Moto armonico: molla e pendolo

Se sei in terza al liceo scientifico, siamo a inizio ottobre e il programma di fisica sta passando dalla relatività galileiana ai moti nel piano: parabolico, circolare, e poi il moto armonico con molla e pendolo. Di solito arriva in classe tra metà e fine ottobre, e il compito che lo contiene cade fra cinque e nove settimane, tra novembre e dicembre. Con la fisica che passa da due a tre ore e diventa quantitativa, è l’argomento in cui molti scoprono che le formule da sole non bastano: bisogna capire quale grandezza dipende da quale.

Qui ti do l’ossatura: da dove nasce la legge oraria, le due formule dei periodi, l’energia, i grafici, gli errori che vedo ogni anno e tre esercizi svolti per intero. Per la forza centripeta e le forze apparenti ho scritto un altro articolo; per il quadro generale del primo periodo c’è quello sul primo compito di terza; per il bilancio energetico con attrito e urti c’è quello su lavoro ed energia. Qui non ripeto quei contenuti: mi concentro su cosa rende “armonico” un moto.

Da dove arriva la legge oraria

Prendi un punto che gira di moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio $A$ , con velocità angolare $ω$ . Illuminalo di lato: la sua ombra su un diametro va avanti e indietro. Quell’ombra compie un moto armonico semplice. Se il punto parte dall’angolo $φ$ , la posizione dell’ombra è la proiezione:

x (t) = A cos (ω t + φ)

Le grandezze hanno nomi precisi, e a verifica si perdono punti per scambiarli:

$A$ è l’ampiezza: lo spostamento massimo dal centro, in metri;
$ω$ è la pulsazione (o velocità angolare del punto che gira), in rad/s;
$φ$ è la fase iniziale, in radianti;
il periodo $T$ è la durata di un’oscillazione completa, in secondi;
la frequenza $f$ è il numero di oscillazioni al secondo, in hertz.

Il collegamento è sempre lo stesso, perché un giro completo sono $2 π$ radianti:

ω = \frac{2 π}{T} = 2 π f T = \frac{1}{f}

Derivando (o proiettando anche la velocità del punto che gira) si ottengono velocità e accelerazione:

v (t) = - A ω sin (ω t + φ)

a (t) = - A ω^{2} cos (ω t + φ) = - ω^{2} x (t)

L’ultima uguaglianza è la vera definizione del moto armonico: l’accelerazione è proporzionale allo spostamento e ha segno opposto. Sempre rivolta verso il centro, più grande quanto più sei lontano. Se in un esercizio vedi una forza di richiamo proporzionale allo spostamento ( $F = - k x$ ), sai già che il moto è armonico.

Valori massimi, da tenere a mente: $x_{ma x} = A$ , $v_{ma x} = A ω$ , $a_{ma x} = A ω^{2}$ .

Il sistema massa–molla

Una massa $m$ attaccata a una molla di costante elastica $k$ , su un piano senza attrito. La forza di richiamo è $F = - k x$ , quindi $ma = - k x$ , cioè $a = - \frac{k}{m} x$ . Confrontandola con $a = - ω^{2} x$ si legge subito:

ω = \frac{k}{m} T = 2 π \frac{m}{k}

Tre cose da notare, perché sono le domande da teoria:

Il periodo non dipende dall’ampiezza. Spostando di più la massa la forza è più grande, ma deve anche percorrere più strada: i due effetti si compensano e il tempo di un’oscillazione resta uguale.
Il periodo cresce con la massa e cala con la rigidità. Massa maggiore, oscillazione più lenta; molla più dura, oscillazione più rapida.
Non compare $g$ . Se appendi la massa in verticale, la gravità sposta solo la posizione di equilibrio (la molla si allunga un po’ di più), ma il periodo resta $2 π m / k$ . Lo stesso sistema sulla Luna oscilla con lo stesso periodo.

Per scrivere $x (t)$ ti servono solo $A$ , $ω$ e la fase: se lasci andare la massa da ferma a distanza $A$ , parti dal massimo e $φ = 0$ .

Il pendolo semplice

Una massa piccola appesa a un filo inesteso di lunghezza $L$ . Per angoli piccoli la formula è:

T = 2 π \frac{L}{g}

Qui devo essere preciso su una cosa che molti libri dicono di corsa: vale solo per piccole oscillazioni. Il motivo è che la forza di richiamo è proporzionale a $sin θ$ , non a $θ$ , e solo per angoli piccoli (espressi in radianti) le due quantità sono praticamente uguali. Con angoli di una decina di gradi l’approssimazione è ancora ottima; con angoli larghi il periodo reale diventa un po’ più lungo di quello della formula, e il moto non è più armonico in senso stretto. Se il testo dà l’angolo di partenza, controlla sempre che sia piccolo prima di applicare la formula.

Anche qui, tre osservazioni:

Il periodo non dipende dalla massa. Il peso cresce con $m$ , ma cresce anche l’inerzia: si semplificano, esattamente come nella caduta libera.
Dipende dalla lunghezza e da $g$ . Pendolo più lungo, oscillazione più lenta; $g$ più piccola (la Luna), oscillazione più lenta.
Non dipende dall’ampiezza (finché è piccola).

Energia nel moto armonico

Nel sistema massa–molla senza attrito si conserva la somma di energia cinetica ed elastica:

E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = costante

Agli estremi ( $x = \pm A$ ) la massa è ferma e tutta l’energia è elastica; al centro ( $x = 0$ ) la molla è a riposo e tutta l’energia è cinetica. Quindi:

E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} m v_{ma x}^{2}

Da questa uguaglianza ricavi in un colpo $v_{ma x} = A k / m = A ω$ , e anche la velocità in un punto qualunque, senza passare dal tempo:

v = ω A^{2} - x^{2}

Per un pendolo il ragionamento è identico con l’energia potenziale gravitazionale al posto di quella elastica: cinetica massima nel punto più basso, nulla agli estremi. La conservazione con attrito e urti, invece, è un altro tipo di problema: ne parlo nell’articolo su lavoro ed energia.

Grafici di posizione, velocità e accelerazione

Prendiamo un oscillatore lasciato da fermo in $x = A$ ( $φ = 0$ ). Le tre curve sono la stessa sinusoide, spostata:

Grandezza	Legge	A $t = 0$	Dopo $T /4$
posizione	$A cos ω t$	massima ( $+ A$ )	nulla
velocità	$- A ω sin ω t$	nulla	massima in modulo (verso il basso del grafico)
accelerazione	$- A ω^{2} cos ω t$	massima in modulo, negativa	nulla

Due regole che bastano per i grafici: la velocità è sfasata di un quarto di periodo rispetto alla posizione (è massima quando $x = 0$ , nulla agli estremi), e l’accelerazione ha sempre il segno opposto della posizione: i loro grafici sono uno lo specchio dell’altro rispetto all’asse del tempo.

Gli errori che tornano ogni anno

Confondere $ω$ e $f$ . Se il testo dice “frequenza 2 Hz”, la pulsazione non è 2 rad/s ma $ω = 2 π \cdot 2 \approx 12, 6$ rad/s. Nelle formule di $x (t)$ , $v (t)$ , $a (t)$ entra sempre $ω$ .

Mettere la massa in grammi. In $T = 2 π m / k$ la massa va in kg. Con $m = 500$ g e $k = 200$ N/m, scrivere $500$ invece di $0, 5$ ti dà un periodo con un fattore $1000 \approx 32$ di troppo. Converti prima di tutto.

Dire che $T$ dipende dall’ampiezza. Non dipende, né per la molla né per il pendolo (a piccoli angoli). Se raddoppi $A$ cambiano $v_{ma x}$ , $a_{ma x}$ ed energia, non il periodo.

Calcolatrice in gradi. Nel coseno di $cos (ω t + φ)$ l’argomento è in radianti. Con $x (t) = 0, 10 cos (10 t)$ e $t = 0, 1$ s l’argomento è $1$ rad, e $cos (1 rad) \approx 0, 540$ , quindi $x \approx 0, 054$ m. In modalità gradi la calcolatrice calcola $cos (1°) \approx 0, 9998$ e ottieni $0, 10$ m: un risultato sbagliato che a occhio sembra plausibile.

“Il pendolo dipende dalla massa.” No: massa e inerzia si compensano. Una palla da biliardo e una da tennis appese allo stesso filo, con la stessa oscillazione, hanno lo stesso periodo.

Applicare la formula del pendolo con angoli grandi, senza accorgersene perché l’angolo è dato in radianti o nascosto in una figura.

Se vuoi allenarti su questo tipo di domande a tempo, nel simulatore delle verifiche per il liceo trovi una verifica simulata per ogni argomento di matematica e fisica, da 15 quesiti in 50 minuti. Attenzione: non c’è una verifica dedicata solo al moto armonico, ma è un buon modo per capire a che punto sei con il resto del programma di terza.

Tre esercizi svolti

1. Molla: periodo, frequenza, pulsazione

Una massa $m = 0, 50$ kg è attaccata a una molla di costante $k = 200$ N/m e oscilla su un piano orizzontale liscio. Calcola periodo, frequenza e pulsazione.

Le unità sono già coerenti (kg, N/m). Il periodo:

T = 2 π \frac{m}{k} = 2 π \frac{0 , 50}{200} = 2 π 0, 0025 = 2 π \cdot 0, 050 \approx 0, 314 s

La frequenza e la pulsazione:

f = \frac{1}{T} \approx 3, 18 Hz ω = \frac{2 π}{T} = \frac{k}{m} = 400 = 20 rad/s

Controllo: $ω = 2 π f = 2 π \cdot 3, 18 \approx 20$ rad/s. Se la massa fosse il quadruplo ( $2, 0$ kg), il periodo raddoppierebbe, perché compare $m$ : è una verifica rapida che il risultato abbia senso.

2. Pendolo: periodo e lunghezza per un periodo dato

Un pendolo semplice ha lunghezza $L = 1, 0$ m ( $g = 9, 8$ m/s², oscillazioni piccole). Calcola il periodo. Poi: quanto deve essere lungo un pendolo che oscilla con periodo $T = 1, 0$ s?

Periodo del primo pendolo:

T = 2 π \frac{1 , 0}{9 , 8} = 2 π \cdot 0, 3194 \approx 2, 0 s

Per la seconda parte inverto la formula. Elevo al quadrato $T = 2 π L / g$ e isolo $L$ :

L = \frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}} = \frac{9 , 8 \cdot 1 , 0 ^{2}}{4 π ^{2}} = \frac{9 , 8}{39 , 48} \approx 0, 25 m

Controllo con il rapporto: dimezzare il periodo vuol dire dividere la lunghezza per quattro, e infatti da $1, 0$ m si passa a circa $0, 25$ m. Notare che la massa non c’è mai stata: il testo non la dava, e non serviva.

3. Velocità massima ed energia

Un oscillatore armonico di massa $m = 0, 20$ kg ha ampiezza $A = 0, 10$ m e pulsazione $ω = 10$ rad/s. Trova velocità massima, accelerazione massima, costante elastica ed energia totale. Poi la velocità quando si trova a $x = 0, 06$ m dal centro.

Velocità e accelerazione massime:

v_{ma x} = A ω = 0, 10 \cdot 10 = 1, 0 m/s a_{ma x} = A ω^{2} = 0, 10 \cdot 100 = 10 m/s^{2}

Dalla pulsazione ricavo $k$ , perché $ω^{2} = k / m$ :

k = m ω^{2} = 0, 20 \cdot 100 = 20 N/m

L’energia totale, calcolata in due modi che devono coincidere:

E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 0, 010 = 0, 10 J

E = \frac{1}{2} m v_{ma x}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 0, 20 \cdot 1, 0^{2} = 0, 10 J

Per la velocità a $x = 0, 06$ m:

v = ω A^{2} - x^{2} = 10 0, 0100 - 0, 0036 = 10 0, 0064 = 10 \cdot 0, 08 = 0, 80 m/s

Controllo con l’energia: $\frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 0, 0036 = 0, 036$ J e $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 0, 20 \cdot 0, 64 = 0, 064$ J; la somma è $0, 10$ J, come deve. È questo tipo di controllo incrociato che, in verifica, ti salva da un errore di calcolo che altrimenti non vedresti.

Come prepararsi nelle prossime settimane

Hai tempo, ma il moto armonico si impara meglio a piccole dosi. Quello che farei, in ordine:

Impara a memoria le due formule dei periodi e, soprattutto, da cosa dipendono e da cosa no. Quasi ogni domanda di teoria è lì.
Rifai i tre esercizi sopra senza guardare, cambiando i numeri.
Disegna a mano i grafici di $x$ , $v$ , $a$ uno sotto l’altro, con le stesse ascisse in $T /4$ .
Quando il capitolo è chiuso in classe, fai una simulazione a tempo sul simulatore delle verifiche del liceo: ricordati che non c’è una prova solo sul moto armonico, ma i quesiti di fisica coprono gli argomenti del programma.

Altre risorse sulla materia sono nella pagina fisica.

Come lavoriamo nelle lezioni

Con chi arriva da me su questo argomento parto quasi sempre dal punto che gira su un cerchio, perché una volta visto da dove nasce il coseno, la formula smette di essere da ricordare e diventa da ricostruire. Poi facciamo esercizi con numeri tuoi, dove sbagli per davvero (grammi, radianti, ampiezze) e li correggiamo insieme. Non prometto niente di magico: servono qualche settimana e un po’ di esercizio a casa tra una lezione e l’altra.

Se vuoi una mano

Se il compito si avvicina e vuoi capire a che punto sei, puoi prenotare una diagnosi gratuita: vediamo insieme dove sono i buchi e se ha senso lavorarci. Per modalità e costi delle lezioni c’è la pagina pricing.

Moto armonico: molla e pendolo, formule ed esercizi