Corrente alternata e circuiti RLC: reattanza, impedenza e trasformatore

Al liceo scientifico il capitolo sull’induzione elettromagnetica si chiude con la corrente alternata: alternatore, trasformatore, circuiti RL, LC e RLC. In classe si spiega da settembre a metà novembre circa, e la verifica cade tipicamente fra fine novembre e metà dicembre. Se l’induzione l’hai appena finita, adesso è il momento di portarti avanti di un passo: i circuiti in alternata sono la parte dove il professore mette i numeri, e i numeri si allenano.

Una cosa onesta sul simulatore: la verifica simulata sull’induzione elettromagnetica copre flusso, Faraday-Neumann-Lenz e il resto dell’induzione. L’alternata è la coda dello stesso capitolo, e su RLC e impedenza non c’è ancora una verifica dedicata. Quello che trovi qui sotto serve a colmare questa parte.

Do per scontati flusso, legge di Lenz e f.e.m. indotta: se non ti sono chiari, parti dal post sull’induzione elettromagnetica, poi torna qui. Per il quadro dell’intero elettromagnetismo c’è la mappa per la maturità.

Valore efficace: la tensione che leggi sul voltmetro

Un alternatore produce una tensione sinusoidale:

$V_0$ è il valore massimo. Ma una tensione che passa metà del tempo negativa non dà una potenza media nulla: in un resistore la potenza è $v^2/R$, sempre positiva. Il valore medio di ${\sin }^2$ è $1/2$, quindi la potenza media è $V_0^2/(2R)$. Il valore efficace è definito come quello della tensione continua che dissiperebbe la stessa potenza:

Numeri della rete italiana: $230$ V efficaci a $50$ Hz. Il valore massimo è $V_0=230\sqrt{2}\approx 325$ V e la pulsazione è $\omega =2\pi \cdot 50=100\pi \approx 314$ rad/s. Errore classico: usare $V_0$ dove serve $V_{\text{eff}}$. Voltmetri e amperometri in alternata segnano sempre valori efficaci, e le formule di impedenza e potenza che vedremo vanno scritte con questi, salvo diversa indicazione del testo.

I tre componenti: resistenza, reattanza induttiva, reattanza capacitiva

Ogni componente “frena” la corrente alternata a modo suo, e lo fa con un ritardo o un anticipo diverso rispetto alla tensione.

Le reattanze si misurano in ohm, ma attenzione: dipendono dalla frequenza. $X_L$ cresce con $f$ (l’induttore si oppone di più alle variazioni rapide, per la legge di Lenz), $X_C$ cala (a frequenza alta il condensatore non fa in tempo a caricarsi e lascia passare la corrente). In continua, $\omega =0$: l’induttore è un filo e il condensatore un interruttore aperto.

Il ritardo dell’induttore è Lenz applicato alla corrente: la f.e.m. autoindotta $-L\frac{di}{dt}$ si oppone alla variazione, quindi la corrente non riesce a seguire la tensione. Nel condensatore la corrente è $i=C\frac{dv}{dt}$: è massima quando la tensione passa per zero, cioè prima del massimo di tensione.

Il circuito RLC in serie: impedenza e sfasamento

Resistore, induttore e condensatore in serie, alimentati da $v(t)$. La corrente è la stessa dappertutto, le tensioni sui componenti non si sommano in modulo, perché sono sfasate. Il risultato, che conviene sapere a memoria, è l’impedenza:

$\phi$ è lo sfasamento della tensione rispetto alla corrente: positivo se prevale l’induttore ($X_L>X_C$, circuito “induttivo”, corrente in ritardo), negativo se prevale il condensatore (corrente in anticipo). Il fatto che $X_L$ e $X_C$ si sottraggono è la chiave: i due effetti si compensano, e a volte quasi si annullano.

Risonanza

Se $X_L=X_C$ la parentesi si annulla: $Z=R$, $\phi =0$, e la corrente è massima. Imponendo $\omega L=\frac{1}{\omega C}$:

È il principio della sintonia di una radio: si cambia $C$ finché $f_0$ coincide con la frequenza della stazione. Domanda tipica di teoria: “cosa succede a $Z$ e a $\phi$ in risonanza?”. Risposta in una riga: $Z$ è minima e uguale a $R$, $\phi =0$, corrente massima.

Potenza e fattore di potenza

Solo la resistenza dissipa energia: induttore e condensatore la immagazzinano e la restituiscono. La potenza media assorbita dal circuito è

$\cos \phi$ è il fattore di potenza: vale $1$ per un circuito puramente resistivo, meno di $1$ quando c’è sfasamento. Le due espressioni di $P$ devono dare lo stesso numero, e in un esercizio è un controllo gratuito: se non coincidono, hai sbagliato $Z$ o $\phi$. Per la potenza dissipata in un resistore, il richiamo è nel post su corrente, resistività ed effetto Joule; per la capacità e l’energia del condensatore c’è quello su potenziale e condensatori.

Trasformatore ideale e potenza

Del trasformatore ho già scritto le formule nel post sull’induzione, e non le ripeto tutte. Qui serve solo il pezzo che nelle verifiche di alternata si mescola agli esercizi sulle linee elettriche: in un trasformatore ideale non si perde potenza, quindi

Se la tensione sale di un fattore $k$, la corrente scende dello stesso fattore. È il motivo per cui l’energia elettrica viaggia in alta tensione: nei cavi la potenza dissipata per effetto Joule vale $R_{\text{linea}}{i}^2$, e dividendo la corrente per $k$ le perdite si dividono per $k^2$. Il secondo esercizio mostra i numeri.

Esercizio 1: RLC in serie

Un circuito RLC in serie ha $R=60\Omega$, $L=0,30$ H, $C=25\mu$F ed è collegato alla rete a $230$ V efficaci, $50$ Hz. Trova impedenza, corrente efficace, sfasamento e potenza media.

1. Pulsazione. $\omega =2\pi \cdot 50\approx 314,2$ rad/s.

2. Reattanze.

(Attenzione ai microfarad: $25\mu \text{F}=25\cdot 10^{-6}$ F. Sbagliare la potenza di dieci qui è l’errore più frequente.)

3. Impedenza. $X_L-X_C=94,2-127,3=-33,1\Omega$, quindi

4. Corrente efficace.

5. Sfasamento.

Il segno negativo dice che prevale il condensatore: la corrente è in anticipo sulla tensione di circa $29^{\circ }$.

6. Potenza media.

Controllo con l’altra formula: $\cos \phi =60/68,5\approx 0,876$, quindi $P=230\cdot 3,36\cdot 0,876\approx 677$ W. Coincidono.

Un’osservazione che stupisce chi la vede la prima volta: la tensione efficace sul condensatore è $i{X}_C=3,36\cdot 127,3\approx 427$ V, più alta dei 230 V della rete. Non è un errore: le tensioni sui componenti sono sfasate e si sommano come vettori, non in modulo. Per questo il circuito ha una tensione totale di $230$ V pur con $427$ V su un componente.

Se vuoi provarti subito su questo capitolo, la verifica simulata sull’induzione include alternatore, trasformatore e valori efficaci; su RLC, come detto, non c’è ancora una prova dedicata.

Un seguito tipico dello stesso testo: “a quale frequenza il circuito va in risonanza?”. Con gli stessi $L$ e $C$:

Vicina ai $50$ Hz della rete, ed è per questo che a $50$ Hz le due reattanze sono vicine fra loro. In risonanza la corrente salirebbe a $230/60\approx 3,83$ A.

Esercizio 2: trasformatore e perdite in linea

Una centrale fornisce $P=20$ kW alla tensione $V_1=230$ V. Il carico è puramente resistivo ($\cos \phi =1$). I cavi di trasporto hanno resistenza totale $R_l=0,5\Omega$. Confronta la potenza dissipata nella linea trasmettendo a $230$ V e dopo un trasformatore ideale con $N_2/N_1=20$. Trascura la caduta di tensione nei cavi.

Senza trasformatore. La corrente in linea è

e la potenza persa per effetto Joule:

cioè circa il $19\%$ della potenza prodotta.

Con il trasformatore. La tensione sale a

e, dato che $V_1{i}_1=V_2{i}_2$, la corrente in linea scende a

La potenza persa diventa:

meno dello $0,05\%$ della potenza trasmessa. Il rapporto fra le due perdite è $20^2=400$: $3781/9,45=400$, come deve essere.

Alla fine un secondo trasformatore, abbassatore, riporta la tensione a $230$ V per l’utenza. Il testo di una verifica può chiedere anche il numero di spire: con $N_1=100$ spire al primario, $N_2=20\cdot 100=2000$ spire al secondario.

Gli errori che vedo più spesso

1. Usare $V_0$ al posto di $V_{\text{eff}}$ nelle formule di corrente e potenza. Se il testo dà ”$V_0=325$ V” e chiede la potenza, dividi prima per $\sqrt{2}$.

2. Sommare le impedenze come resistenze. $Z\ne R+X_L+X_C$. Il $\sqrt{\cdot }$ con la differenza $X_L-X_C$ è l’unico modo. Controllo veloce: $Z$ non può mai essere minore di $R$.

3. Dimenticare il $2\pi$ in $\omega =2\pi f$, o i prefissi di $\mu \text{F}$, mH, kHz. Conta le potenze di dieci una per una.

4. Scambiare il verso dello sfasamento. Induttore → corrente in ritardo; condensatore → corrente in anticipo. Se hai $X_L>X_C$ e trovi la corrente in anticipo, qualcosa si è ribaltato.

5. Calcolare la potenza con $Z$ al posto di $R$. $P=R{i}^2$, non $Z{i}^2$: l’impedenza comprende le reattanze, che non dissipano.

6. Scordare che il trasformatore lavora solo in alternata. In continua il flusso è costante, nessuna f.e.m. indotta.

Come usare le settimane che mancano

Un ordine che consiglio a chi prepara questa verifica: prima la teoria in una riga per componente (tabella sopra), poi un RLC con numeri tuoi, cambiando ogni volta quale reattanza prevale, infine un esercizio di linea con trasformatore. Per i punti dove la verifica sul capitolo tende a far perdere voti, e cioè il segno di Lenz e la f.e.m. indotta con la derivata, ripassa il post sull’induzione. Il resto si impara facendo girare i conti.

Se vuoi misurarti sulla parte di induzione, la verifica simulata ti dà la risposta corretta di ogni quesito gratis, senza registrazione; la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Se dopo la prova l’alternata ti sembra ancora un blocco unico di formule, ne parliamo: nelle ripetizioni di fisica lavoriamo proprio su questi capitoli, e la diagnosi gratuita è su /contatti/.