MCD e mcm: calcolo ed esercizi svolti

Siamo ai primi di ottobre: in prima superiore il professore di matematica sta ripassando frazioni e potenze, e fra tre-cinque settimane arriva il primo compito, quello con le espressioni piene di frazioni. Chi sbaglia quelle espressioni, quasi sempre, non sbaglia la frazione: sbaglia il denominatore comune, cioè il mcm. E chi non sa scomporre in fattori primi lo trova a gennaio ancora più duro, quando la scomposizione arriva con le lettere.

Questo post è sul pezzo che sta sotto tutto: scomporre un numero, calcolare MCD e mcm, usarli. Se ci arrivi in tempo, le frazioni del compito diventano una questione di ordine.

Criteri di divisibilità: i cinque che servono

Per scomporre bisogna sapere per cosa un numero è divisibile, senza fare la divisione. Questi bastano:

per $2$ : l’ultima cifra è pari;
per $3$ : la somma delle cifre è un multiplo di $3$ (esempio: $252 \to 2 + 5 + 2 = 9$ , quindi sì);
per $5$ : finisce con $0$ o con $5$ ;
per $9$ : la somma delle cifre è un multiplo di $9$ ;
per $11$ : la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di posto dispari differiscono di un multiplo di $11$ (si usa meno, ma capita).

Per $4$ guarda le ultime due cifre: se formano un multiplo di $4$ (come $12$ , $36$ , $80$ ), lo è tutto il numero.

La scomposizione in fattori primi

Un numero primo ha solo due divisori: $1$ e se stesso ( $2, 3, 5, 7, 11, 13 \dots$ ). Scomporre un numero vuol dire scriverlo come prodotto di primi, elevati a potenza quando si ripetono. Si procede dividendo per il primo più piccolo possibile, finché si arriva a $1$ :

360 = 2 \cdot 180 = 2 \cdot 2 \cdot 90 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 45 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 15 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

Il controllo è immediato: $8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$ . Faccio sempre il prodotto di ritorno, perché una scomposizione sbagliata rovina tutto quello che viene dopo.

Un altro esempio: $252 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7$ , perché $4 \cdot 9 \cdot 7 = 252$ .

MCD: il massimo comune divisore

L’MCD di due numeri è il più grande numero che divide entrambi. Si calcola così: si prendono solo i fattori comuni, ciascuno con l’esponente minore.

Con $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ e $252 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7$ :

il $2$ è in entrambi: esponenti $3$ e $2$ , si prende $2^{2}$ ;
il $3$ è in entrambi: esponenti $2$ e $2$ , si prende $3^{2}$ ;
il $5$ e il $7$ compaiono in uno solo, non si prendono.

MCD (360, 252) = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36

mcm: il minimo comune multiplo

L’mcm è il più piccolo numero che è multiplo di entrambi. Qui si prendono tutti i fattori, comuni e non comuni, ciascuno con l’esponente maggiore:

mcm (360, 252) = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 = 2520

Verifica che faccio sempre: il prodotto dei due numeri è uguale al prodotto di MCD e mcm. Qui $360 \cdot 252 = 90720$ e $36 \cdot 2520 = 90720$ . Funziona solo per due numeri alla volta, ma per il controllo è perfetto.

Per ricordare quale va col minimo e quale col massimo: MCD cerca ciò che sta dentro entrambi, quindi è prudente (minimo, solo i comuni); mcm deve contenere entrambi, quindi è generoso (massimo, tutti).

A cosa servono: due usi

Somma e differenza di frazioni

Per sommare frazioni serve un denominatore comune, e il più comodo è l’mcm dei denominatori. Esempio:

\frac{5}{12} + \frac{7}{18}

Si scompone: $12 = 2^{2} \cdot 3$ e $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , quindi $mcm = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ . Poi si trasforma ogni frazione: $36 : 12 = 3$ e $36 : 18 = 2$ .

\frac{5 \cdot 3}{36} + \frac{7 \cdot 2}{36} = \frac{15 + 14}{36} = \frac{29}{36}

Il $29$ è primo, quindi non si semplifica: la frazione è finita. Usare l’mcm e non un qualunque denominatore comune ( $12 \cdot 18 = 216$ funziona, ma i numeri crescono e si sbaglia di più).

Semplificare con l’MCD

Per ridurre ai minimi termini si divide numeratore e denominatore per il loro MCD:

\frac{84}{126} : 84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7, 126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7, MCD = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

\frac{84}{126} = \frac{84 : 42}{126 : 42} = \frac{2}{3}

I problemi con le parole

I problemi sono di due tipi e vale la pena saperli riconoscere dal testo:

“Ogni quanto si incontrano / quando ripartono insieme”: mcm. Si cerca un momento futuro in cui due cose periodiche coincidono.
“La più grande misura / il più grande pezzo che entra un numero esatto di volte”: MCD. Si cerca un pezzo che divida esattamente due lunghezze.

Un esempio dell’ultimo tipo. Un pavimento è lungo $240 cm$ e largo $180 cm$ . Si vogliono piastrelle quadrate, le più grandi possibili, senza tagliarne nessuna. Il lato deve dividere sia $240$ sia $180$ , ed essere il massimo: è l’MCD. Con $240 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5$ e $180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ si ha $MCD = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ . Lato $60 cm$ : in lunghezza ne stanno $240 : 60 = 4$ , in larghezza $180 : 60 = 3$ , in tutto $4 \cdot 3 = 12$ piastrelle.

Tre esercizi svolti

Esercizio 1: MCD, mcm e frazione ridotta

Calcola MCD e mcm di $168$ e $270$ e usali per ridurre ai minimi termini $\frac{168}{270}$ .

Scomposizioni: $168 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7$ (controllo: $8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$ ) e $270 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 5$ (controllo: $2 \cdot 27 \cdot 5 = 270$ ).

Fattori comuni: $2$ (esponenti $3$ e $1$ , minimo $2^{1}$ ) e $3$ (esponenti $1$ e $3$ , minimo $3^{1}$ ).

MCD = 2 \cdot 3 = 6 mcm = 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 27 \cdot 35 = 7560

Controllo: $168 \cdot 270 = 45360$ e $6 \cdot 7560 = 45360$ . Torna. La frazione:

\frac{168}{270} = \frac{168 : 6}{270 : 6} = \frac{28}{45}

Se vuoi provare altri calcoli di questo tipo a tempo, trovi la verifica simulata su numeri, frazioni e potenze: copre il blocco di ottobre, dove MCD e mcm sono un pezzo, non l’unico argomento. La risposta corretta di ogni quesito è gratis, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: un’espressione con tre frazioni

\frac{7}{15} - \frac{3}{20} + \frac{1}{12}

Scomposizione dei denominatori: $15 = 3 \cdot 5$ , $20 = 2^{2} \cdot 5$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ . L’mcm prende tutti i fattori con l’esponente maggiore: $2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .

Fattori di trasformazione: $60 : 15 = 4$ , $60 : 20 = 3$ , $60 : 12 = 5$ .

\frac{7 \cdot 4}{60} - \frac{3 \cdot 3}{60} + \frac{1 \cdot 5}{60} = \frac{28 - 9 + 5}{60} = \frac{24}{60}

Si riduce con $MCD (24, 60)$ : $24 = 2^{3} \cdot 3$ , $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ , quindi $MCD = 2^{2} \cdot 3 = 12$ .

\frac{24}{60} = \frac{2}{5}

Esercizio 3: due autobus

Due autobus partono insieme dal capolinea alle $7 : 00$ . Il primo ripassa ogni $12$ minuti, il secondo ogni $18$ . A che ora si ritrovano di nuovo insieme?

È un problema di mcm: $12 = 2^{2} \cdot 3$ e $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , quindi $mcm = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ . Si ritrovano dopo $36$ minuti, cioè alle $7 : 36$ . In quei $36$ minuti il primo ha fatto $36 : 12 = 3$ corse, il secondo $36 : 18 = 2$ . Il controllo con le corse intere conferma che $36$ è il primo istante comune.

Gli errori che vedo di più

Scambiare minimo e massimo. Usare l’esponente maggiore per l’MCD o il minore per l’mcm. Un test rapido: l’MCD deve essere minore o uguale al più piccolo dei due numeri; l’mcm deve essere maggiore o uguale al più grande.
Non scomporre fino in fondo. Fermarsi a $360 = 6 \cdot 60$ non è una scomposizione in primi: $6$ e $60$ non sono primi.
Prendere nell’mcm solo i fattori comuni. Nell’mcm entrano anche quelli che stanno in un solo numero. Nell’esercizio 2 il $5$ sta in due denominatori, ma il $2^{2}$ e il $3$ vanno presi comunque.
Sommare i denominatori. $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ non è $\frac{2}{7}$ . Il denominatore comune serve proprio per non farlo.
Dimenticare di moltiplicare il numeratore. Si trasforma il denominatore con il fattore $60 : 15 = 4$ e si moltiplica per $4$ anche il numeratore. È uno degli errori più comuni nel compito.

Perché adesso e non a gennaio

A gennaio, in algebra, si scompongono i polinomi con il raccoglimento a fattor comune, e il procedimento è lo stesso con le lettere: per $12 a^{2} b$ e $18 a b^{3}$ si ha $MCD = 6 ab$ e $mcm = 36 a^{2} b^{3}$ (stesse regole, minimo e massimo degli esponenti anche per le lettere). Chi è sicuro con i numeri ci arriva già pronto. Il calcolo con lettere, monomi e polinomi è in calcolo letterale: monomi e polinomi.

Per il compito di ottobre ti conviene un piano semplice: scomponi ogni giorno cinque numeri a caso fra $50$ e $500$ , poi fai due somme di frazioni con tre denominatori diversi. Dopo una settimana la scomposizione diventa automatica. Il quadro completo di cosa esce nella prima verifica è in prima verifica di matematica in prima superiore; se la matematica ti sembra più dura del previsto e vuoi ripartire dai numeri, c’è numeri, frazioni e potenze (scritto per il liceo artistico, ma il metodo vale ovunque); per le proporzioni e le percentuali, che arrivano subito dopo, proporzioni e percentuali in prima superiore.

Se vuoi capire da dove ripartire, la diagnosi gratuita serve a questo: mi mandi il compito corretto o mi dici cosa avete fatto in classe e ti dico se basta sistemare il metodo o se conviene lavorarci insieme. Il programma di matematica per il biennio è qui; le lezioni sono online e uno-a-uno.

MCD e mcm: come calcolarli e quando usarli