Equazioni di secondo grado: esercizi svolti

Al liceo delle scienze umane e negli altri licei il capitolo sulle equazioni di secondo grado arriva in seconda, fra gennaio e febbraio, e la verifica cade poco dopo: hai dieci-dodici settimane. Nei professionali e negli artistici lo stesso argomento di solito slitta in terza (se è il tuo caso trovi i post dedicati più sotto). Pubblico questo ora di proposito: il capitolo sembra corto, ma è quello in cui un errore di segno rovina un esercizio intero, e arrivarci con le basi già a posto (scomposizione, frazioni algebriche) fa la differenza. Se in classe siete ancora sulle frazioni, è normale: portati avanti di un passo, non di dieci.

Il punto che pesa di più in verifica è sempre lo stesso: il discriminante e i segni. Questo post è il “madre”: tutto l’argomento in ordine, con quattro esercizi svolti per intero. Le versioni per indirizzo sono qui: terza artistico e terza professionale. Le disequazioni di secondo grado hanno un post a parte, disequazioni di secondo grado e segno della parabola: qui non le tocco.

La forma normale

Un’equazione di secondo grado si scrive in forma normale così:

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0)

$a$ è il coefficiente di $x^{2}$ , $b$ quello di $x$ , $c$ il termine noto. Se $a = 0$ l’equazione scende al primo grado. Prima di fare qualunque altra cosa porta tutto a forma normale: tutto a sinistra, uguale a zero, termini ordinati. Se l’equazione è $2 x^{2} - 1 = 7 x - 4$ i coefficienti non sono quelli che vedi: devi prima spostare, e ottieni $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ , quindi $a = 2$ , $b = - 7$ , $c = 3$ . La metà degli errori che vedo nasce qui, da un $b$ letto sull’equazione non ordinata.

Le equazioni incomplete: niente formula

Se manca $b$ o manca $c$ la formula non serve e anzi fa perdere tempo e rischiare errori.

Pura ( $b = 0$ ): $a x^{2} + c = 0$ . Isoli $x^{2}$ e fai la radice, ricordando i due segni.

2 x^{2} - 18 = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3

Se arrivi a $x^{2} =$ un numero negativo (come $4 x^{2} + 9 = 0$ , cioè $x^{2} = - 9/4$ ), non esistono soluzioni reali: un quadrato non è mai negativo.

Spuria ( $c = 0$ ): $a x^{2} + b x = 0$ . Raccogli $x$ e applichi la legge di annullamento del prodotto.

3 x^{2} - 12 x = 0 \Rightarrow 3 x (x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 oppure x = 4

Una spuria ha sempre la soluzione $x = 0$ . L’errore classico è dividere per $x$ in tutta l’equazione (” $x^{2} = 5 x$ , divido per $x$ , viene $x = 5$ ”): così perdi la soluzione $x = 0$ . Non si divide mai per una quantità che può essere zero: si raccoglie e si discute.

Esercizio 1: una spuria

Risolvi $3 x^{2} - 12 x = 0$ , con verifica.

Raccolgo $3 x$ : $3 x (x - 4) = 0$ .
Annullo i fattori: $3 x = 0 \Rightarrow x = 0$ ; $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ .
Verifica: per $x = 0$ ottengo $0 - 0 = 0$ ; per $x = 4$ ottengo $3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 = 48 - 48 = 0$ .

Soluzioni: $x = 0$ e $x = 4$ .

La formula risolutiva e il discriminante

Per un’equazione completa ( $a$ , $b$ , $c$ tutti diversi da zero) si usa

x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} con Δ = b^{2} - 4 a c

Il discriminante $Δ$ decide quante soluzioni reali ci sono:

$Δ > 0$ : due soluzioni reali distinte;
$Δ = 0$ : due soluzioni coincidenti, $x = - b / (2 a)$ (a volte si dice “una soluzione doppia”);
$Δ < 0$ : nessuna soluzione reale, perché non esiste la radice quadrata di un numero negativo.

Per esempio $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ ha $Δ = 36 - 36 = 0$ e quindi $x = 3$ (doppia), mentre $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ ha $Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ , nessuna soluzione reale.

I tre punti dove cade l’errore:

Il segno di $- b$ . Se $b = - 7$ allora $- b = + 7$ . È l’errore più frequente in assoluto. Scrivi sempre il valore di $b$ con il segno tra parentesi prima di sostituire.
Il quadrato di $b$ negativo. $b^{2}$ è sempre positivo: $(- 7)^{2} = 49$ , non $- 49$ .
Il $4 a c$ con segni. Se $a$ e $c$ hanno segno diverso, $4 a c$ è negativo e quindi $- 4 a c$ è positivo: $Δ$ è sicuramente positivo e le soluzioni esistono.

Esercizio 2: completa con delta positivo

Risolvi $2 x^{2} - 1 = 7 x - 4$ .

Forma normale: porto tutto a sinistra, $2 x^{2} - 7 x - 1 + 4 = 0$ , cioè $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ . Quindi $a = 2$ , $b = - 7$ , $c = 3$ .
Discriminante: $Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$ . Positivo: due soluzioni.
Formula:

x = \frac{- ( - 7 ) \pm 25}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}

Quindi $x_{1} = \frac{7 + 5}{4} = 3$ e $x_{2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}$ .

Verifica sostituendo nella forma normale: per $x = 3$ ottengo $2 \cdot 9 - 21 + 3 = 18 - 21 + 3 = 0$ ; per $x = \frac{1}{2}$ ottengo $2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{7}{2} + 3 = \frac{1}{2} - \frac{7}{2} + 3 = 0$ .

Soluzioni: $x = 3$ e $x = \frac{1}{2}$ .

Se vuoi allenarti su domande di questo tipo, la verifica sulle equazioni di secondo grado è su /simulazioni/verifiche-liceo/seconda/equazioni-secondo-grado/. Ogni domanda ti dice subito se hai risposto bene, e la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

La formula ridotta

Quando $b$ è pari conviene scrivere $b = 2 b^{'}$ e usare

x = \frac{- b ^{'} \pm b ^{'2} - a c}{a}

Non è obbligatoria, ma i numeri sono più piccoli. Con $3 x^{2} - 8 x + 4 = 0$ ho $b^{'} = - 4$ e $b^{'2} - a c = 16 - 12 = 4$ , quindi $x = \frac{4 \pm 2}{3}$ , cioè $x = 2$ e $x = \frac{2}{3}$ . Controllo: $3 \cdot 4 - 16 + 4 = 0$ e, per $x = \frac{2}{3}$ , $3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{16}{3} + 4 = \frac{4}{3} - \frac{16}{3} + 4 = - 4 + 4 = 0$ .

Somma e prodotto delle radici, e scomposizione del trinomio

Se $x_{1}$ e $x_{2}$ sono le soluzioni di $a x^{2} + b x + c = 0$ valgono

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Sono un controllo che costa dieci secondi. Nell’esercizio 2: $3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = - \frac{- 7}{2}$ , e $3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{c}{a}$ . Se la somma o il prodotto non tornano, hai sbagliato qualcosa.

Servono anche per scomporre il trinomio:

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Per esempio $2 x^{2} - 7 x + 3 = 2 (x - 3) (x - \frac{1}{2}) = (x - 3) (2 x - 1)$ : moltiplicando $(x - 3) (2 x - 1)$ ottengo $2 x^{2} - x - 6 x + 3 = 2 x^{2} - 7 x + 3$ . Questa scomposizione ritorna nelle frazioni algebriche: se vuoi ripassare i metodi, ci sono scomposizione di polinomi in prima e scomposizione e frazioni algebriche.

Equazioni fratte di secondo grado: le condizioni di esistenza

Se l’incognita sta a denominatore, prima di tutto si scrivono le condizioni di esistenza (C.E.): i valori che annullerebbero un denominatore sono vietati. Poi si riduce allo stesso denominatore, si moltiplica tutto per il denominatore comune e si risolve. Alla fine si controlla che le soluzioni non siano fra quelle vietate: se una lo è, si scarta.

Esercizio 3: la fratta con la soluzione da scartare

Risolvi

\frac{x}{x - 3} + \frac{1}{x} = \frac{9}{x ( x - 3 )}

C.E.: $x \neq = 0$ e $x \neq = 3$ .
Il denominatore comune è $x (x - 3)$ . Moltiplico entrambi i membri:

x \cdot x + 1 \cdot (x - 3) = 9

Sviluppo: $x^{2} + x - 3 = 9$ , cioè $x^{2} + x - 12 = 0$ .
$Δ = 1 + 48 = 49$ , quindi $x = \frac{- 1 \pm 7}{2}$ : $x_{1} = 3$ e $x_{2} = - 4$ .
Confronto con le C.E.: $x = 3$ è vietata, perché annulla il denominatore. Rimane solo $x = - 4$ .
Verifica di $x = - 4$ : a sinistra $\frac{- 4}{- 7} + \frac{1}{- 4} = \frac{4}{7} - \frac{1}{4} = \frac{16 - 7}{28} = \frac{9}{28}$ ; a destra $\frac{9}{( - 4 ) ( - 7 )} = \frac{9}{28}$ . Coincidono.

Soluzione: $x = - 4$ . Se avessi scritto ” $x = 3$ o $x = - 4$ ” avresti perso il punto: è l’errore più frequente nelle fratte, quindi se lo sai evitare in verifica guadagni subito.

Equazioni con parametro

In un’equazione parametrica compare una lettera, di solito $k$ , oltre all’incognita. Il testo chiede per quali valori di $k$ succede qualcosa, e quasi sempre la risposta è una condizione sul discriminante: due soluzioni distinte se $Δ > 0$ , coincidenti se $Δ = 0$ , nessuna se $Δ < 0$ . Si scrive $Δ$ in funzione di $k$ , si impone la condizione, e si risolve la condizione. Se $k$ compare in $a$ , ricordati che $a \neq = 0$ .

Esercizio 4: soluzioni coincidenti

Per quali valori di $k$ l’equazione $x^{2} + k x + k + 3 = 0$ ha due soluzioni coincidenti?

Coefficienti: $a = 1$ , $b = k$ , $c = k + 3$ .
$Δ = k^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (k + 3) = k^{2} - 4 k - 12$ .
Coincidenti significa $Δ = 0$ : $k^{2} - 4 k - 12 = 0$ . Qui il discriminante è a sua volta un’equazione di secondo grado, in $k$ . Cerco due numeri con somma $4$ e prodotto $- 12$ : sono $6$ e $- 2$ , quindi $(k - 6) (k + 2) = 0$ e $k = 6$ oppure $k = - 2$ .
Verifica: con $k = 6$ ottengo $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ , con soluzione doppia $x = - 3$ ; con $k = - 2$ ottengo $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ , con soluzione doppia $x = 1$ .

Risposta: $k = 6$ oppure $k = - 2$ . Se il testo chiedesse “due soluzioni distinte” la condizione diventerebbe $Δ > 0$ , cioè $k < - 2$ oppure $k > 6$ : una disequazione di secondo grado, per la quale rimando al post sulle disequazioni.

Gli errori che vedo di più

Non portare l’equazione a forma normale e leggere $a$ , $b$ , $c$ sull’equazione ancora sparsa.
Il segno di $- b$ e il quadrato di un $b$ negativo.
Dividere per $x$ e perdere $x = 0$ : con una spuria raccogli, non dividi.
Dimenticare le C.E. e accettare una soluzione che annulla un denominatore.
Nelle pure, scrivere una sola soluzione: $x^{2} = 9$ ha $x = 3$ e $x = - 3$ .
Non verificare. Sostituire ogni radice nell’equazione di partenza richiede un minuto, e individua quasi sempre l’errore prima del professore.

Un ultimo consiglio sul metodo: davanti a ogni equazione chiediti, in ordine, “è in forma normale? è incompleta? ci sono denominatori?” e solo dopo apri la formula.

Come usare i mesi che hai

Hai tempo. Prima, a novembre e dicembre, tieni in forma la scomposizione e le frazioni algebriche (senza queste le fratte di secondo grado non partono). Poi, appena in classe arrivano le equazioni di secondo grado, rifai gli esercizi 1-4 di questo post senza guardare le soluzioni e confronta. Più avanti, quando le avrai in mano, passa a sistemi di secondo grado e a equazioni di grado superiore, dove tutto quello che hai imparato qui ritorna.

Se vuoi una mano, l’elenco degli argomenti di matematica che seguo è su /materie/matematica/ e la diagnosi gratuita è su /contatti/.

Equazioni di secondo grado: formula risolutiva, delta e casi particolari