Rette parallele e angoli: teoremi e dimostrazioni

Metà ottobre: in prima superiore, al liceo linguistico e negli altri licei, la geometria è appena partita. Il libro è passato dagli enti primitivi ai segmenti e agli angoli, e a novembre arrivano le rette parallele e i triangoli. La verifica di dicembre cade fra sei e otto settimane, ed è quella in cui compare la prima dimostrazione vera. La frase che sento più spesso è «non so da dove partire»: se è la tua, questo post ti dà un punto di partenza preciso.

Qui parliamo di rette parallele e angoli: i nomi degli angoli che nascono da una trasversale, i teoremi che ne seguono, la somma degli angoli del triangolo. Se cerchi invece la dimostrazione con i triangoli congruenti, è un altro argomento, trattato in criteri di congruenza dei triangoli. I due blocchi si incontrano nel compito, ma sono strumenti diversi.

Gli angoli formati da una trasversale

Prendi due rette $r$ e $s$ e una terza retta $t$ che le taglia entrambe: $t$ si chiama trasversale. Nei due punti di incrocio nascono otto angoli. Per orientarsi basta distinguere due cose: se un angolo sta fra le due rette (interno) o fuori (esterno), e da quale parte della trasversale si trova.

Le coppie che devi saper nominare a occhio sono quattro.

• Alterni interni: stanno fra $r$ e $s$, da parti opposte della trasversale.
• Alterni esterni: stanno fuori da $r$ e $s$, da parti opposte della trasversale.
• Corrispondenti: occupano la stessa posizione nei due incroci, uno in alto a sinistra in entrambi, per esempio.
• Coniugati (interni o esterni): stanno dalla stessa parte della trasversale.

Un trucco per non confondere i nomi: «alterni» vuol dire che si alternano, uno da una parte e uno dall’altra; «coniugati» vuol dire che stanno dalla stessa parte, come due coniugi nella stessa casa. Non è una regola formale, ma funziona.

Il teorema delle parallele e il suo inverso

Qui c’è il punto che le verifiche vogliono vedere chiaro, perché i due enunciati sono diversi e hanno un ruolo diverso.

Criterio di parallelismo. Se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti, allora sono parallele. Lo stesso vale se sono congruenti due corrispondenti, oppure se due coniugati sono supplementari.

Teorema inverso. Se due rette sono parallele, allora gli angoli alterni interni formati da una trasversale sono congruenti; i corrispondenti sono congruenti; i coniugati sono supplementari.

Il primo ti serve quando vuoi dimostrare che due rette sono parallele. Il secondo quando sai già che lo sono e vuoi ricavare angoli uguali. La scelta dipende da cosa c’è nell’ipotesi e cosa nella tesi: se il testo dice «$r\parallel s$», usi il teorema inverso; se la tesi è «$r\parallel s$», usi il criterio.

Un dettaglio che il libro nasconde nelle note: il teorema inverso non si ricava dal criterio. Poggia sul quinto postulato di Euclide, che in una versione equivalente dice: per un punto fuori da una retta passa una sola parallela a quella retta. Al liceo si accetta come punto di partenza. Se il professore lo cita, sai da dove salta fuori.

Le coppie di angoli: cosa è uguale, cosa vale 180

Riassunto operativo, da tenere a fianco mentre fai gli esercizi. Vale solo se le rette sono parallele:

Più due fatti che valgono sempre, anche senza parallele: gli angoli opposti al vertice sono congruenti, e due angoli adiacenti (che formano un angolo piatto) sono supplementari. Quasi ogni esercizio sugli angoli è una catena di questi cinque fatti: opposti al vertice, adiacenti, e le tre relazioni delle parallele.

Somma degli angoli interni e angolo esterno

I due teoremi più usati del capitolo discendono dalle parallele. Conviene saperli dimostrare, perché spesso il compito li chiede come «dimostra che».

Teorema. La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, cioè $180^{\circ }$.

Dimostrazione. Hai il triangolo $ABC$. Per il vertice $C$ traccia la parallela $r$ al lato $AB$ (esiste ed è unica, per il quinto postulato). La retta $r$ forma con i lati $CA$ e $CB$ due angoli, uno per parte, oltre all’angolo $\hat{C}$.

Corollario: angolo esterno. In un triangolo, un angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni non adiacenti. La ragione: l’angolo esterno in $C$ è supplementare di $\hat{C}$, e anche $\hat{A}+\hat{B}$ è supplementare di $\hat{C}$ per il teorema precedente. Due angoli supplementari dello stesso angolo sono congruenti.

Come strutturare una dimostrazione con le parallele

Lo schema è lo stesso di ogni dimostrazione, ma con le parallele c’è un passaggio in più che salva la maggior parte degli esercizi.

1. Scrivi ipotesi e tesi in simboli. «$r\parallel s$», «$t$ trasversale», «$\hat{1}\cong \hat{2}$». Un’ipotesi scritta a parole nel testo ma non nei simboli non entra mai nei tuoi passaggi.
2. Dai un nome agli angoli. Numerali sul disegno: $\hat{1},\hat{2},\hat{3},\dots$. Metà dell’errore nasce da angoli indicati «quello lì».
3. Cerca la catena. Parti dall’angolo dell’ipotesi, arriva a quello della tesi passando per angoli intermedi. Ogni anello è uno dei cinque fatti della sezione precedente.
4. Se la catena non si chiude, traccia una parallela ausiliaria. È la mossa della dimostrazione sopra: una retta per un vertice, parallela a un lato, e le cose si sistemano. Succede spesso nei problemi sulla somma degli angoli.
5. Giustifica ogni riga. Ogni affermazione ha a fianco il nome del teorema o la voce dell’ipotesi. «Si vede» non è una giustificazione.

L’idea di fondo è la stessa che incontri nel capitolo di logica: ipotesi e tesi sono le due metà di un «se… allora…», spiegato in insiemi e logica in prima superiore.

Esercizio 1: calcolare gli angoli con due parallele

Le rette $r$ e $s$ sono parallele e una trasversale $t$ le taglia. Un angolo alterno interno in $r$ misura $(2x+10{)}^{\circ }$, l’altro, alterno interno in $s$, misura $(3x-20{)}^{\circ }$. Trova $x$ e l’ampiezza degli angoli.

Poiché $r\parallel s$, gli alterni interni sono congruenti:

da cui $x=30$. Gli angoli misurano $2\cdot 30+10=70$ e $3\cdot 30-20=70$: entrambi $70^{\circ }$.

Se due angoli coniugati interni misurano $4x$ e $2x+30$ gradi, la somma è $180^{\circ }$:

quindi $6x=150$ e $x=25$. Gli angoli sono $100^{\circ }$ e $80^{\circ }$, e infatti $100+80=180$.

L’errore tipico è scrivere «uguali» dove serve «somma 180», perché i nomi sono simili. Prima di impostare l’equazione chiediti: alterni o coniugati?

Prima di passare agli esercizi con le dimostrazioni puoi allenarti sulle verifiche simulate di prima: il simulatore di verifiche per i licei ha quesiti sulla geometria del biennio. La risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: una parallela dentro il triangolo

Nel triangolo $ABC$ una retta parallela a $BC$ interseca $AB$ in $D$ e $AC$ in $E$. L’angolo $\widehat{ADE}$ misura $52^{\circ }$ e l’angolo $\hat{C}$ misura $61^{\circ }$. Calcola $\hat{B}$ e $\hat{A}$.

• $\widehat{ADE}$ e $\hat{B}$ sono corrispondenti rispetto alle parallele $DE$ e $BC$ con trasversale $AB$. Dunque $\hat{B}=52^{\circ }$.
• Somma degli angoli interni di $ABC$: $\hat{A}=180^{\circ }-52^{\circ }-61^{\circ }=67^{\circ }$.

Controllo incrociato: anche $\widehat{AED}$ è corrispondente di $\hat{C}$, quindi vale $61^{\circ }$, e nel triangolo $ADE$ gli angoli sono $67^{\circ }$, $52^{\circ }$, $61^{\circ }$. Somma: $180^{\circ }$. Il risultato torna da due strade diverse, ed è così che si controlla un esercizio di geometria senza avere la soluzione.

Esercizio 3: dimostrare che le bisettrici sono perpendicolari

Ipotesi: $r\parallel s$; la trasversale $t$ incontra $r$ in $A$ e $s$ in $B$. Gli angoli $\alpha$ in $A$ e $\beta$ in $B$ sono coniugati interni. Le loro bisettrici si incontrano in $P$.

Tesi: $\widehat{APB}=90^{\circ }$.

La dimostrazione è corta, ma contiene l’idea che si ripete: un fatto delle parallele (coniugati supplementari) alimenta un fatto del triangolo (somma $180^{\circ }$). Se l’esercizio sembra una scatola chiusa, cerca dove stanno le parallele e dove sta il triangolo: poi li colleghi con un angolo in comune.

Gli errori che costano più punti

• Applicare le relazioni senza parallele. «Alterni uguali» vale solo se $r\parallel s$ è nell’ipotesi, oppure se lo hai appena dimostrato. Senza, hai in mano un’ipotesi che non c’è.
• Scambiare criterio e teorema inverso. Se la tesi è il parallelismo, usi il criterio: sono gli angoli che ti danno il parallelismo, non viceversa.
• Usare la tesi come ipotesi. Capita quando si parte da «poiché $\widehat{APB}=90^{\circ }$…»: è quello che devi dimostrare.
• Confondere coniugati e alterni. Controlla se gli angoli stanno dalla stessa parte della trasversale o da parti opposte, prima di scegliere fra «uguali» e «somma $180^{\circ }$».
• Dimenticare l’angolo esterno. Spesso è la scorciatoia: un solo passaggio al posto di tre.

Cosa fare nelle prossime settimane

Fai pochi esercizi, ma ogni volta con ipotesi e tesi scritte da te prima di guardare la soluzione. Dopo i primi due o tre noterai che il disegno si legge da solo: vedi la trasversale, cerchi la coppia di angoli, scrivi la giustificazione. Per l’organizzazione dell’anno c’è il formulario di matematica di prima superiore, e se vuoi capire come si arriva alla prima verifica c’è la prima verifica di matematica in prima. Per il resto del programma passa dalla pagina di matematica.

Se le dimostrazioni continuano a sembrarti un muro anche dopo qualche esercizio, è normale: il problema è quasi sempre un solo passaggio, e si vede subito parlandone. Puoi chiedere una diagnosi gratuita dalla pagina contatti: guardiamo insieme il tuo ultimo compito e capiamo dove si blocca.