Equazioni di grado superiore: binomie, trinomie e biquadratiche

Se sei in terza al liceo delle scienze umane, in queste settimane il professore sta chiudendo le equazioni di secondo grado e comincia a scrivere alla lavagna equazioni con $x^3$, $x^4$ e qualche frazione. Il compito di dicembre cade fra sei e otto settimane, e in quel compito la riga «equazioni fratte e di grado superiore» c’è quasi sempre. Chi arriva preparato ha un vantaggio netto: le tecniche sono poche, e quasi tutte riconducono il problema a qualcosa che sai già fare, la formula del secondo grado e la scomposizione.

In questo post ti do lo schema per riconoscere il tipo di equazione e la mossa giusta, poi tre esercizi svolti. Le basi le trovi altrove: le equazioni di secondo grado, la scomposizione di un polinomio e la regola di Ruffini. Per l’inquadramento dell’anno c’è il formulario di terza.

Il problema: grado 3, 4, 6, e nessuna formula

Per il secondo grado esiste una formula che funziona sempre. Per un’equazione di grado più alto, al livello della scuola superiore, una formula generale non c’è: si riconosce la struttura e si abbassa il grado fino a un secondo grado (o a un primo). Le strutture che il programma di terza ti propone sono quattro:

La biquadratica è il caso particolare della trinomia con $n=2$. In più ci sono le equazioni fratte, che si riducono a una di queste dopo aver posto le condizioni di esistenza.

Equazioni binomie

Si isola la potenza e si estrae la radice. Quello che cambia è il numero di soluzioni reali, che dipende dalla parità dell’esponente.

Esponente dispari: c’è sempre una sola soluzione reale. Per esempio

Esponente pari: se il secondo membro è positivo ci sono due soluzioni opposte, se è negativo non ci sono soluzioni reali, perché una potenza pari non è mai negativa. Per esempio

mentre $x^4+16=0$ è impossibile in $\mathbb{R}$. Lo stesso risultato si ottiene scomponendo: $x^4-81=(x^2-9)(x^2+9)=(x-3)(x+3)(x^2+9)$, e l’ultimo fattore non si annulla mai. Questo secondo modo è utile perché ti prepara alla scomposizione, che è lo strumento generale.

Equazioni trinomie e biquadratiche

Qui c’è il trucco che vale la metà del compito: la sostituzione. In una biquadratica

compaiono solo $x^4=(x^2{)}^2$ e $x^2$. Ponendo $t=x^2$ l’equazione diventa $a{t}^2+bt+c=0$, un secondo grado normale. La procedura ha quattro passi:

1. poni $t=x^2$ e scrivi l’equazione in $t$;
2. risolvila con il discriminante (o scomponendo);
3. per ogni valore di $t$ torna a $x^2=t$;
4. scarta i valori di $t$ negativi, perché $x^2$ non può essere negativa, e per i $t$ positivi scrivi $x=\pm \sqrt{t}$.

Il passo 4 è quello che fa perdere punti. Il secondo grado in $t$ ti dà due soluzioni, ma non è detto che diano quattro soluzioni in $x$: ne danno quattro se i due $t$ sono positivi, due se uno solo è positivo, nessuna se sono entrambi negativi. Se $t=0$ la soluzione è $x=0$ (una sola, doppia).

Esempio completo:

Con $t=x^2$ si ha $t^2-13t+36=0$. Il discriminante è $169-144=25$, quindi $t=\frac{13\pm 5}{2}$, cioè $t=9$ oppure $t=4$. Entrambi sono positivi, quindi $x=\pm 3$ e $x=\pm 2$: quattro soluzioni. Verifica rapida: con $x=2$, $16-52+36=0$.

La trinomia in generale funziona allo stesso modo con $t=x^n$. Per esempio

Con $t=x^3$ si ha $t^2-7t-8=(t-8)(t+1)=0$, quindi $t=8$ oppure $t=-1$. Qui, essendo il cubo di un numero reale libero di essere negativo, non si scarta niente: $x^3=8$ dà $x=2$ e $x^3=-1$ dà $x=-1$. Lo scarto dei $t$ negativi vale solo quando l’esponente di $x$ in $t=x^n$ è pari.

Equazioni di grado qualsiasi: scomposizione e annullamento del prodotto

Quando l’equazione non è binomia né trinomia (per esempio un cubo con tutti i termini) l’idea è portare tutto a primo membro, scomporre il polinomio e applicare la legge di annullamento del prodotto: un prodotto è zero se e solo se è zero almeno uno dei fattori. Ogni fattore porta a un’equazione di grado più basso.

La scomposizione si tenta in quest’ordine:

1. raccoglimento totale: $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$, soluzioni $0,2,-2$;
2. raccoglimento parziale: $x^3-3x^2-x+3=x^2(x-3)-(x-3)=(x-3)(x^2-1)$;
3. prodotti notevoli (differenza di quadrati e trinomio quadrato);
4. Ruffini, quando nessuno dei precedenti funziona.

Con Ruffini si cercano le radici razionali fra i divisori del termine noto, divisi per i divisori del coefficiente del termine di grado massimo. Quando il polinomio è monico, cioè il coefficiente di grado massimo è 1, si provano direttamente i divisori del termine noto, con tutti e due i segni. Si prova ogni candidato nel polinomio: appena uno dà zero, quel numero è una radice e $(x-\text{radice})$ è un fattore.

Equazioni fratte: prima le condizioni di esistenza

Se compare un’incognita al denominatore, il primo passo non è mai «moltiplicare tutto»: è scrivere le condizioni di esistenza (C.E.), cioè i valori che annullano un denominatore e vanno esclusi. Poi si porta tutto a un denominatore comune, si moltiplica per quel denominatore (lecito, perché ora sai che non è zero) e si risolve l’equazione che resta, di grado 2, 3 o 4. A fine procedura ogni soluzione si confronta con le C.E.: le soluzioni che le violano si scartano. Sono le «soluzioni estranee», e il professore le mette apposta.

Esercizio 1: una biquadratica che non dà quattro soluzioni

Risolvere

Poni $t=x^2$: $t^2-3t-4=0$. Si scompone cercando due numeri con somma $-3$ e prodotto $-4$, cioè $-4$ e $+1$:

Ora si torna a $x$. Da $x^2=4$ si ha $x=\pm 2$. Da $x^2=-1$ nessuna soluzione reale. Quindi l’equazione ha due soluzioni: $x=-2$ e $x=2$. Verifica con $x=2$: $16-12-4=0$.

Questo è il tipo di esercizio dove chi si dimentica del passo 4 scrive $x=\pm \sqrt{-1}$ e perde il punto, o peggio scrive quattro soluzioni.

Se vuoi allenarti su questo tipo di verifica con quesiti graduati per anno, trovi le simulazioni di verifica per il liceo: la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: un cubo con Ruffini

Risolvere

Il termine noto è $6$, i divisori sono $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Si prova $x=1$:

Quindi $1$ è una radice. Con Ruffini si divide per $(x-1)$. I coefficienti sono $1,-2,-5,6$: si abbassa $1$, poi $-2+1=-1$, poi $-5-1=-6$, poi $6-6=0$ (resto nullo, come deve essere). Il quoziente è $x^2-x-6$, che si scompone in $(x-3)(x+2)$. Allora

e le soluzioni sono $x=1$, $x=3$, $x=-2$. Controllo con $x=3$: $27-18-15+6=0$; con $x=-2$: $-8-8+10+6=0$.

Un controllo di buon senso che dovresti fare sempre: il prodotto delle radici di un cubo monico è l’opposto del termine noto. Qui $1\cdot 3\cdot (-2)=-6=-(6)$. Torna.

Esercizio 3: un’equazione fratta con soluzione da scartare

Risolvere

C.E.: $x-1\ne 0$, cioè $x\ne 1$.

Una frazione è nulla quando il numeratore è nullo (con denominatore non nullo). Si scompone il numeratore con il raccoglimento parziale:

L’equazione, nel suo insieme di esistenza, diventa $(x-3)(x-1)(x+1)=0$, con soluzioni $x=3$, $x=1$, $x=-1$. Ma $x=1$ viola la condizione di esistenza e va scartata. Le soluzioni sono $x=3$ e $x=-1$.

Verifica con $x=3$: numeratore $27-27-3+3=0$, denominatore $2$, la frazione vale $0$. Con $x=1$ il denominatore è nullo, l’espressione non ha senso.

Gli errori che costano più punti

• Estrarre la radice termine per termine. $x^4=5x^2+4$ non diventa $x^2=\sqrt{5}x+2$. La radice di una somma non è la somma delle radici. Si porta tutto a primo membro e si usa la sostituzione.
• Dimenticare di tornare a $x$. Si risolve in $t$, si trova $t=4$ e ci si ferma. L’incognita del problema è $x$.
• Non scartare i $t$ negativi nelle biquadratiche, e al contrario scartarli anche nelle trinomie con esponente dispari.
• Dividere per $x$. Nell’equazione $x^3=4x$ dividere per $x$ perde la soluzione $x=0$. Si porta tutto a primo membro e si raccoglie: $x(x^2-4)=0$.
• Dimenticare le C.E. nelle fratte, o scriverle e poi non confrontarle con le soluzioni.
• Ruffini con i segni sbagliati. Se il polinomio non ha il termine di un certo grado, nei coefficienti si scrive $0$: $x^3-7x+6$ ha coefficienti $1,0,-7,6$.

Come organizzarti nelle prossime settimane

Hai tempo, e conviene usarlo in piccoli passi. Una settimana per le binomie e la scomposizione, una per le biquadratiche e le trinomie, una per Ruffini, una per le fratte. Per ogni tipo, fai tre esercizi di fila su carta e verifica le soluzioni sostituendole: la verifica è sempre possibile e ti dice subito se hai sbagliato. Se il professore assegna una scheda di esercizi, parti dal tipo che riconosci meno.

Un’ultima nota sul libro: gli esercizi «misti», in cui devi riconoscere tu il tipo, sono quelli del compito. Quando ti blocchi, torna alla tabella sopra e chiediti che forma ha l’equazione.

Per un quadro generale della materia c’è la pagina di matematica. Dopo le equazioni, la naturale prosecuzione sono le disequazioni di secondo grado, che usano le stesse radici ma chiedono lo studio del segno.

Se vuoi una mano

Se arrivano le frazioni o la regola di Ruffini e non hai chiaro da dove cominciare, possiamo fare una diagnosi gratuita: guardiamo insieme un tuo esercizio e capiamo dove si inceppa il ragionamento. Scrivimi dalla pagina contatti, le ripetizioni sono online 1-a-1.