Equazioni di primo grado: metodo ed esercizi svolti

Metà ottobre 2026: in prima, che sia liceo artistico, scientifico, linguistico o un istituto tecnico, di solito avete appena chiuso i calcoli con polinomi e frazioni e il prof sta cominciando le equazioni di primo grado, prima quelle numeriche intere, poi quelle con le frazioni e quelle letterali. Il compito su questo argomento cade fra quattro e sette settimane, quindi a novembre. È il momento giusto per costruirsi il metodo, perché le equazioni sono la base di tutta l’algebra dei prossimi anni: sistemi, disequazioni, equazioni di secondo grado, funzioni.

La frase che mi sento dire più spesso è “so farle, ma sbaglio sempre qualcosa”. Quasi sempre è vero: la procedura è breve, e gli errori stanno nei segni e nelle frazioni, non nell’idea. Qui trovi il metodo completo, i casi particolari (impossibili e indeterminate), la verifica e tre esercizi svolti con tutti i passaggi.

Cosa significa risolvere un’equazione

Un’equazione di primo grado nell’incognita $x$ è un’uguaglianza che, dopo aver fatto i calcoli, si riduce a

con $a$ e $b$ numeri. Risolverla vuol dire trovare il valore di $x$ che rende vera l’uguaglianza. Se $a\ne 0$ la soluzione è una sola:

Il resto dell’esercizio è portare l’equazione in quella forma senza rompere l’uguaglianza. Per farlo ci sono due regole, i principi di equivalenza:

1. Primo principio: puoi sommare o sottrarre lo stesso numero (o la stessa espressione) a entrambi i membri. È la regola che si traduce in “porto di là cambiando segno”.
2. Secondo principio: puoi moltiplicare o dividere entrambi i membri per lo stesso numero diverso da zero. È la regola che ti permette di eliminare i denominatori e di dividere per il coefficiente.

Il “cambio segno” non è una magia: è il primo principio. Se hai $x+5=9$, sottrai $5$ da entrambe le parti e ottieni $x=4$. Capire questo evita l’errore di spostare un termine senza cambiarlo, e quello opposto di cambiare il segno di tutto, anche di ciò che non si sposta.

La procedura, in sei passi

Con questa sequenza si risolve qualsiasi equazione di primo grado. Impara l’ordine, e fallo ogni volta nello stesso modo.

1. Elimina le parentesi applicando la proprietà distributiva (e fai attenzione ai segni davanti alle parentesi).
2. Elimina i denominatori: calcola il mcm dei denominatori e moltiplica entrambi i membri per quel valore.
3. Semplifica ciascun membro riducendo i termini simili.
4. Porta le $x$ a sinistra e i numeri a destra, cambiando segno a ciò che attraversa l’uguale.
5. Riduci ancora i termini simili, fino ad arrivare a $ax=b$.
6. Dividi per il coefficiente di $x$ e verifica.

Il passo che nessuno vuole fare è l’ultimo, e invece è quello che ti dà il voto: lo vediamo più avanti.

Equazioni intere con le parentesi

Il punto critico è il segno davanti alla parentesi. Se davanti c’è un meno, cambiano tutti i segni all’interno:

Se davanti c’è un numero, moltiplica ogni termine:

Un errore classico è scrivere $3(x-2)=3x-2$, cioè moltiplicare solo il primo termine. Un altro è scrivere $-2(1-x)=-2-2x$: il segno del secondo termine deve diventare $+2x$, perché $(-2)\cdot (-x)=+2x$. Se i segni delle moltiplicazioni ti danno ancora qualche problema, ripassa i prodotti con i polinomi in prodotti notevoli: formule ed esercizi, dove la proprietà distributiva si usa di continuo.

Equazioni con le frazioni: il mcm fa tutto il lavoro

Quando ci sono denominatori numerici, il secondo principio ti permette di sbarazzartene in un colpo solo: si moltiplicano tutti i termini, a sinistra e a destra, per il mcm dei denominatori. Se il calcolo del mcm è la tua parte debole, mcd e mcm con la scomposizione in fattori primi lo spiega con esercizi.

Esempio:

Il mcm di $2$ e $3$ è $6$. Moltiplico ogni termine per $6$:

Gli errori tipici sono due. Il primo è moltiplicare per il mcm solo i termini con la frazione e dimenticarsi del termine intero (qui il $5$ diventa $30$). Il secondo è sbagliare il segno quando davanti alla frazione c’è un meno: la frazione va messa tra parentesi prima di togliere il denominatore. Con

moltiplico per $2$ e scrivo

Se avessi scritto $2x-x-1=4$ avrei trovato $x=5$, che è sbagliato. Verifica con $x=3$: $3-\frac{2}{2}=2$. Torna.

Quando l’incognita è al denominatore

In prima le equazioni fratte (con la $x$ nel denominatore) compaiono a volte in coda al capitolo. Si aggiunge un passo prima di tutto: le condizioni di esistenza, cioè i valori di $x$ che annullano un denominatore e quindi non sono ammessi. Alla fine, se la soluzione trovata coincide con uno di quei valori, va scartata.

Condizione di esistenza: $x\ne 2$. Moltiplico per $x-2$ e ottengo $x=2$, che però è proprio il valore escluso. L’equazione è impossibile. Chi si dimentica le condizioni scrive "$x=2$" e perde l’esercizio.

Equazioni impossibili e indeterminate

Dopo aver ridotto, può succedere che le $x$ spariscano. Non hai sbagliato: sei in uno dei due casi particolari.

Impossibile: ottieni un’uguaglianza falsa, del tipo $0\cdot x=b$ con $b\ne 0$. Nessun valore di $x$ la rende vera.

La risposta si scrive “equazione impossibile”, insieme delle soluzioni $\varnothing$.

Indeterminata: ottieni un’uguaglianza sempre vera, $0\cdot x=0$. Qualsiasi valore di $x$ è una soluzione: l’equazione è un’identità.

Qui la risposta è “equazione indeterminata”, soluzioni: tutti i numeri.

Il trucco per non confonderli: guarda cosa resta quando le $x$ si cancellano. Se resta una cosa falsa ($2=1$) è impossibile; se resta una cosa vera ($0=0$) è indeterminata. Non scrivere mai "$x=0$" in questi casi: $x=0$ è una soluzione vera e propria, mentre qui le soluzioni sono nessuna o infinite.

Con un parametro (equazioni letterali)

Quando i coefficienti contengono una lettera, per esempio $a$, l’equazione si discute: bisogna dire cosa succede per ciascun valore del parametro. Il caso tipico è

Se $a\ne 2$ puoi dividere e trovi $x=\frac{4}{a-2}$. Se $a=2$ l’equazione diventa $0\cdot x=4$, quindi è impossibile. La domanda “per quali valori di $a$ posso dividere?” è sempre la prima da farsi: è la stessa attenzione al divisore nullo che avevi per il secondo principio.

La verifica: trenta secondi che valgono un voto

Per controllare una soluzione basta sostituirla nell’equazione di partenza (non in quella che hai già semplificato) e calcolare i due membri separatamente. Devono dare lo stesso numero. Se non tornano, l’errore è quasi sempre in uno dei primi tre passi della procedura, quindi rifai quelli.

Fallo con attenzione soprattutto con le frazioni: è lì che i segni scappano. Un’equazione risolta e verificata in compito vale la risposta piena; una soluzione sbagliata non verificata ti lascia con un risultato che nemmeno tu sai se è giusto.

Tre esercizi svolti

Prova a risolverli da solo prima di leggere la soluzione.

Esercizio 1: intera con le parentesi

Elimino le parentesi:

Riduco i termini simili a sinistra:

Porto le $x$ a sinistra e i numeri a destra:

Verifica: a sinistra $3\cdot 11-2\cdot (-12)=33+24=57$; a destra $4\cdot 13+5=57$. Torna.

Per allenarti su un percorso più ampio di verifiche di prima, ci sono le simulazioni di verifica: sono tarate sul programma del liceo, quindi usale come allenamento sugli argomenti comuni a tutti gli indirizzi.

Esercizio 2: con le frazioni

Il mcm di $2$, $3$ e $6$ è $6$. Moltiplico ogni termine per $6$, tenendo le frazioni tra parentesi:

Elimino le parentesi (il meno davanti al secondo termine cambia entrambi i segni):

Porto le $x$ a sinistra e i numeri a destra:

Divido per $-2$:

Verifica con $x=\frac{7}{2}$: il primo termine vale $\frac{9/2}{2}=\frac{9}{4}$, il secondo $\frac{6}{3}=2$, quindi a sinistra $\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}$. A destra $\frac{3/2}{6}=\frac{1}{4}$. Torna.

Una soluzione frazionaria non è un campanello d’allarme: nelle equazioni di primo grado è del tutto normale.

Esercizio 3: un problema che si risolve con un’equazione

Un libro ha un certo numero di pagine. Lunedì ne leggo i $\frac{2}{5}$, martedì $\frac{1}{3}$ del totale, e me ne restano da leggere $28$. Quante pagine ha il libro?

Scelgo l’incognita: $x$ è il numero totale di pagine. Lunedì leggo $\frac{2}{5}x$, martedì $\frac{1}{3}x$, e restano $28$. Il totale è la somma delle tre parti:

Il mcm di $5$ e $3$ è $15$. Moltiplico ogni termine per $15$:

Riduco e porto le $x$ a destra:

Verifica nel testo: lunedì $\frac{2}{5}\cdot 105=42$ pagine, martedì $\frac{1}{3}\cdot 105=35$ pagine, in tutto $77$; $105-77=28$. Torna con i dati del problema.

Problemi: come si traduce un testo in equazione

Il passaggio che manda in crisi più studenti non è risolvere l’equazione, è scriverla. Il metodo che uso in lezione:

1. Leggi il testo due volte e sottolinea cosa viene chiesto.
2. Scegli l’incognita e scrivila per esteso (”$x$ = numero di pagine”). Di solito è la grandezza richiesta, oppure quella da cui si ricavano le altre.
3. Esprimi le altre grandezze in funzione di $x$. Se un lato supera l’altro di $4$ cm, i due lati sono $x$ e $x+4$.
4. Cerca la relazione che il testo ti dà: una somma totale, un perimetro, due quantità uguali.
5. Scrivi l’equazione, risolvila, verifica nel testo, non solo nell’equazione. Un lato negativo o un numero di persone non intero ti dice che l’impostazione è sbagliata.

Un esempio breve: un rettangolo ha il perimetro di $56$ cm e la base supera di $4$ cm l’altezza. Con $h$ altezza e $h+4$ base:

Quindi altezza $12$ cm e base $16$ cm: il perimetro è $2\cdot (12+16)=56$. Se scomporre un’espressione ti serve per semplificare prima di risolvere, il percorso è in scomposizione di polinomi: raccoglimento e trinomio.

Gli errori che costano punti

• Segni davanti alle parentesi. Il meno cambia tutto ciò che sta dentro. È l’errore numero uno, lo vedo in compiti di ogni livello.
• Moltiplicare solo alcuni termini per il mcm. Quando togli i denominatori, ogni termine, anche quello intero, va moltiplicato.
• Dimenticare il cambio di segno spostando un termine di là dall’uguale, oppure cambiarlo due volte.
• Dividere per il coefficiente sbagliato: se $-2x=-7$ la soluzione è $\frac{7}{2}$ e non $-\frac{7}{2}$. Il segno meno si semplifica.
• Scrivere "$x=0$" in un’equazione impossibile o indeterminata, invece di dire che cosa sia.
• Non verificare. La sostituzione individua in trenta secondi quasi tutti gli errori di segno.
• Mettere $=$ fra espressioni che non sono uguali nei passaggi intermedi: ogni riga deve essere equivalente alla precedente. Se serve ricominciare, ricomincia, non sovrascrivere.
• Nei problemi, dimenticare di scrivere cosa rappresenta l’incognita e di dare la risposta con l’unità di misura.

Come prepararsi al compito

Fra quattro e sette settimane c’è il tempo di farlo bene, senza fretta. Il piano che consiglio:

1. Questa settimana: rifai a mano i tre esercizi senza guardare la soluzione, cambiando i numeri. Se il risultato non torna con la verifica, cerca l’errore prima di andare avanti.
2. Quando in classe arrivano le frazioni: fai cinque equazioni con denominatori diversi, e per ognuna scrivi il mcm come primo passo.
3. Due settimane prima del compito: scrivi tre equazioni impossibili e tre indeterminate, inventandole tu. Chi sa costruirle sa riconoscerle.
4. Nell’ultima settimana: risolvi due problemi al giorno con il metodo dei cinque passi. È quello che nel compito pesa di più e che si allena meno.

Se vuoi ricollegare queste equazioni a quello che viene dopo, in equazioni, disequazioni e sistemi in seconda trovi dove vanno a finire (sistemi e disequazioni) con un taglio più operativo. Per l’inquadramento generale dell’argomento c’è la pagina Matematica.

Se i segni continuano a tradirti

Di solito, quando uno studente di prima sbaglia le equazioni, il problema non è l’algebra: è un’abitudine di scrittura (passaggi saltati, righe confuse, calcoli fatti a mente). In lezione lavoro proprio su quello: un foglio ordinato, un passaggio per riga, verifica sempre. Se vuoi, scrivimi dalla pagina contatti e facciamo una diagnosi gratuita: mi mandi un compito o due esercizi che non ti tornano e ti dico dove si inceppa il procedimento.