

Anche la densità ha le sue unità composte

Quindi $0,8{\text{ g/cm}}^3$ sono $800{\text{ kg/m}}^3$ (l’acqua è $1{\text{ g/cm}}^3=1000{\text{ kg/m}}^3$). Si passa da g/cm³ a kg/m³ moltiplicando per $1000$.

Notazione scientifica

Un numero è in notazione scientifica quando è scritto come $a\cdot 10^n$ con $1\le a<10$ e $n$ intero. Per scrivere $45000$ si sposta la virgola fino ad avere una sola cifra prima: $4,5\cdot 10^4$. Per $0,0032$ si sposta a destra: $3,2\cdot 10^{-3}$. Se la virgola va verso sinistra l’esponente è positivo, verso destra è negativo.

Moltiplicare e dividere

Le potenze di dieci seguono le regole delle potenze: nel prodotto gli esponenti si sommano, nel quoziente si sottraggono. I numeri davanti si trattano a parte.

Nota l’ultimo passaggio: $12\cdot 10^3$ non è ancora in notazione scientifica, perché davanti c’è $12$ e non un numero tra $1$ e $10$. Si scrive $12=1,2\cdot 10$ e gli esponenti si sommano: $10\cdot 10^3=10^4$. È una dimenticanza che il professore segna.

Per la divisione:

Attenzione al segno: $3-(-4)=7$, non $-1$.

Tre esercizi svolti

Esercizio 1: una conversione di velocità

Un’auto viaggia a $108\text{ km/h}$. Quanto vale la velocità in m/s e che distanza percorre in $4,0\text{ s}$ a velocità costante?

Verifica: $108/3,6$ è $30$ perché $3,6\cdot 30=108$. Il risultato è già in metri perché i secondi si semplificano.

Se vuoi allenarti su questo tipo di quesito a tempo, la pagina delle verifiche di prima superiore raccoglie le prove simulate del biennio. Dico le cose come stanno: sono prove di taglio generale sulla fisica e la matematica della prima, non una simulazione costruita solo sulle conversioni; servono come test di autovalutazione, non come sostituto degli esercizi di questo post. La risposta corretta di ogni quesito è gratis, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: volume, conversione e massa

Una bottiglia contiene $750{\text{ cm}}^3$ d’acqua. Esprimi il volume in ${\text{m}}^3$ in notazione scientifica e calcola la massa, sapendo che la densità dell’acqua è $1000{\text{ kg/m}}^3$.

Conversione, con il fattore corretto $10^{-6}$:

Massa dalla densità, $m=d\cdot V$:

Controllo: una bottiglia da tre quarti di litro d’acqua pesa tre quarti di chilo. Torna. Se avessi usato $10^{-2}$ avresti ottenuto $7,5{\text{ m}}^3$ e una massa di $7500\text{ kg}$, che il buon senso scarta subito.

Esercizio 3: notazione scientifica in un problema

La luce del Sole impiega un certo tempo per arrivare sulla Terra. La distanza è circa $1,5\cdot 10^{11}\text{ m}$ e la velocità della luce è circa $3,0\cdot 10^8\text{ m/s}$. Quanto dura il viaggio?

I numeri davanti: $1,5/3,0=0,5$. Le potenze: $11-8=3$. Poi $0,5\cdot 10^3$ si riscrive con una cifra prima della virgola: $5,0\cdot 10^2\text{ s}$, cioè $500\text{ s}$, circa $8$ minuti e $20$ secondi.

Gli errori che vedo di più

• Esponente non elevato nell’area o nel volume. Il caso $1{\text{ cm}}^3=10^{-2}{\text{ m}}^3$ visto sopra. Se l’unità ha un esponente, anche il fattore lo ha.
• Dividere per 3,6 al posto di moltiplicare (o viceversa). Controlla sempre l’ordine di grandezza: $90\text{ km/h}$ sono circa $25\text{ m/s}$, non $324$.
• Lasciare il risultato fuori forma. $12\cdot 10^3$ o $0,5\cdot 10^3$ non sono notazione scientifica: il numero davanti va riportato tra $1$ e $10$.
• Segni degli esponenti nella divisione. Esponente del denominatore negativo vuol dire che l’esponente del risultato cresce.
• Cambiare unità a metà calcolo. Prima si portano tutti i dati alle unità del SI, poi si calcola. Mescolare km e m in una formula è la strada più veloce per un risultato sballato.

Cifre significative e quando servono

Nella verifica spesso si chiede anche di dare il risultato con il numero giusto di cifre significative: il risultato di una moltiplicazione o divisione ne ha tante quante il dato che ne ha meno. Il discorso completo, con le regole per somme e differenze, è nel post sulle misure e cifre significative (scritto per un altro indirizzo ma la regola è la stessa). Quando arriverete agli errori di misura, trovi il metodo in errori di misura e propagazione degli errori; le prime relazioni tra grandezze, con i grafici, sono invece in proporzionalità diretta, inversa e quadratica.

Come usare le prossime settimane

Non serve studiare molto, serve ripetere poco e spesso. Ogni sera, per una settimana, convertine sei: due di velocità, due di area o volume, due di notazione scientifica. Scrivi sempre la frazione di conversione per esteso, anche quando “la sai già”: è l’abitudine che ti salva in verifica quando c’è l’agitazione.

Se vuoi sapere a che punto sei, la diagnosi gratuita serve a questo: mi mandi un compito o un esercizio che non ti torna e ti dico dove sta l’errore. Il programma di fisica del biennio, con il lavoro sulle misure, è qui; le lezioni sono online e uno-a-uno.