Disequazioni di secondo grado: parabola e studio del segno

Se sei in terza ai licei delle scienze umane, siamo a inizio ottobre: le equazioni di secondo grado sono appena state spiegate o stanno per esserlo, e subito dopo arrivano le disequazioni di secondo grado. Di solito il capitolo si chiude a novembre, e il compito che lo contiene cade fra cinque e otto settimane. C’è tutto il tempo per impararlo bene, e vale la pena: la stessa tecnica ricompare con le disequazioni fratte, con lo studio dei domini e, più avanti, con i limiti.

L’idea è una sola e si impara in un pomeriggio: non si risolve la disequazione, si guarda una parabola. Per le equazioni di secondo grado in sé ho scritto altrove (versione per il liceo artistico e per il professionale): qui do per scontato che tu sappia calcolare discriminante e radici. Per le disequazioni con frazioni c’è un articolo a parte, e per tangenti e fasci di parabole questo. Qui resto sul segno.

L’idea: una disequazione è una domanda sul segno

Prendi un trinomio $a{x}^2+bx+c$ con $a\ne 0$. Il suo grafico è una parabola. La disequazione $a{x}^2+bx+c>0$ chiede: per quali $x$ la parabola sta sopra l’asse delle ascisse? Con $<0$ chiede dove sta sotto. Con $\ge$ e $\le$ si includono anche i punti in cui la parabola tocca l’asse.

Non serve disegnarla con precisione: servono solo tre informazioni.

1. La concavità, dal segno di $a$: verso l’alto se $a>0$, verso il basso se $a<0$.
2. Le intersezioni con l’asse $x$, cioè le radici, se esistono.
3. Il verso della disequazione ($>$ o $<$, con o senza uguale).

Il metodo in quattro passi

1. Porta tutto a un membro e riscrivi nella forma $a{x}^2+bx+c\gtrless 0$. Se $a$ è negativo conviene moltiplicare per $-1$, ricordando di invertire il verso.
2. Calcola il discriminante $\Delta =b^2-4ac$.
3. Trova le radici (se $\Delta \ge 0$) e disegna uno schizzo: una parabola con la concavità giusta, che incontra l’asse nelle radici.
4. Leggi il segno dallo schizzo e scrivi la soluzione.

I tre casi, con $a>0$

Con $a>0$ la parabola è “a U”. Il comportamento dipende dal discriminante, e conviene saperlo a memoria come una tabellina.

La regola pratica per $\Delta >0$ è: valori esterni alle radici quando cerchi il positivo, valori interni quando cerchi il negativo (sempre con $a>0$). Con $a<0$ la parabola è rovesciata e tutto si scambia: lo schizzo ti fa vedere subito il risultato senza dover imparare due tabelle.

Con $\ge$ e $\le$ le radici entrano nella soluzione. Per $\Delta =0$ questo è decisivo: $a{x}^2+bx+c\le 0$ ha una soluzione, $x=x_1$, mentre con $<0$ non ne ha nessuna.

Disequazioni con più di un termine, e sistemi

Se la disequazione non è in forma normale, la porti prima in forma normale: per esempio $x^2\le 4x-3$ diventa $x^2-4x+3\le 0$. Non lasciare mai $x$ da una parte e un numero dall’altra.

Un sistema di disequazioni si risolve in tre mosse: risolvi ogni disequazione per conto suo, disegna le soluzioni su rette parallele (una sotto l’altra, stesse ascisse) e prendi l’intersezione, cioè i valori in cui tutte le linee sono “piene”. Se una soluzione è vuota, lo è tutto il sistema.

Gli errori che vedo ogni anno

Verso sbagliato. Dopo aver moltiplicato per $-1$ si dimentica di invertire il segno: da $-x^2+4x-3\ge 0$ si passa a $x^2-4x+3\le 0$, non a $\ge 0$. Controllo rapido: prova un numero (per esempio $x=0$) nella disequazione di partenza.

Scordare il caso $\Delta <0$. Se il discriminante è negativo non ci sono radici e molti si bloccano o inventano due intervalli. La soluzione è sempre “tutti i reali” oppure “nessun valore”, a seconda del verso e del segno di $a$.

Dividere per $x$. Davanti a $x^2>3x$ la tentazione è semplificare per $x$ e scrivere $x>3$. Ma non sai se $x$ è positivo o negativo: se è negativo il verso cambierebbe, e perdi tutte le soluzioni con $x<0$. Si porta tutto a un membro, $x^2-3x>0$, e si studia il segno: $x(x-3)>0$ dà $x<0$ oppure $x>3$.

Dire che $\Delta =0$ dà “tutti i reali” o “nessuno” senza guardare. Con $(x-3{)}^2\ge 0$ la soluzione è tutti i reali, ma con $(x-3{)}^2>0$ è $x\ne 3$: il valore escluso va scritto.

Intervalli scritti male. Scrivere $2>x>5$ non ha senso: la soluzione “esterna” è $x<2$ oppure $x>5$, mai un’unica catena. La parola “o” (unione) e la parola “e” (intersezione) vanno usate con cura.

Tre esercizi svolti

1. Due disequazioni con $\Delta >0$

Risolvi $x^2-5x+6>0$ e poi $-x^2+4x-3\ge 0$.

Primo caso: $\Delta =25-24=1>0$, radici

Parabola con $a=1>0$ (a U) e disequazione “maggiore di zero”: valori esterni. Soluzione: $x<2$ oppure $x>3$.

Secondo caso: moltiplico per $-1$ e inverto il verso, ottenendo $x^2-4x+3\le 0$. Qui $\Delta =16-12=4$, radici

Parabola a U, “minore o uguale a zero”: valori interni, estremi inclusi. Soluzione: $1\le x\le 3$.

Controllo sul secondo: $x=2$ nella disequazione originale dà $-4+8-3=1\ge 0$, vero; $x=0$ dà $-3\ge 0$, falso. Coerente con l’intervallo.

2. Il discriminante nullo e quello negativo

Risolvi $x^2-6x+9\le 0$, poi $x^2-6x+9>0$, poi $2x^2-3x+4<0$.

Il trinomio $x^2-6x+9$ è $(x-3{)}^2$, con $\Delta =36-36=0$. Un quadrato non è mai negativo, quindi:

• $(x-3{)}^2\le 0$ vale solo se $(x-3{)}^2=0$: soluzione $x=3$;
• $(x-3{)}^2>0$ vale ovunque tranne in $x=3$: soluzione $x\ne 3$.

Per $2x^2-3x+4$ il discriminante è

La parabola ha $a=2>0$ e non tocca l’asse $x$: sta sempre sopra, quindi $2x^2-3x+4$ è sempre positivo. La richiesta "$<0$" non ha soluzioni.

3. Un sistema

Risolvi

Prima disequazione: $\Delta =1+24=25$, radici $x=\frac{1\pm 5}{2}$, cioè $x_1=-2$ e $x_2=3$. Con “minore di zero” e parabola a U, valori interni: $-2<x<3$.

Seconda disequazione: $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$, con $\Delta =0$. Dire “maggiore di zero” vuol dire $x\ne 2$.

Ora l’intersezione: dall’intervallo $(-2,3)$ tolgo il punto $x=2$, che appartiene all’intervallo ma è escluso dalla seconda. Soluzione:

Verifica con $x=2$: la seconda disequazione diventa $0>0$, falsa. Con $x=0$: $-6<0$ vero e $4>0$ vero. Con $x=4$: $16-4-6=6<0$ falso, quindi 4 è fuori, come previsto.

Come prepararsi nelle prossime settimane

Non serve fare tanti esercizi, serve farli nell’ordine giusto: prima i tre casi del discriminante con numeri semplici, poi il verso (quanto spesso lo sbagli?), poi i sistemi. Rifai i tre esercizi sopra senza guardare, cambiando i coefficienti. Se sbagli sempre nello stesso punto, è quel punto il problema, non l’esercizio.

Quando il capitolo è chiuso in classe, puoi provare il simulatore delle verifiche per il liceo: propone una verifica simulata per argomento. Altre risorse sulla materia sono nella pagina matematica.

Come lavoriamo nelle lezioni

Faccio ripetizioni di matematica 1-a-1 online. Con chi arriva da me su questo argomento disegniamo sempre lo schizzo della parabola, anche quando “si potrebbe fare a mente”: lo schizzo toglie quasi tutti gli errori di verso, e dopo qualche esercizio diventa automatico.

Se vuoi una mano

Se il compito si avvicina e vuoi capire a che punto sei, puoi prenotare una diagnosi gratuita: vediamo insieme dove sono i buchi e se ha senso lavorarci.