Gravitazione universale e leggi di Keplero

Al liceo delle scienze umane la fisica di quarta, con poche ore a settimana, tocca la gravitazione tra novembre e dicembre, dopo lavoro, energia e quantità di moto. Il compito cade tra sei e otto settimane da oggi, fine novembre o inizio dicembre, quindi la sera in cui il professore scrive alla lavagna “Newton” e “Keplero” è già vicina. Il guaio è che a quel punto le formule sono poche ma arrivano tutte insieme, con potenze di dieci e unità di misura strane. Qui trovi il minimo che serve, e gli esercizi che nelle mie lezioni vedo tornare ogni anno. Niente derivate né integrali: bastano le quattro operazioni, i quadrati e una calcolatrice.

La legge di gravitazione universale

Due corpi qualsiasi con massa si attraggono. La forza è la stessa su entrambi (terzo principio), ed è:

dove $r$ è la distanza fra i centri dei due corpi e $G=6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$. Le due cose da ricordare sono semplici. Se raddoppi una delle masse, la forza raddoppia. Se raddoppi la distanza, la forza diventa un quarto, non la metà: la distanza sta al quadrato.

Perché non ci attiriamo con il compagno di banco? Facciamo il conto.

Esercizio 1. Due persone, di 60 kg e 70 kg, stanno a 1 m di distanza. Quanto vale la forza di attrazione?

Meno di un milionesimo di newton. La gravità è la più debole delle forze: la sentiamo solo se una delle masse è enorme, come un pianeta.

g non è una costante universale

Il peso di un corpo di massa $m$ vicino alla Terra è la forza gravitazionale con cui la Terra lo attira. Mettendo $M$ per la massa della Terra e $R$ per il suo raggio:

La massa $m$ si semplifica: per questo tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione. Con i dati della Terra ($M=5,97\cdot 10^{24}$ kg, $R=6,37\cdot 10^6$ m):

Il numero che tutti conosciamo viene fuori dai dati del pianeta. In quota la formula resta la stessa, ma al posto di $R$ va messa la distanza dal centro, $r=R+h$.

Esercizio 2. Quanto vale $g$ a 400 km di altezza, dove orbita la Stazione Spaziale? E quanto “pesa” lì una persona di 70 kg?

La distanza dal centro è $r=6,37\cdot 10^6+4,00\cdot 10^5=6,77\cdot 10^6$ m.

Il peso a terra è $70\cdot 9,81\approx 687$ N, a 400 km è $70\cdot 8,69\approx 608$ N: circa l’89% di prima. Gli astronauti fluttuano non perché lassù la gravità manchi, ma perché stazione e astronauti sono in caduta libera insieme. L’errore tipico è dire “nello spazio non c’è gravità”: in verifica è un punto perso.

Esercizio 3. A quale quota $g$ diventa un quarto del valore in superficie?

Se $g$ è un quarto, $r^2$ deve essere quattro volte più grande, quindi $r=2R$. L’altezza sopra il suolo è $h=2R-R=R\approx 6370$ km, e $g=9,81/4\approx 2,45m/{\mathrm{s}}^2$. Nota il trucco: non serve rifare i conti con $G$ e $M$, basta ragionare sulla proporzione.

Le tre leggi di Keplero

Keplero le ricavò dai dati sui pianeti, prima che Newton spiegasse perché valgono. In verifica si chiedono quasi sempre enunciato e un esempio.

1. Prima legge. I pianeti percorrono orbite ellittiche, e il Sole occupa uno dei due fuochi. Il punto più vicino al Sole si chiama perielio, il più lontano afelio.
2. Seconda legge. Il segmento che unisce il pianeta al Sole descrive aree uguali in tempi uguali. Conseguenza pratica: vicino al Sole il pianeta corre più veloce, lontano rallenta. La Terra è più veloce a gennaio che a luglio.
3. Terza legge. Per i pianeti che girano attorno allo stesso astro:

dove $T$ è il periodo di rivoluzione e $r$ il semiasse maggiore dell’orbita, che per orbite quasi circolari è il raggio medio.

Un’avvertenza che ripeto sempre: la costante vale per i corpi che orbitano attorno allo stesso astro. Pianeti attorno al Sole condividono una costante, i satelliti della Terra ne condividono un’altra.

Esercizio 4. Un pianeta ipotetico ha un’orbita con raggio medio 4 volte quello della Terra. Quanto dura il suo anno?

Il raggio è in rapporto 4, quindi il cubo è $4^3=64$. Dalla terza legge $T^2\propto r^3$, quindi $T^2$ è 64 volte quello terrestre e $T=\sqrt{64}=8$ anni terrestri. Si fa a mente, senza costanti: quando il problema parla di “rapporti” e non dà $G$, la strada è questa.

Esercizio 5. Marte dista in media dal Sole 1,52 volte la distanza Terra-Sole. Quanto dura il suo anno?

Il valore reale è circa 1,88 anni: la terza legge funziona davvero. Con lo stesso metodo Giove, a 5,2 volte la distanza della Terra, ha $T=5,2\cdot \sqrt{5,2}\approx 11,9$ anni.

Velocità orbitale

Un satellite in orbita circolare sta cadendo verso la Terra, ma ha una velocità laterale così alta che il suolo si curva via sotto di lui. La forza gravitazionale fa da forza centripeta:

La massa del satellite si semplifica di nuovo: la velocità dipende solo dall’astro e dalla distanza. Più è lontano, più è lento.

Esercizio 6. Velocità e periodo della Stazione Spaziale a 400 km di quota ($r=6,77\cdot 10^6$ m).

Il periodo è la lunghezza dell’orbita diviso la velocità:

Circa 16 giri al giorno. Trasformare i secondi in minuti è il passaggio in cui vedo cadere più studenti: dividi per 60 e controlla che il risultato abbia senso.

Dalla terza legge alla distanza della Luna

Mettendo insieme le due formule e sostituendo $v$ nel periodo si ottiene la terza legge con la sua costante:

Esercizio 7. La Luna fa un giro attorno alla Terra in circa 27,3 giorni. A che distanza sta?

Prima i secondi: $T=27,3\cdot 86400\approx 2,36\cdot 10^6$ s. Poi si isola $r^3$:

La distanza media reale è circa 384 000 km: dal solo periodo e dalla massa della Terra siamo arrivati alla distanza della Luna.

Gli errori che vedo di più

• Distanza dalla superficie al posto di distanza dal centro. Se un esercizio dice “a 400 km di quota”, in $r$ ci va $R+400$ km.
• Dimenticare di elevare al quadrato. Raddoppi la distanza, la forza si divide per quattro.
• Unità. I chilometri vanno in metri prima di sostituire in $G$: $6,77\cdot 10^6$ m, non 6770.
• Confondere massa e peso. La massa non cambia in quota, il peso sì.

Se ti serve ripassare le grandezze alla base, il post sul lavoro e l’energia e quello sulla quantità di moto e gli urti coprono il programma che precede la gravitazione. Se i grafici ti danno problemi, parti dai grafici del moto in quarta, e per un quadro generale degli sbagli frequenti guarda gli errori tipici di fisica al liceo. Per chi vuole andare oltre, con le orbite di trasferimento a livello universitario, c’è meccanica orbitale: Keplero, Hohmann e delta-v. Il quadro della materia è nella pagina fisica.

Prima del compito

Rifai gli esercizi qui sopra senza guardare le soluzioni, poi prova la simulazione gratuita di verifica di fisica: la risposta corretta si vede subito, e capisci dove stai perdendo i punti. Se vuoi lavorarci con me, la prima chiacchierata è gratuita, e se serve si parte con una lezione di prova: scrivimi dai contatti.