Sistemi di secondo grado: metodi ed esercizi svolti

Siamo a inizio ottobre 2026: in terza, agli istituti professionali, le equazioni di secondo grado sono appena state chiuse o sono quasi chiuse, e il passo successivo sono i sistemi di secondo grado e l’incontro fra una retta e una parabola. Il compito su questo blocco cade di solito fra cinque e otto settimane, cioè a inizio dicembre, quando si chiude il primo periodo e si prepara la pagella.

Questo post serve a chi ha capito le equazioni di secondo grado ma si blocca quando le incognite diventano due. È un salto che molti vivono come brusco: un’equazione sola si risolve con un procedimento che si impara a memoria; con un sistema bisogna scegliere l’ordine delle mosse. In classe il taglio sul professionale è applicativo, quindi qui trovi pochi concetti, passi numerati e conti completi. Se la formula risolutiva con il delta non ti è ancora chiara, parti da equazioni di secondo grado in terza, professionale e torna qui dopo.

Che cos’è un sistema di secondo grado

Un sistema di secondo grado è un insieme di due equazioni nelle incognite $x$ e $y$, di cui una è di secondo grado e l’altra è di primo grado. La soluzione non è un numero ma una coppia $(x,y)$ che rende vere entrambe le equazioni insieme.

Esempio di sistema:

La prima equazione descrive una parabola, la seconda una retta. Cercare le soluzioni vuol dire cercare i punti in cui la retta incontra la parabola. Questa immagine aiuta molto, e la usiamo fra poco per prevedere quante soluzioni aspettarsi.

Il metodo di sostituzione, passo per passo

Il metodo è sempre lo stesso. Memorizzalo come una scaletta, ti serve identica in ogni esercizio.

1. Isola una variabile nell’equazione di primo grado (di solito quella più comoda: la $y$, oppure la $x$ se ha coefficiente 1).
2. Sostituisci quell’espressione nell’equazione di secondo grado. Usa le parentesi, sempre.
3. Sviluppa e porta a forma normale $a{x}^2+bx+c=0$.
4. Calcola il delta $\Delta =b^2-4ac$ e decidi quante soluzioni ci sono.
5. Risolvi l’equazione con la formula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.
6. Torna indietro: per ogni valore di $x$ trovato, calcola la $y$ nell’equazione di primo grado.
7. Verifica con una sostituzione nel sistema di partenza, almeno per una coppia.

Il passo 6 è quello che si dimentica più spesso, e ne parlo negli errori tipici più avanti.

Il delta decide quante soluzioni ci sono

Dopo la sostituzione ottieni un’equazione di secondo grado nella sola $x$. Il suo delta ti dice subito che cosa aspettarti:

Non serve disegnare il grafico per risolvere l’esercizio: il delta basta. Ma sapere che dietro c’è un disegno ti permette di controllare il risultato a buon senso. Se una retta passa sopra una parabola che sta tutta in basso, “due soluzioni” suona sospetto.

Esercizio 1: la retta taglia la parabola

Qui la $y$ è già isolata in entrambe le equazioni, quindi si può uguagliare direttamente (è una sostituzione, solo più veloce):

Porto tutto a sinistra, cambiando il segno dei termini che attraversano l’uguale:

Calcolo il delta, con $a=1$, $b=-5$, $c=4$:

Il delta è positivo: aspettiamoci due coppie. Applico la formula:

Ora il passo che non va saltato: calcolo la $y$ per ciascuna $x$ usando la retta $y=x-1$.

• Se $x=4$, allora $y=4-1=3$.
• Se $x=1$, allora $y=1-1=0$.

Verifica sulla parabola: per $x=4$ vale $16-16+3=3$ ✓; per $x=1$ vale $1-4+3=0$ ✓.

Soluzioni: $(4,3)$ e $(1,0)$.

Dopo un primo esercizio come questo, la cosa utile è fare subito altri sistemi simili, a tempo, finché la scaletta diventa un riflesso. Sul sito c’è la categoria delle verifiche per il liceo: non esiste un simulatore dedicato ai sistemi di secondo grado, ma le verifiche di matematica ti allenano sulle equazioni e sul calcolo con il delta. La risposta corretta è gratis, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: la retta è tangente

Uguaglio le due espressioni di $y$:

Porto tutto a sinistra:

Il delta, con $a=1$, $b=-2$, $c=1$:

Delta nullo: una sola soluzione. L’equazione è anche il quadrato di un binomio, $(x-1{)}^2=0$, e questo conferma il risultato:

Calcolo la $y$ con la retta: $y=4\cdot 1+2=6$. Verifica sulla parabola: $1+2+3=6$ ✓.

Soluzione: la sola coppia $(1,6)$. Non è un errore che ne esca una: vuol dire che la retta tocca la parabola in un unico punto, ed è tangente. Molti studenti vedono una sola soluzione e pensano di aver sbagliato qualcosa. In realtà è il caso più “ordinato” dei tre.

Esercizio 3: nessuna soluzione reale

Uguaglio:

In forma normale:

Delta, con $a=1$, $b=-2$, $c=4$:

Il delta è negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni reali e il sistema è impossibile. Si scrive così, per intero, nella risposta: “il sistema non ha soluzioni reali, poiché $\Delta <0$”. Non si lascia l’esercizio senza conclusione.

A buon senso: la parabola $y=x^2+1$ ha il vertice in $(0,1)$ e sta sempre sopra la quota 1, mentre la retta $y=2x-3$ nella zona vicina all’origine sta più in basso. Non si incontrano, coerente con il delta.

Esercizio 4: due equazioni di secondo grado in forma diversa

Non tutti i sistemi arrivano con la $y$ già isolata. Questo è il tipo di sistema che trovi spesso nelle verifiche:

La prima equazione descrive una circonferenza, ma per risolvere non serve saperlo: basta il metodo. Isolo la $y$ nella seconda equazione, che è quella di primo grado:

Sostituisco nella prima, con le parentesi:

Qui c’è il punto in cui si sbaglia di più: sviluppare il quadrato del binomio. La regola è $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, quindi:

Rimetto tutto nell’equazione:

Divido tutto per 2 per semplificare:

Delta, con $a=1$, $b=-7$, $c=12$:

Torno a $y=7-x$:

• Se $x=4$, allora $y=3$.
• Se $x=3$, allora $y=4$.

Verifica sulla prima equazione: $16+9=25$ ✓ per $(4,3)$, e $9+16=25$ ✓ per $(3,4)$.

Soluzioni: $(4,3)$ e $(3,4)$.

Sistemi simmetrici: somma e prodotto

Esiste una scorciatoia per i sistemi in cui conosci la somma e il prodotto di due numeri:

In questo caso $x$ e $y$ sono le due soluzioni di una stessa equazione di secondo grado:

In parole: ”$t$ al quadrato, meno la somma per $t$, più il prodotto”. Risolvi quell’equazione e hai i due numeri. Poiché il sistema non distingue $x$ da $y$, le soluzioni si scrivono in entrambi gli ordini.

Esempio, con somma 10 e prodotto 21:

Soluzioni: $(7,3)$ e $(3,7)$. Verifica: $7+3=10$ ✓ e $7\cdot 3=21$ ✓.

La stessa strada vale anche col metodo di sostituzione, ma la scorciatoia evita lo sviluppo di un quadrato e quindi gran parte degli errori di segno.

Il problema con il testo: il rettangolo

I problemi con il testo sono la parte dove al professionale si recupera più facilmente punteggio, perché il ragionamento è concreto. Il metodo è tradurre le frasi in equazioni.

Un rettangolo ha il perimetro di 34 m e l’area di 60 m². Trova le sue dimensioni.

Chiamo $x$ e $y$ le due dimensioni, base e altezza.

1. Il perimetro è $2(x+y)=34$, quindi $x+y=17$ (semiperimetro).
2. L’area è $x\cdot y=60$.

Il sistema è

Le dimensioni sono 12 m e 5 m. Verifica con il testo: perimetro $2(12+5)=34$ m ✓; area $12\cdot 5=60$ m² ✓. Qui le due coppie $(12,5)$ e $(5,12)$ descrivono lo stesso rettangolo (base e altezza scambiate), quindi nella risposta basta dire che i lati misurano 12 m e 5 m.

Un controllo in più sui problemi con il testo: le soluzioni devono avere senso fisico. Una lunghezza negativa va scartata. In questo caso sono entrambe positive e vanno bene.

Gli errori che vedo più spesso

1. Fermarsi alle $x$. Hai risolto l’equazione di secondo grado, hai due valori e hai l’impressione di aver finito. Ma la soluzione di un sistema è una coppia. Per ogni $x$ devi calcolare la $y$. Se in verifica scrivi solo $x_1$ e $x_2$, perdi una parte consistente del punteggio.

2. Sostituire male, o solo a metà. Quando sostituisci $y=7-x$ dentro $x^2+y^2=25$ devi mettere la parentesi: $(7-x{)}^2$, non $7-x^2$. Senza parentesi il quadrato agisce solo sulla $x$ e tutto il resto va a catafascio.

3. Il quadrato di un binomio senza il doppio prodotto. $(7-x{)}^2$ non è $49+x^2$. È $49-14x+x^2$. Il termine di mezzo, il doppio prodotto, si dimentica nella metà dei compiti che correggo. Un buon controllo: se il quadrato di un binomio ti esce con due soli termini, c’è un errore.

4. Perdere soluzioni. Se dividi entrambi i membri per una espressione che contiene $x$ rischi di perdere un risultato. In un sistema questo succede quando semplifichi un fattore comune invece di raccoglierlo. Con coefficienti numerici (come il 2 dell’esercizio 4) la divisione è invece sicura.

5. Sbagliare il segno quando si porta tutto a sinistra. Passando da $x^2+2x+3=4x+2$ a $x^2-2x+1=0$ ogni termine che cambia lato cambia segno. Scrivi il passaggio intermedio, non farlo a mente: $x^2+2x-4x+3-2=0$.

6. Non commentare il delta negativo. Se $\Delta <0$ non si scrive “impossibile” a caso: si dice che il sistema non ha soluzioni reali, e si cita il delta.

Come prepararti nelle prossime settimane

Con cinque o otto settimane davanti, il piano che funziona è semplice:

• Prima settimana: rifai le equazioni di secondo grado finché non le risolvi senza guardare la formula. Il delta deve venire fuori in pochi secondi.
• Seconda e terza settimana: sistemi retta-parabola, tre al giorno, scrivendo sempre tutti i passi della scaletta. Poi controlla con la verifica.
• Dalla quarta: aggiungi i sistemi simmetrici e un problema con il testo ogni due giorni.
• Ultima settimana prima del compito: un compito completo a tempo, come in classe, e poi correggi gli errori tipici della lista qui sopra.

Per capire meglio il collegamento fra la retta e la parabola vista come curva, leggi la parabola in terza superiore: tangenti e fasci: il caso tangente dell’esercizio 2 lì ha il suo spazio completo. Se invece ti senti incerto sul metodo di sostituzione in sé, il post sui sistemi lineari ripassa sostituzione, confronto e riduzione con la stessa logica, e per i sistemi di primo grado e le disequazioni di un anno prima c’è equazioni, disequazioni e sistemi in seconda professionale. Il resto della matematica del biennio e del triennio è raccolto in matematica.

Per la prova di dicembre, la categoria verifiche liceo offre esercizi a tempo di matematica su cui allenare equazioni e calcolo algebrico: ricorda che la risposta corretta è gratis, mentre la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Se vuoi capire dove perdi punti

Nelle lezioni parto sempre da un compito vero dello studente: guardo dove si perde, se nello sviluppo dei quadrati, nei segni o nel passaggio dalla $x$ alla $y$, e costruisco gli esercizi su quell’errore. Se hai una verifica sui sistemi di secondo grado nelle prossime settimane e vuoi capire su che cosa lavorare, puoi chiedere una diagnosi gratuita: ne parliamo, guardo un tuo compito e ti dico che cosa conviene fare prima.