Corrente elettrica: Ohm, resistività ed effetto Joule

In quinta al liceo delle scienze umane la fisica ha poche ore a settimana, due, e il programma di elettricità arriva tutto insieme: dopo il campo elettrico si passa alla corrente, alla legge di Ohm, alle resistenze e all’effetto Joule. In classe l’argomento sta iniziando adesso, e la verifica cade fra dicembre e gennaio, fra sei e otto settimane. Con due ore a settimana il professore va veloce, e capita di arrivare al compito con le formule in testa ma senza sapere quale usare. Questo post serve a quello: capire cosa significano le grandezze, riconoscere il tipo di esercizio e farlo senza sbagliare le unità.

Non mi occupo qui di tutta l’elettrostatica (per quella c’è il post su campo e potenziale e quello sulla legge di Coulomb), né della parte da laboratorio dell’elettrotecnica (legge di Ohm e Kirchhoff in terza al professionale). Qui l’angolo è concettuale: analogie, ordini di grandezza e conti con numeri semplici.

Cos’è la corrente elettrica

Nel filo di un circuito i portatori di carica, negli ordinari conduttori metallici gli elettroni, si muovono in modo ordinato quando c’è un campo elettrico. L’intensità di corrente è la carica che passa attraverso una sezione del filo nell’unità di tempo:

L’unità è l’ampere, $1\text{A}=1\text{C/s}$. Per convenzione il verso della corrente è quello in cui si muoverebbero le cariche positive, cioè dal polo positivo al negativo fuori dalla pila: gli elettroni, negativi, vanno in realtà nel verso opposto. Se un’interrogazione ti chiede «il verso della corrente», si intende quello convenzionale.

Perché la corrente scorra serve una differenza di potenziale $V$ (la tensione, in volt), che tiene il circuito chiuso come una pompa tiene l’acqua in movimento.

L’analogia idraulica

Se la corrente ti sembra astratta, pensa a un impianto idraulico:

• la tensione è la differenza di pressione (o di dislivello) fra due punti del tubo;
• la corrente è la portata, quanta acqua passa al secondo;
• la resistenza è la strozzatura: un tubo stretto e lungo oppone più resistenza di uno largo e corto.

A parità di pressione, più il tubo è stretto meno acqua passa. È esattamente la legge di Ohm.

La prima legge di Ohm

Per i conduttori ohmici, cioè quelli per cui la corrente è proporzionale alla tensione (i metalli a temperatura costante), vale

dove $R$ è la resistenza, in ohm: $1\Omega =1\text{V/A}$. Tre formule in una: se conosci due grandezze trovi la terza, $I=V/R$ oppure $R=V/I$. Raddoppiando la tensione si raddoppia la corrente; raddoppiando la resistenza, a tensione fissa, la corrente si dimezza.

La legge di Ohm non è una legge universale come la gravitazione: descrive un comportamento, quello dei conduttori ohmici. Un diodo o una lampadina a incandescenza non la seguono con una $R$ costante, perché la resistenza dipende dalla temperatura. Per l’esercizio di scuola si assume quasi sempre $R$ costante, ma conviene saperlo.

La seconda legge di Ohm: la resistività

Perché un filo ha una resistenza maggiore di un altro? Dipende da due cose: dal materiale e dalla forma. Un filo più lungo oppone più resistenza (più strada da percorrere), un filo più spesso ne oppone meno (più «corsie»). La formula è

dove $L$ è la lunghezza, $S$ la sezione e $\rho$ la resistività del materiale, che si misura in $\Omega \cdot \text{m}$. La resistività è una proprietà del materiale, la resistenza è una proprietà di quell’oggetto: due fili dello stesso rame hanno lo stesso $\rho$ ma resistenze diverse se hanno forma diversa.

Qualche ordine di grandezza: il rame ha $\rho \approx 1,7\cdot 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$, ed è per questo che i cavi sono di rame. Una lega di nichel-cromo, usata nelle resistenze delle stufette, ha $\rho \approx 1,1\cdot 10^{-6}\Omega \cdot \text{m}$, cioè circa sessanta volte più alta: voglio proprio che quel filo dissipi molta energia, quindi uso un materiale resistivo. Nei metalli la resistività cresce con la temperatura.

Resistenze in serie e in parallelo

Due modi di collegare:

In serie, una dopo l’altra: la corrente è la stessa in tutte (non ha altre strade), le tensioni si sommano e le resistenze si sommano:

In parallelo, sullo stesso paio di nodi: la tensione è la stessa ai capi di ciascuna, le correnti si sommano, e per le resistenze si sommano gli inversi:

Due controlli di buon senso: in serie $R_{eq}$ è maggiore della più grande delle resistenze; in parallelo è minore della più piccola (più strade per la corrente, quindi meno ostacolo). Se il tuo risultato in parallelo è più grande di una delle resistenze, hai sbagliato. Con due sole resistenze in parallelo vale anche $R_{eq}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$.

Effetto Joule: energia, potenza, kWh

Quando una corrente attraversa un resistore, l’energia elettrica si trasforma in calore. La potenza dissipata è

La potenza si misura in watt, $1\text{W}=1\text{J/s}$, e l’energia in un intervallo di tempo $\Delta t$ è $E=P\Delta t$. Le tre forme sono equivalenti grazie a $V=RI$; quale usare dipende dai dati: se hai $V$ e $I$ la prima, $R$ e $I$ la seconda, $V$ e $R$ la terza.

Il kilowattora (kWh) è l’unità con cui si misura l’energia delle bollette: $1\text{kWh}$ è l’energia di un apparecchio da $1\text{kW}$ acceso per un’ora, cioè

Attenzione: il kWh è un’unità di energia, non di potenza. «Un forno da 2 kWh» è un errore che il professore nota.

Esercizio 1: resistenza equivalente, correnti e potenze

Un circuito è alimentato da una pila da $24\text{V}$. Una resistenza $R_1=4\Omega$ è in serie con il parallelo di $R_2=6\Omega$ e $R_3=12\Omega$. Trova la resistenza equivalente, la corrente erogata dalla pila e la potenza dissipata da ciascun resistore.

Parallelo di $R_2$ e $R_3$:

Serie con $R_1$:

Corrente totale:

Questa corrente attraversa $R_1$ (è in serie). La tensione su $R_1$ è $4\cdot 3=12\text{V}$, quindi ai capi del parallelo restano $24-12=12\text{V}$. Le correnti nei due rami sono

e la loro somma, $2+1=3\text{A}$, torna con la corrente totale. Le potenze: $P_1=R_1{I}^2=4\cdot 9=36\text{W}$; $P_2=V_{23}{I}_2=12\cdot 2=24\text{W}$; $P_3=12\cdot 1=12\text{W}$. Totale $36+24+12=72\text{W}$, uguale alla potenza erogata dalla pila, $24\cdot 3=72\text{W}$. Conservazione dell’energia verificata.

Se vuoi allenarti su altri quesiti di questo tipo, trovi le simulazioni di verifica per il liceo: la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: resistenza di un filo

Un filo di rame lungo $50\text{m}$ ha sezione $1,5{\text{mm}}^2$. Calcola la sua resistenza ($\rho =1,7\cdot 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$) e la tensione ai suoi capi quando è attraversato da $10\text{A}$.

Prima le unità: $1,5{\text{mm}}^2=1,5\cdot 10^{-6}{\text{m}}^2$. Un millimetro quadrato non è $10^{-3}$ di metro quadrato, ma $10^{-6}$, perché $1\text{mm}=10^{-3}\text{m}$ e l’area è un quadrato: è l’errore di unità più frequente di questo capitolo.

La tensione è $V=RI\approx 0,57\cdot 10=5,7\text{V}$ e la potenza dissipata nel filo è $P=R{I}^2\approx 57\text{W}$. È il motivo per cui i cavi lunghi e sottili si scaldano: la sezione dei fili si sceglie in base alla corrente che devono portare.

Esercizio 3: una stufetta, dalla potenza alla bolletta

Una stufetta elettrica da $2000\text{W}$ è collegata alla tensione di rete di $230\text{V}$. Calcola la corrente assorbita, la resistenza della sua resistenza (il filo riscaldante) e l’energia consumata in $30$ minuti, in kWh e in joule.

Dalla potenza $P=VI$ si ricava la corrente:

La resistenza si ottiene con $P=V^2/R$:

(controllo: $26,45\cdot 8,7\approx 230\text{V}$, torna). L’energia in mezz’ora, cioè $0,5\text{h}$:

In joule, $1\text{kWh}=3,6\cdot 10^6\text{J}$, quindi $E=3,6\cdot 10^6\text{J}$. Se avessi lasciato i minuti e moltiplicato $2000\cdot 30$ avresti trovato un numero senza senso: il tempo va in secondi (per i joule) o in ore (per i kWh), mai in minuti.

Gli errori che costano più punti

• Sommare gli inversi e dimenticare di invertire. Nel parallelo $1/R_{eq}=1/6+1/12=1/4$ non vuol dire $R_{eq}=1/4$, ma $R_{eq}=4\Omega$.
• Mescolare serie e parallelo. In serie la corrente è comune, in parallelo la tensione è comune. Se ti blocchi, scrivi quale delle due grandezze è la stessa.
• Unità di misura. ${\text{mm}}^2$ in ${\text{m}}^2$ ($10^{-6}$), minuti in secondi o ore, kW in W.
• Confondere resistenza e resistività. $R$ in $\Omega$, $\rho$ in $\Omega \cdot \text{m}$.
• Confondere potenza ed energia. Watt contro joule, kW contro kWh.
• Usare la formula sbagliata della potenza. In un parallelo la tensione è comune, quindi $P=V^2/R$ è la più comoda; in una serie la corrente è comune, quindi $P=R{I}^2$.

Come prepararti nelle prossime settimane

Con questo programma, non sottovalutare il tempo che serve per i conti. Una buona sequenza: la prima settimana corrente, tensione e legge di Ohm (cinque esercizi con una sola resistenza); la seconda resistività; la terza serie e parallelo, partendo dai soli due resistori; la quarta circuiti misti e potenza. Di ogni esercizio scrivi i dati con le unità, la formula usata e un controllo finale: l’ordine di grandezza e, nei circuiti, il bilancio delle potenze.

Per il quadro della materia c’è la pagina di fisica; per il passaggio dal campo elettrico ai circuiti, elettrostatica e circuiti è un buon ripasso del prima.

Se vuoi una mano

Se ti perdi fra serie e parallelo o le unità ti tradiscono, possiamo fare una diagnosi gratuita: guardiamo insieme un esercizio del tuo libro e vediamo dove si inceppa il ragionamento. Scrivimi dalla pagina contatti, le ripetizioni sono online 1-a-1.