Insiemi e logica: esercizi svolti

Fine settembre 2026: in prima al liceo classico insiemi e logica entrano in programma adesso, subito dopo il blocco di settembre-ottobre su numeri, MCD e mcm, potenze, frazioni e proporzioni. Con 3 ore di matematica a settimana l’argomento passa in fretta — una o due settimane, non di più — e la verifica che lo contiene arriva fra metà ottobre e metà novembre, quindi fra quattro e sette settimane da oggi. Lo stesso blocco compare in settembre-ottobre anche allo scientifico e, spostato a novembre-dicembre, al linguistico: se sei in una di queste due scuole, la parte sugli insiemi e sulla logica qui sotto vale comunque, cambia solo quando arriva il compito.

È la parte del programma che sembra un regalo — niente conti, niente frazioni con segno da controllare due volte — e proprio per questo si studia meno delle altre. Il risultato è prevedibile: in verifica si perdono uno o due punti su definizioni che, lette con calma, richiedono venti minuti. Qui li vediamo con lo spazio che meritano: non un riquadro dentro un post più ampio, ma l’argomento intero, con tre esercizi svolti per intero.

Insiemi: le rappresentazioni

Un insieme è una collezione di oggetti — i suoi elementi — individuata senza ambiguità: dato un oggetto, deve essere sempre possibile dire se appartiene all’insieme oppure no. Lo stesso insieme si può scrivere in tre modi, e sono equivalenti: se un esercizio chiede una forma precisa, quella deve essere.

Per elencazione (o tabulare): si elencano tutti gli elementi fra parentesi graffe.

A = {2, 4, 6, 8}

Per proprietà caratteristica: si indica la regola che un oggetto deve soddisfare per appartenere all’insieme.

A = {x ∣ x \overset{e}{ˋ} pari e 0 < x < 10}

Con il diagramma di Eulero-Venn: una linea chiusa che contiene i punti-elemento. È la rappresentazione più intuitiva, ma da sola non basta in una verifica scritta: va sempre accompagnata da una delle altre due.

Un punto che si confonde spesso: appartenenza e inclusione non sono la stessa relazione. Un elemento appartiene a un insieme, $2 \in A$ ; un insieme è contenuto in un altro, cioè ne è un sottoinsieme, $B \subseteq A$ . Scrivere $2 \subseteq A$ o $B \in A$ quando $B$ è un insieme di elementi di $A$ è un errore di simbolo, non di ragionamento — ma in verifica vale come errore pieno.

Sottoinsiemi e insieme delle parti

$B$ è un sottoinsieme di $A$ (si scrive $B \subseteq A$ ) se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$ . Se in più $B \neq = A$ , si dice sottoinsieme proprio e si scrive $B \subset A$ . Due casi da ricordare sempre, perché tornano spesso come domanda di teoria:

l’insieme vuoto $\emptyset$ è sottoinsieme di ogni insieme, compreso se stesso;
ogni insieme è sottoinsieme di se stesso, $A \subseteq A$ .

L’insieme delle parti di $A$ , scritto $P (A)$ , è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di $A$ , incluso $\emptyset$ e $A$ stesso. Se $A$ ha $n$ elementi, $P (A)$ ne ha esattamente

2^{n}

Per esempio, se $A = {a, b, c}$ (tre elementi), $P (A)$ ha $2^{3} = 8$ elementi:

P (A) = {\emptyset, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

L’errore più comune qui è dimenticare $\emptyset$ oppure $A$ stesso nell’elenco: entrambi sono sottoinsiemi a tutti gli effetti, anche se non “sembrano” veri sottoinsiemi.

Le operazioni fra insiemi

Dati due insiemi $A$ e $B$ , dentro un insieme ambiente $U$ (l’insieme universo):

Unione $A \cup B$ : gli elementi che stanno in $A$ oppure in $B$ (o in entrambi).
Intersezione $A \cap B$ : gli elementi che stanno sia in $A$ sia in $B$ .
Differenza $A ∖ B$ : gli elementi di $A$ che non stanno in $B$ .
Complementare $A^{c}$ (o $\overline{A}$ ): gli elementi di $U$ che non stanno in $A$ , cioè $U ∖ A$ .

Se $A \cap B = \emptyset$ , i due insiemi si dicono disgiunti. Quando un insieme $U$ si divide in sottoinsiemi non vuoti, a due a due disgiunti, la cui unione ricostruisce $U$ per intero, si parla di partizione di $U$ : è la situazione tipica di una classe divisa per fasce, o di un questionario a risposta esclusiva.

Il prodotto cartesiano $A \times B$ è l’insieme di tutte le coppie ordinate $(a, b)$ con $a \in A$ e $b \in B$ . “Ordinate” è la parola chiave: $(a, b)$ e $(b, a)$ sono coppie diverse, a meno che $a = b$ . Se $A$ ha $m$ elementi e $B$ ne ha $n$ , $A \times B$ ne ha $m \cdot n$ .

Logica: proposizioni e connettivi

Una proposizione logica è un’affermazione a cui si può attribuire con certezza un valore di verità, vero (V) o falso (F), e uno solo. “Roma è la capitale d’Italia” è una proposizione (V); “che ore sono?” non lo è, perché non è né vera né falsa.

I connettivi combinano proposizioni in altre proposizioni:

Connettivo	Simbolo	Si legge	Vero quando
Negazione	$\neg p$	non $p$	$p$ è falsa
Congiunzione	$p \land q$	$p$ e $q$	entrambe vere
Disgiunzione inclusiva	$p \lor q$	$p$ o $q$	almeno una vera
Implicazione	$p \Rightarrow q$	se $p$ allora $q$	falsa solo se $p$ vera e $q$ falsa
Doppia implicazione	$p \Leftrightarrow q$	$p$ se e solo se $q$	stesso valore di verità

Il punto su cui quasi tutti scivolano: l‘“o” della lingua italiana è spesso esclusivo (“caffè o tè” significa uno dei due, non entrambi), mentre l‘“o” della logica, $\lor$ , è di default inclusivo: $p \lor q$ è vera anche quando sono vere entrambe. Se un esercizio vuole l‘“o” esclusivo lo dice esplicitamente, altrimenti $\lor$ ammette sempre il caso “entrambe vere”.

Tavole di verità e le leggi di De Morgan

La tavola di verità elenca tutte le combinazioni possibile dei valori di $p$ e $q$ e il valore risultante della proposizione composta. Per $p \land q$ e $p \lor q$ :

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	F

Le leggi di De Morgan legano la negazione ai due connettivi, ed è lo stesso schema che si vede nell’operazione di complementare fra insiemi:

\neg (p \land q) = \neg p \lor \neg q

\neg (p \lor q) = \neg p \land \neg q

A parole: negare ” $p$ e $q$ ” non dà “non $p$ e non $q$ ”, dà “non $p$ oppure non $q$ ” — il connettivo cambia quando si nega. È esattamente lo stesso motivo per cui, fra insiemi, $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ : le due leggi sono la stessa idea scritta in due linguaggi diversi, e collegarle è quello che distingue chi ha capito da chi ha imparato a memoria una formula.

Quantificatori e la loro negazione

Il quantificatore universale $\forall$ si legge “per ogni”; il quantificatore esistenziale $\exists$ si legge “esiste almeno un”. Negarli scambia l’uno nell’altro:

\neg (\forall x, p (x)) = \exists x, \neg p (x)

\neg (\exists x, p (x)) = \forall x, \neg p (x)

Tradotto senza simboli: la negazione di “tutti gli studenti della classe hanno il libro” non è “nessuno studente ha il libro” — è “esiste almeno uno studente che non ha il libro”. Confondere la negazione di “tutti” con “nessuno” è l’errore più frequente su questo argomento, e succede perché nella lingua parlata i due si usano spesso come se fossero equivalenti: in logica non lo sono.

Tre esercizi svolti

1. Insiemi con diagramma di Venn e conteggio

In una classe di 25 studenti, 15 seguono il corso di greco e 12 seguono il corso di latino come materia opzionale pomeridiana; 6 studenti seguono entrambi i corsi. Quanti studenti non seguono nessuno dei due corsi?

Indichiamo con $G$ l’insieme di chi segue greco e con $L$ l’insieme di chi segue latino. Sappiamo:

∣ G ∣ = 15 ∣ L ∣ = 12 ∣ G \cap L ∣ = 6

Per contare quanti studenti seguono almeno uno dei due corsi, non si sommano semplicemente 15 e 12: chi segue entrambi verrebbe contato due volte. Si usa la formula dell’unione:

∣ G \cup L ∣ = ∣ G ∣ + ∣ L ∣ - ∣ G \cap L ∣ = 15 + 12 - 6 = 21

Gli studenti che non seguono nessuno dei due corsi sono quelli della classe meno quelli dell’unione:

25 - 21 = 4

4 studenti non seguono né greco né latino. Il passaggio da non saltare mai è la sottrazione di $∣ G \cap L ∣$ : è lì che si sbaglia quando si prova a “sommare a occhio” senza passare dalla formula, ed è lo stesso identico schema con cui, disegnando il diagramma di Venn, si scrivono prima i 6 dell’intersezione, poi $15 - 6 = 9$ nella sola $G$ , poi $12 - 6 = 6$ nella sola $L$ , e infine $9 + 6 + 6 = 21$ dentro le due circonferenze.

2. Tavola di verità di una proposizione composta

Costruisci la tavola di verità di $(p \lor q) \land \neg q$ .

Si procede colonna per colonna, dalla più interna. Prima $\neg q$ , poi $p \lor q$ , infine il risultato finale come congiunzione delle due colonne intermedie:

$p$	$q$	$p \lor q$	$\neg q$	$(p \lor q) \land \neg q$
V	V	V	F	F
V	F	V	V	V
F	V	V	F	F
F	F	F	V	F

La proposizione risulta vera in un solo caso, quando $p$ è vera e $q$ è falsa. Vale la pena notarlo: $(p \lor q) \land \neg q$ è logicamente equivalente a $p \land \neg q$ — la colonna finale coincide con quella che si otterrebbe calcolando direttamente $p \land \neg q$ . Verificarlo costruendo anche quella tavola è un buon esercizio di controllo, perché due proposizioni logicamente equivalenti hanno sempre la stessa colonna di valori.

3. Negazione di una proposizione con quantificatori

Nega la proposizione: “Tutti gli studenti della classe hanno consegnato il compito e nessuno è arrivato in ritardo.”

La proposizione, in simboli, è una congiunzione fra due affermazioni universali:

(\forall x, consegnato (x)) \land (\forall x, \neg ritardo (x))

Per negarla si applica prima De Morgan sulla congiunzione — negare " $P \land Q$ " dà " $\neg P \lor \neg Q$ " — poi si nega ciascun quantificatore universale trasformandolo in esistenziale:

\neg [(\forall x, consegnato (x)) \land (\forall x, \neg ritardo (x))] = (\exists x, \neg consegnato (x)) \lor (\exists x, ritardo (x))

Tradotto: “esiste almeno uno studente che non ha consegnato il compito, oppure esiste almeno uno studente che è arrivato in ritardo.” Non “nessuno ha consegnato” e non “tutti sono arrivati in ritardo” — la negazione di “tutti” resta sempre “esiste almeno uno che non”, su ciascuno dei due pezzi separatamente.

Cosa fare con una simulazione

Su insiemi e logica non abbiamo ancora una simulazione dedicata: è un argomento che si presta più a domande di teoria applicata che a un test a risposta chiusa, e preferiamo costruirla bene invece che pubblicarla incompleta. Quello che c’è, e copre il resto della stessa verifica, è la verifica simulata su numeri, frazioni e potenze: 15 quesiti in 50 minuti sul blocco di settembre-ottobre — MCD, mcm, potenze, frazioni, proporzioni — cioè tutto ciò che nella tua verifica non è insiemi o logica. La risposta corretta di ogni quesito è gratis; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Se vuoi la parte sul resto della prima verifica — gli errori tipici su segni, potenze e priorità delle operazioni — l’ho scritta per intero in la prima verifica di matematica in prima superiore, dove insiemi e logica sono solo un riquadro; qui invece sono l’argomento intero. Se sei al liceo artistico, il programma di ottobre è simile ma con orari diversi: numeri, frazioni e potenze in prima al liceo artistico. E se vuoi un ripasso di tutto l’anno in un unico documento, c’è il formulario di matematica di prima superiore. Il programma completo delle ripetizioni di matematica è qui, anno per anno.

Se dopo aver letto questa guida gli insiemi restano confusi, o se è la logica proposizionale a non tornarti, la diagnosi gratuita serve proprio a questo: mi dici cosa avete fatto in classe e ti dico onestamente dove concentrare le prime lezioni prima che arrivi il compito.

Insiemi e logica in prima superiore: esercizi svolti