Proiezioni ortogonali: il metodo di Monge passo passo

Come si fanno le proiezioni ortogonali con il metodo di Monge, e come si fa il ribaltamento dei piani senza sbagliare verso? Nel biennio del liceo artistico (e allo stesso modo in TTRG nei tecnici tecnologici e in disegno e storia dell’arte nello scientifico) il disegno geometrico porta alle proiezioni ortogonali di punti, rette, piani e solidi, anche sezionati. Il mese esatto cambia da scuola a scuola: di solito arrivano dopo le costruzioni geometriche di base, fra autunno e inverno, e la tavola da consegnare cade fra qualche settimana. Scrivo ora perché il metodo si impara in un pomeriggio e poi serve solo allenamento: arrivarci già pronti vuol dire non rincorrere la consegna.

Due cose da sapere prima di cominciare. Il ribaltamento dei piani è la causa più comune di errore. E nelle tavole a matita o a china la consegna in ritardo è la causa numero uno di voto basso, più di un tratto storto. Il resto è procedura, e la procedura sta in questa pagina.

Perché si proiettano i solidi

Un solido è tridimensionale, il foglio no. Per rappresentarlo senza deformarlo, Monge propone di descriverlo con due disegni piatti che, messi insieme, individuano ogni punto senza ambiguità. Si usano due piani perpendicolari:

• il piano verticale (PV), come una parete davanti a te;
• il piano orizzontale (PO), come il pavimento, che incontra il PV lungo la linea di terra (LT).

L’oggetto si immagina davanti al PV e sopra il PO, nella regione che i libri chiamano primo diedro. Da ogni suo punto si mandano rette perpendicolari ai piani (da qui “ortogonali”): dove incontrano il PV e il PO nascono le proiezioni.

Il punto: quota, sporgenza, ribaltamento

Per un punto $A$ servono due misure:

• la quota: la distanza dal PO, cioè l’altezza da terra;
• la sporgenza: la distanza dal PV, cioè quanto è davanti alla parete.

La proiezione verticale $A^{\prime \prime }$ sta sul PV e dista dalla LT esattamente la quota. La proiezione orizzontale $A^{\prime }$ sta sul PO e dista dalla LT esattamente la sporgenza. La scrittura è questa: $A$ per il punto nello spazio, $A^{\prime }$ per quello orizzontale, $A^{\prime \prime }$ per quello verticale, e $A^{\prime \prime \prime }$ per la proiezione sul piano di profilo. Alcuni libri usano $A_1$ e $A_2$: segui la notazione del tuo.

Sul foglio i due piani non si vedono entrambi, quindi si ribalta il PO sul PV: la parte anteriore del PO, quella davanti alla parete, si abbassa ruotando attorno alla LT di 90° fino a stendersi sul PV, sotto la LT. Qualche libro descrive il ribaltamento al contrario (è il PV a ruotare sul PO): controlla come lo racconta il tuo, ma la disposizione finale sul foglio è la stessa, verticale sopra la LT e orizzontale sotto.

Dopo il ribaltamento, $A^{\prime }$ e $A^{\prime \prime }$ stanno sulla stessa retta perpendicolare alla LT, la linea di richiamo. Quel segmento che le unisce è lungo quota più sporgenza.

Le tre viste

Oltre al PV e al PO si usa spesso un terzo piano, il piano di profilo, perpendicolare a entrambi, che dà la vista laterale. I tre disegni hanno nomi che conosci già dal disegno tecnico:

Le viste si allineano: pianta e prospetto condividono la larghezza (si incolonnano con le linee di richiamo verticali), prospetto e vista laterale condividono l’altezza (si allineano con linee orizzontali). La profondità della pianta si riporta nella vista laterale con il compasso o con una linea a 45°. Una regola utile: la quota si legge nel prospetto, la sporgenza nella pianta.

Il segmento

Un segmento $AB$ si proietta proiettando i due estremi e unendo le proiezioni. Quello che cambia, a seconda della posizione, è quanto sono fedeli:

La regola dietro la tabella: un segmento parallelo a un piano si proietta su quel piano in vera grandezza; uno perpendicolare a un piano si riduce a un punto.

Figure piane e solidi

Una figura piana si proietta punto per punto, vertice dopo vertice. Un quadrato appoggiato sul PO si vede in vera forma nella pianta e come segmento sulla LT nel prospetto. Se è parallelo al PV, accade il contrario.

Per un solido si parte sempre dalla base. Per un prisma o una piramide appoggiati sul PO si disegna la base nella pianta e si porta l’altezza nel prospetto. Il cilindro dà un rettangolo nel prospetto e un cerchio nella pianta, il cono un triangolo e un cerchio. Nella piramide il vertice sta sulla verticale sopra il centro della base: nella pianta cade al centro, nel prospetto alla quota dell’altezza.

Contano anche le convenzioni di tratto: le parti visibili hanno linea continua marcata, le parti nascoste sono tratteggiate, le linee di richiamo e di costruzione sono sottili. Un lato nascosto che coincide con uno visibile resta continuo.

Il metodo in sei passi

1. Traccia la LT orizzontale, a metà foglio, e scegli un punto $O$ da cui misurare le ascisse. Lascia spazio sopra e sotto.
2. Per ogni punto, annota ascissa (lungo la LT), sporgenza e quota.
3. Disegna prima la pianta del solido (base) sotto la LT, usando le sporgenze.
4. Dai vertici della pianta traccia verso l’alto le linee di richiamo, perpendicolari alla LT, fino alla zona del prospetto.
5. Nel prospetto, riporta le quote sopra la LT misurando da essa, e unisci i punti.
6. Ripassa a matita (o china): continuo per i contorni visibili, tratteggio per gli spigoli nascosti, richiami sottili. Poi controlla.

Gli errori tipici

• Ribaltare nel verso sbagliato. Se la proiezione orizzontale ti finisce sopra la LT, in mezzo al prospetto, hai ribaltato al contrario: la pianta va sotto.
• Scambiare quota e sporgenza. Il prospetto si misura con le quote, la pianta con le sporgenze. Se un punto a 3 cm da terra viene disegnato a 3 cm sotto la LT, le due misure sono scambiate.
• Linee di richiamo non perpendicolari alla LT. Basta uno scarto di un grado per spostare i punti: usa la squadra appoggiata alla riga e controlla.
• Dimenticare il tratteggio. Gli spigoli nascosti non si omettono e non si disegnano continui: vanno tratteggiati.
• Consegnare dopo la scadenza o tracciare tutto in china prima di verificare a matita. Prima si controlla, poi si ripassa.

Esercizio 1: un punto

Un punto $A$ è a 5 cm dall’origine lungo la LT, ha quota 3 cm e sporgenza 4 cm. Dove cadono le sue proiezioni dopo il ribaltamento?

Traccio la LT e il punto $O$. A 5 cm da $O$ lungo la LT disegno la linea di richiamo, perpendicolare alla LT. La quota è 3 cm, quindi $A^{\prime \prime }$ sta sopra la LT, a 3 cm da essa. La sporgenza è 4 cm, quindi $A^{\prime }$ sta sotto la LT, a 4 cm da essa.

La distanza $A^{\prime }{A}^{\prime \prime }$ è $3+4=7$ cm. È anche un controllo: se misurando ottieni un’altra cifra, hai sbagliato una delle due misure o il verso.

Per il disegno non esiste un simulatore: su questo argomento non c’è ancora un test interattivo. Per allenare la geometria con le domande a scelta puoi guardare le simulazioni per il liceo, e per i teoremi e le costruzioni che sostengono il disegno servono le basi di matematica: la geometria è parente stretta, e le rette parallele e gli angoli servono ogni volta che controlli una perpendicolare.

Esercizio 2: un segmento parallelo al PO

Un segmento $AB$ ha gli estremi $A$ ($x=2$, sporgenza 1, quota 3) e $B$ ($x=6$, sporgenza 4, quota 3), con $x$ misurata in cm lungo la LT da $O$. Disegna le proiezioni e di’ quale è in vera grandezza.

Le due quote sono uguali, quindi $AB$ è parallelo al PO. Nel prospetto, $A^{\prime \prime }$ è nel punto di ascissa 2 e quota 3, $B^{\prime \prime }$ in quello di ascissa 6 e quota 3: il segmento $A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }$ è orizzontale, parallelo alla LT, e misura 4 cm. Nella pianta, $A^{\prime }$ sta a 1 cm sotto la LT sulla verticale di ascissa 2, $B^{\prime }$ a 4 cm sotto la LT sulla verticale di ascissa 6.

La lunghezza di $A^{\prime }{B}^{\prime }$ si trova con le differenze delle due coordinate: 4 cm lungo la LT e $4-1=3$ cm in sporgenza. Per Pitagora:

La proiezione orizzontale è dunque in vera grandezza (5 cm), mentre la verticale è accorciata (4 cm). Il segmento è parallelo al PO, quindi è sul PO che si vede com’è realmente: coincide con la riga corrispondente della tabella.

Esercizio 3: un prisma appoggiato sul PO

Un prisma retto a base quadrata ha lato 4 cm e altezza 6 cm, appoggiato sul PO. Quali viste servono e quali linee sono tratteggiate?

Caso a) lati della base paralleli e perpendicolari alla LT. La pianta è un quadrato 4 cm × 4 cm in vera forma. Il prospetto è un rettangolo 4 cm × 6 cm con la base sulla LT. La vista laterale è lo stesso rettangolo. Gli spigoli nascosti (quelli dietro) cadono esattamente sopra quelli visibili, quindi non c’è alcun tratteggio: il tratteggio serve solo quando uno spigolo nascosto non coincide con uno visibile.

Caso b) base ruotata di 30° rispetto alla LT. Qui il tratteggio compare. Fisso il vertice $P_1$ a ascissa 2 cm e sporgenza 1 cm; gli altri vertici si trovano ruotando di 30° i lati di 4 cm. Con $\cos 30^{\circ }\approx 0,866$ e $\sin 30^{\circ }=0,5$ si ottiene:

Verifica: $P_1{P}_2$ è lungo $\sqrt{3,46^2+2^2}=\sqrt{11,97+4}\approx 4$ cm, come deve essere.

• Pianta: il quadrato inclinato, in vera forma, con i vertici sotto la LT alle sporgenze della tabella. Niente tratteggio: la faccia superiore copre tutto il resto, e gli spigoli verticali sono punti.
• Prospetto: un rettangolo largo $5,46$ cm (da $P_4$ a $P_2$) e alto 6 cm, con la base sulla LT. Dentro, due verticali alle ascisse 2,00 e 3,46. Quella di $P_3$ (3,46) è il vertice più vicino a chi guarda, quindi continua; quella di $P_1$ (2,00) è il vertice più lontano, dietro le facce anteriori, quindi tratteggiata.
• Vista laterale (da sinistra): un rettangolo alto 6 cm, largo $6,46-1,00=5,46$ cm, con le verticali interne alle distanze 3,00 e 4,46 cm dall’asse del piano di profilo (sporgenze dei vertici). Da sinistra si vede $P_4$ ($4,46$, continua) mentre $P_2$ ($3,00$) è dall’altra parte del solido: tratteggiata.

Un solo tratteggio nel prospetto e uno nella vista laterale, nessuno nella pianta. Se ne disegni di più, qualche spigolo l’hai assegnato al lato sbagliato; se non ne disegni, hai trattato il solido come nel caso a).

Prima della consegna

Fai una tavola di prova su un foglio da brutta con un punto, un segmento e un prisma, usando le misure di questo articolo: così hai un risultato noto per ogni passaggio e vedi subito dove sbagli. Poi, sulla tavola vera, controlla le quattro cose che contano: LT unica e orizzontale, richiami perpendicolari, quota e sporgenza non scambiate, tratteggio dove serve.

Se la tua scuola ti dà la tavola con una scadenza vicina e vuoi un parere sul ribaltamento o sul tratteggio, la diagnosi gratuita è su contatti. Per le costruzioni di base (parallele, perpendicolari, angoli) puoi ripassare anche i criteri di congruenza dei triangoli, e per le prove a scelta in stile liceo ci sono le simulazioni per il liceo.