Punti notevoli di un triangolo: baricentro, ortocentro, incentro, circocentro

Al ginnasio e in prima superiore la geometria euclidea occupa novembre e dicembre: si parte dai triangoli e dai criteri di congruenza, e poco dopo il libro apre il capitolo sui punti notevoli. La verifica cade di solito tra dicembre e gennaio, cioè tra cinque e otto settimane da oggi. Il compito tipico unisce una parte di domande («dove cade l’ortocentro in un triangolo ottusangolo?») e una dimostrazione, ed è lì che ricevo la frase che conosco a memoria: «non so da dove partire».

Se in classe stanno ancora finendo i triangoli, hai tempo di portarti avanti di un passo. Qui ti spiego i quattro punti, dove cadono, e come si imposta una dimostrazione che li riguarda, con due dimostrazioni e un esercizio numerico svolti per intero. Il prerequisito sono i criteri di congruenza: se non li hai ancora in mano, parti da criteri di congruenza dei triangoli, che qui non rifaccio.

Quattro rette, quattro punti

In un triangolo ci sono quattro famiglie di rette speciali. Ognuna ne contiene tre (una per vertice o per lato) e le tre si incontrano sempre in un punto. Quel punto ha un nome.

Un modo per non confondere i nomi: orto vuol dire perpendicolare, quindi ortocentro e altezze; in è dentro, e il centro della circonferenza inscritta è l’incentro; circo richiama la circonferenza circoscritta, che passa per i tre vertici, e il suo centro è il circocentro. Il baricentro è «il punto di equilibrio» ed è quello delle mediane.

Baricentro: il rapporto 2:1

Il baricentro divide ogni mediana in due parti, e la parte che va dal vertice è il doppio di quella che va al punto medio del lato:

dove $M$ è il punto medio di $BC$. Equivale a dire che $G$ sta a $\frac{2}{3}$ della mediana a partire dal vertice. In prima di solito il rapporto si enuncia e si applica: la dimostrazione completa arriva più avanti, con la similitudine. Il baricentro è sempre dentro il triangolo.

Incentro: la circonferenza inscritta

L’incentro è equidistante dai tre lati: la distanza dal punto a un lato è la lunghezza del segmento perpendicolare. Per questo $I$ è il centro di una circonferenza che sta dentro il triangolo e tocca tutti e tre i lati, la circonferenza inscritta. L’incentro è sempre interno.

Circocentro: la circonferenza circoscritta

Il circocentro è equidistante dai tre vertici: $OA\cong OB\cong OC$. È il centro della circonferenza che passa per $A$, $B$, $C$, la circoscritta.

La dimostrazione è breve e la puoi tenere a mente. Il punto $O$ dell’asse di $AB$ è equidistante da $A$ e da $B$ (teorema sui punti dell’asse), quindi $OA\cong OB$. Lo stesso per l’asse di $BC$, quindi $OB\cong OC$. Per la proprietà transitiva $OA\cong OC$, e allora $O$, equidistante dagli estremi di $AC$, sta anche sull’asse di $AC$ (teorema inverso). Quindi tre assi, un solo punto.

Ortocentro: l’unico che può uscire

Le altezze si incontrano in un punto, che può cadere fuori dal triangolo. Dipende dal tipo di triangolo:

Baricentro e incentro sono sempre interni. Una domanda classica da verifica: «dove cade il circocentro di un triangolo rettangolo?». Risposta: nel punto medio dell’ipotenusa, quindi l’ipotenusa è un diametro della circoscritta.

Il triangolo isoscele: quando i punti si allineano

In un triangolo isoscele di vertice $A$ e base $BC$, la mediana, l’altezza e la bisettrice che partono da $A$ coincidono (e coincide anche l’asse di $BC$). Quindi tutti e quattro i punti notevoli stanno su quella stessa retta. Attenzione però: coincidono solo le linee che partono dal vertice $A$. La mediana che parte da $B$ non è l’altezza di $B$.

Nel triangolo equilatero succede di più: ogni vertice ha la stessa coincidenza, quindi i quattro punti diventano uno solo, e la circonferenza inscritta e la circoscritta hanno lo stesso centro.

Come si imposta una dimostrazione su questi punti

Lo schema generale (ipotesi, tesi, criterio) è nel post sui criteri di congruenza. Qui aggiungo l’unico trucco specifico di questo capitolo: traduci le parole in uguaglianze. Il testo dice «mediana», «altezza», «bisettrice», «asse», e ognuna di queste parole nasconde un’informazione che devi scrivere in simboli:

1. Mediana da $A$ a $M$: $BM\cong MC$.
2. Altezza da $A$ a $H$ su $BC$: l’angolo $\angle AHB$ è retto, e anche $\angle AHC$.
3. Bisettrice dell’angolo $\hat{A}$: i due angoli in cui si divide sono congruenti.
4. Asse di $BC$: perpendicolare a $BC$ e passante per il punto medio.

Poi: disegna la figura generica (un triangolo scaleno, non uno isoscele se il testo non lo dice, altrimenti «vedi» proprietà che non puoi usare), scrivi ipotesi e tesi, cerca i triangoli congruenti che contengono i segmenti o gli angoli della tesi, e scrivi i passi con la giustificazione accanto a ciascuno.

Dimostrazione 1: la mediana alla base è anche bisettrice e altezza

La figura: un triangolo $ABC$ con il vertice $A$ in alto e la base $BC$ in basso; $M$ è il punto medio della base e $AM$ è il segmento che li unisce.

Ipotesi: $AB\cong AC$ (triangolo isoscele di vertice $A$); $M$ punto medio di $BC$.

Tesi: $AM$ è bisettrice di $\hat{A}$ e $AM\perp BC$.

Qui sono partito dalla mediana invece che dalla bisettrice, e per questo il criterio giusto è il terzo, LLL, non il primo. Non esiste un solo percorso: in un compito conviene scegliere il criterio che si adatta ai dati che l’ipotesi ti regala, non quello che hai imparato per primo.

Questa dimostrazione ha una conseguenza che serve nel capitolo. Poiché $AM$ è perpendicolare a $BC$ e passa per il punto medio $M$, è anche l’asse di $BC$: ecco perché, nel triangolo isoscele, $G$, $H$, $I$ e $O$ stanno tutti su $AM$.

Se vuoi verificare di aver capito con domande a risposta chiusa su tutto il blocco di geometria, la verifica simulata di geometria euclidea di prima superiore è fatta per questo: la risposta corretta di ogni quesito è gratis, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Dimostrazione 2: l’incentro è equidistante dai tre lati

La figura: un triangolo $ABC$; le bisettrici degli angoli $\hat{A}$ e $\hat{B}$ si incontrano in un punto interno $I$ (il libro lo dà per acquisito). Dal punto $I$ tracci le perpendicolari ai tre lati: $IH\perp AB$, $IK\perp AC$, $IL\perp BC$, con $H$, $K$, $L$ sui lati.

Ipotesi: $AI$ bisettrice di $\hat{A}$, $BI$ bisettrice di $\hat{B}$; $IH\perp AB$, $IK\perp AC$, $IL\perp BC$.

Tesi: $IH\cong IK\cong IL$.

Parte 1: $IH\cong IK$. Considera i triangoli $AHI$ e $AKI$.

Parte 2: $IH\cong IL$. Stessa dimostrazione con i triangoli $BHI$ e $BLI$ e la bisettrice di $\hat{B}$: $\angle HBI\cong \angle LBI$ per ipotesi, gli angoli in $H$ e in $L$ sono retti, $BI$ è in comune, i terzi angoli sono congruenti come sopra, quindi $△BHI\cong △BLI$ per ALA e $IH\cong IL$.

Parte 3. Da $IH\cong IK$ e $IH\cong IL$ per la proprietà transitiva $IK\cong IL$. Quindi $IH\cong IK\cong IL$, e $I$ è equidistante dai tre lati. La tesi è dimostrata.

C’è un seguito che spiega perché le tre bisettrici si incontrano in un punto: $I$ è interno ad $\hat{C}$ ed equidistante dai suoi lati ($IK\cong IL$), e per il teorema inverso sui punti equidistanti dai lati di un angolo, $I$ sta sulla bisettrice di $\hat{C}$. Il punto equidistante dai tre lati è proprio il centro della circonferenza inscritta, di raggio $IH$.

Un dettaglio che fa perdere punti: le perpendicolari sono una costruzione e vanno dichiarate («si traccia $IH\perp AB$»), non date per scontate.

Esercizio numerico: il baricentro

Nel triangolo $ABC$ le mediane $AM$ e $BN$ si incontrano nel baricentro $G$. Sai che $AG=14\text{cm}$ e $BN=27\text{cm}$. Trova $GM$, $AM$, $BG$ e $GN$.

Passo 1. Il baricentro divide $AM$ in modo che $AG=2\cdot GM$, quindi:

Passo 2. La mediana intera è la somma delle due parti:

Passo 3. Lo stesso rapporto vale su $BN$: $BG$ è i $\frac{2}{3}$ della mediana e $GN$ è il $\frac{1}{3}$:

Controllo. $BG+GN=18+9=27$, che è la lunghezza di $BN$. E $BG=2\cdot GN$ ($18=2\cdot 9$), come richiede il rapporto $2:1$.

L’errore tipico è il rapporto girato: dire che $GM$ è il doppio di $AG$, cioè mettere il $2$ dalla parte sbagliata. Regola rapida: la parte lunga è quella che parte dal vertice, la parte corta è quella verso il lato. Il controllo è sempre che la parte corta sia minore della lunga.

Gli errori che costano più punti

1. Confondere altezza e mediana. L’altezza è perpendicolare al lato, la mediana arriva al punto medio. Coincidono solo nel triangolo isoscele (dal vertice).
2. Disegnare un caso speciale. Se il testo dice «un triangolo qualsiasi» e tu disegni un isoscele, vedi uguaglianze che non puoi usare.
3. Dire che l’ortocentro è sempre dentro. Nel triangolo ottusangolo cade fuori.
4. Scrivere un passo senza giustificazione. «Per ipotesi», «per definizione di mediana», «per il criterio LLL» non sono formule di cortesia: sono metà del voto.

Se invece il tuo problema è la parte sugli angoli e le parallele, è in rette parallele e angoli, e la panoramica del programma dell’anno è nel formulario di prima superiore. Il primo compito dell’anno, quello con numeri e frazioni, è in la prima verifica di matematica in prima superiore.

Come usare le prossime settimane

Per ogni dimostrazione nuova, prima di guardare la soluzione, scrivi da solo ipotesi e tesi in simboli e traduci le parole del testo (mediana, altezza, asse) in uguaglianze. Poi cerca due triangoli che contengano i segmenti della tesi. Se non li vedi, di solito manca un segmento da tracciare.

Per allenarti sull’intero blocco, la verifica di geometria euclidea di prima ti dice dove sono i punti deboli. Se le dimostrazioni restano il tuo problema, la diagnosi gratuita è su /contatti/: mi mandi due o tre dimostrazioni del quaderno e vediamo dove si perde il filo. Le lezioni di matematica sono online e uno-a-uno.