Campo magnetico e forza di Lorentz

In quinta al liceo scientifico, in queste settimane, la fisica è ancora tra elettrostatica e circuiti. Il campo magnetico arriva dopo: di solito fra dicembre e gennaio, con la verifica a gennaio o febbraio, quindi fra dieci-dodici settimane. Ti scrivo adesso perché è l’argomento su cui la fisica di quinta cambia passo, e arrivarci con un’idea chiara di cosa chiede il compito ti fa risparmiare il panico di febbraio. Vale anche per il classico, dove il magnetismo ha la stessa forma, magari con meno problemi numerici.

Questo post è per chi studia ora le sorgenti del campo e la forza di Lorentz o sta per cominciare, e per chi ha già avuto la “regola della mano destra” in classe e non ricorda più quale dito fa cosa. Se ti serve la mappa di tutto il blocco di elettromagnetismo, è in elettromagnetismo per la maturità; qui resto sul campo magnetico e sulle sue forze, con quattro esercizi dove ho ricontrollato ogni numero. L’induzione, che viene dopo, ha una guida a parte: induzione elettromagnetica.

Da dove nasce il campo magnetico

Un magnete e un filo percorso da corrente hanno una cosa in comune: generano un campo vettoriale $B$ , misurato in tesla (T). La scoperta di Oersted è che una corrente devia un ago magnetico, quella di Ampère che due fili percorsi da corrente si attirano o si respingono. In entrambi i casi ciò che conta è la carica in moto: le cariche ferme non producono campo magnetico.

Le sorgenti da sapere per la verifica sono quattro. Con $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$ :

sorgente	modulo di $B$	dove
filo rettilineo (Biot-Savart / Ampère)	$\frac{μ _{0} I}{2 π d}$	a distanza $d$ dal filo
spira circolare, raggio $R$	$\frac{μ _{0} I}{2 R}$	al centro della spira
solenoide, $n$ spire per metro	$μ_{0} n I$	all’interno, lontano dagli estremi

Il filo e il solenoide vengono dalla legge di Ampère: la circuitazione di $B$ lungo una linea chiusa vale $μ_{0}$ per la corrente concatenata. Nel solenoide il campo è uniforme all’interno e praticamente nullo fuori: è il modo più semplice per produrre un campo costante, ed è il motivo per cui compare in tanti problemi.

Verso. Per un filo la regola della mano destra dice: pollice nel verso della corrente, le dita che si chiudono indicano il verso delle linee di $B$ , che sono circonferenze attorno al filo. Per la spira e il solenoide si fa il contrario: le dita seguono la corrente e il pollice indica il verso di $B$ all’interno.

Le linee di campo sono sempre chiuse: non esistono monopoli magnetici, quindi il flusso di $B$ attraverso una superficie chiusa è nullo. Se hai già visto il flusso del campo elettrico nel teorema di Gauss, ricorda la differenza: lì il flusso dipende dalla carica contenuta, qui è sempre zero.

La forza su una carica in moto

Una carica $q$ che si muove con velocità $v$ in un campo $B$ subisce la forza di Lorentz:

F = q v \times B

In modulo $F = q v B sin θ$ , dove $θ$ è l’angolo fra $v$ e $B$ . Tre conseguenze da avere in testa:

Se $v$ è parallela a $B$ la forza è nulla, e se è perpendicolare è massima.
La forza è perpendicolare alla velocità: non compie lavoro, cambia la direzione del moto ma non il modulo della velocità.
Se la carica è negativa il verso si inverte: la regola della mano destra vale per cariche positive, per un elettrone si gira il risultato.

Regola della mano destra, in pratica. Dita nel verso di $v$ , palmo orientato in modo che le dita possano chiudersi verso $B$ : il pollice indica $F$ per una carica positiva. Gli errori di verso sono i più frequenti e si evitano solo allenandosi su pochi casi concreti, a mano, con un disegno.

Il moto circolare

Se la velocità è perpendicolare a un campo uniforme, la forza è sempre perpendicolare alla traiettoria e costante in modulo: è una forza centripeta, e la carica compie una circonferenza. Uguagliando $q v B$ con $m v^{2} / r$ :

r = \frac{m v}{q B}

Il periodo vale

T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π m}{q B}

e non dipende dalla velocità: una particella più veloce fa un cerchio più grande, ma ci mette lo stesso tempo. Su questo si basa il ciclotrone, e al compito è una domanda teorica molto gettonata. Se la velocità ha anche una componente parallela a $B$ , la traiettoria diventa un’elica.

Il selettore di velocità

Se in una regione ci sono un campo elettrico e un campo magnetico perpendicolari fra loro e perpendicolari alla velocità, una particella passa in linea retta quando le due forze si equilibrano: $q E = q v B$ , cioè

v = \frac{E}{B}

La condizione non dipende né dalla carica né dalla massa: il selettore lascia passare solo le particelle con quella velocità, e si usa prima dello spettrometro di massa.

La forza su un filo percorso da corrente

Un tratto di filo di lunghezza $L$ percorso da corrente $I$ , immerso in un campo uniforme, è un insieme di cariche in moto, quindi subisce una forza:

F = B I L sin θ

con $θ$ angolo fra il filo e $B$ . Il verso segue la stessa regola della mano destra, con il verso della corrente al posto di quello della velocità. Applicata a due fili paralleli, questa formula porta alla forza fra correnti (legge di Ampère per i fili):

\frac{F}{L} = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2}}{2 π d}

Correnti concordi si attirano, correnti opposte si respingono: ed è il contrario di quello che succede con le cariche elettriche, quindi vale la pena fissarlo con uno schema. Sullo stesso principio funziona il motore elettrico: una spira percorsa da corrente in un campo uniforme riceve due forze opposte che la fanno ruotare.

Esercizi svolti

Valori che userò: $e = 1, 602 \times 1 0^{- 19} C$ per la carica del protone e $m_{p} = 1, 673 \times 1 0^{- 27} kg$ per la sua massa.

Esercizio 1 — i campi delle sorgenti

Calcola (a) il campo di un filo con $I = 10 A$ a $d = 5, 0 cm$ ; (b) il campo al centro di una spira di raggio $R = 10 cm$ con $I = 2, 0 A$ ; (c) il campo dentro un solenoide con $n = 2000$ spire/m e $I = 1, 5 A$ .

(a) Il filo:

B = \frac{μ _{0} I}{2 π d} = \frac{2 \times 1 0 ^{- 7} \cdot 10}{0 , 050} = 4, 0 \times 1 0^{- 5} T = 40 μ T

Ho usato $μ_{0} / (2 π) = 2 \times 1 0^{- 7}$ T·m/A. Per confronto, il campo magnetico terrestre vale circa $50 μ$ T: un filo con 10 A a 5 cm ha un campo dello stesso ordine.

(b) La spira, al centro:

B = \frac{μ _{0} I}{2 R} = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \cdot 2 , 0}{0 , 20} = 4 π \times 1 0^{- 6} T \approx 1, 3 \times 1 0^{- 5} T

cioè circa $12, 6 μ$ T.

(c) Il solenoide:

B = μ_{0} n I = 4 π \times 1 0^{- 7} \cdot 2000 \cdot 1, 5 = 3, 77 \times 1 0^{- 3} T \approx 3, 8 mT

Vedi l’ordine di grandezza: con la stessa corrente il solenoide produce un campo molto più grande del filo, perché le spire si sommano.

Esercizio 2 — un protone in un campo uniforme

Un protone con $v = 2, 0 \times 1 0^{6} m/s$ entra perpendicolarmente in un campo $B = 0, 50 T$ . Trova la forza, il raggio della traiettoria e il periodo.

Forza. Con $θ = 9 0^{\circ}$ :

F = q v B = 1, 602 \times 1 0^{- 19} \cdot 2, 0 \times 1 0^{6} \cdot 0, 50 = 1, 6 \times 1 0^{- 13} N

Raggio.

r = \frac{m v}{q B} = \frac{1 , 673 \times 1 0 ^{- 27} \cdot 2 , 0 \times 1 0 ^{6}}{1 , 602 \times 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 50} = \frac{3 , 346 \times 1 0 ^{- 21}}{8 , 01 \times 1 0 ^{- 20}} \approx 0, 042 m

cioè circa $4, 2$ cm.

Periodo.

T = \frac{2 π m}{q B} = \frac{2 π \cdot 1 , 673 \times 1 0 ^{- 27}}{8 , 01 \times 1 0 ^{- 20}} \approx 1, 3 \times 1 0^{- 7} s

Sono circa $131$ ns. Controllo incrociato: $2 π r / v = 2 π \cdot 0, 0418/ (2 \times 1 0^{6}) \approx 1, 31 \times 1 0^{- 7}$ s, stesso risultato. Se la velocità raddoppiasse il raggio raddoppierebbe e il periodo resterebbe lo stesso.

Esercizio 3 — selettore e poi curva

Un fascio di protoni attraversa un selettore con $E = 1, 0 \times 1 0^{4} V/m$ e $B_{1} = 5, 0 \times 1 0^{- 3} T$ . Quelli che escono dritti entrano poi in una regione con solo campo magnetico $B_{2} = 0, 50 T$ , perpendicolare. Quale raggio descrivono?

Velocità selezionata.

v = \frac{E}{B _{1}} = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{4}}{5 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} = 2, 0 \times 1 0^{6} m/s

Raggio nella seconda regione. È la stessa velocità dell’esercizio 2 e lo stesso campo, quindi $r \approx 4, 2$ cm. È voluto: i problemi di selettore sono quasi sempre un esercizio 2 con la velocità da ricavare prima. Se invece del protone entrasse uno ione con carica doppia e la stessa massa, il raggio dimezzerebbe: nel selettore passerebbe comunque alla stessa $v$ , ma $r = m v / (q B)$ dipende da $q$ .

Esercizio 4 — un filo in un campo, e due fili fra loro

(a) Un filo lungo $L = 0, 40$ m, percorso da $I = 5, 0$ A, è perpendicolare a un campo uniforme $B = 0, 30$ T. Quale forza subisce? E se forma un angolo di $3 0^{\circ}$ con il campo?

F = B I L = 0, 30 \cdot 5, 0 \cdot 0, 40 = 0, 60 N

Con $3 0^{\circ}$ interviene $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , quindi $F = 0, 30$ N.

(b) Due fili paralleli, ciascuno con $I = 10$ A concorde, distano $d = 0, 10$ m. Che forza per metro si esercita?

\frac{F}{L} = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2}}{2 π d} = \frac{2 \times 1 0 ^{- 7} \cdot 10 \cdot 10}{0 , 10} = 2, 0 \times 1 0^{- 4} N/m

Poiché le correnti sono concordi, i fili si attirano.

Gli errori che vedo di più

Confondere forza e campo. La forza di Lorentz non ha la direzione di $B$ : è perpendicolare sia a $v$ sia a $B$ .
Il verso su una carica negativa. Si applica la regola per la carica positiva e si inverte il risultato; chi se ne dimentica sbaglia tutta la deflessione dell’elettrone.
Le unità. I centimetri vanno in metri prima di sostituire, e i gauss o i millitesla in tesla. Nell’esercizio 2 un raggio di 4,2 metri invece di 4,2 centimetri è il segnale che hai scritto male una potenza.
Usare $sin θ$ con l’angolo sbagliato. In $F = q v B sin θ$ l’angolo è quello fra $v$ e $B$ , non quello fra la traiettoria e un asse del disegno.
Applicare $B = μ_{0} n I$ fuori dal solenoide o vicino ai suoi estremi: la formula vale all’interno e lontano dalle estremità.

Come ti consiglio di prepararti

Nelle settimane in cui elettrostatica e circuiti sono in corso, non c’è bisogno di anticipare il magnetismo: conviene però avere i circuiti solidi, perché la corrente è il ponte verso Ampère. Se vuoi un ripasso adesso, dai un’occhiata a corrente, Ohm e resistività. Quando il capitolo parte in classe, la sequenza che uso è: prima le sorgenti e il verso (con la mano destra su cinque disegni), poi Lorentz e il moto circolare, infine filo e solenoide. Il selettore di velocità si studia dopo il moto circolare, perché senza $r = m v / (q B)$ non ha senso.

Mettiti alla prova

Per allenarti sul formato dell’esame c’è la seconda prova di fisica: tre simulazioni in stile ministeriale, la prima sull’elettromagnetismo. Per la sola magnetostatica c’è la verifica simulata su campo B, Lorentz e Ampère: quindici quesiti in cinquanta minuti con i punti deboli per argomento. È una verifica pensata per il quarto anno, ma gli argomenti sono gli stessi che trovi in quinta. La risposta corretta è gratis; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Se vuoi una mano

Con gli studenti di quinta, sul magnetismo spendo la prima lezione sul verso: se la mano destra funziona, i conti sono facili. Se vuoi capire a che punto sei e come impostare le prossime settimane, scrivimi per una diagnosi gratuita. Il quadro dei percorsi è nella pagina delle ripetizioni di fisica.

Campo magnetico e forza di Lorentz: esercizi svolti