Verifica di fisica simulata — 5ª: la fisica quantistica.

Lo spettro misurato di un corpo nero ha la forma di una campana: parte da zero alle grandi lunghezze d'onda, sale fino a un massimo (individuato dalla legge di Wien) e torna a zero verso l'ultravioletto.

Il calcolo classico, che assegna la stessa energia media a ciascun modo di oscillazione della radiazione, dà invece un'intensità che diverge al diminuire di $\lambda$: da qui il nome «catastrofe ultravioletta».

Il disaccordo è dalla parte delle piccole lunghezze d'onda, cioè delle alte frequenze. Verso l'infrarosso, invece, calcolo classico e misure si accordano bene.

Planck risolse il problema nel 1900 con l'ipotesi dei quanti: un oscillatore di frequenza $f$ può scambiare energia solo a pacchetti

$$E=hf$$

Alle alte frequenze il pacchetto $hf$ è grande, l'agitazione termica non riesce a «pagarlo» e quegli oscillatori restano quasi spenti: la curva ricade a zero, come nelle misure.

Lo spettro del corpo nero resta comunque continuo: le righe sono un altro fenomeno, quello degli atomi di un gas rarefatto.

Prima di tutto converto la lunghezza d'onda in metri, perché la costante di Wien è espressa in $\text{m}\cdot \text{K}$:

$${\lambda }_{max}=580\text{nm}=580\times 10^{-9}\text{m}=5,80\times 10^{-7}\text{m}$$

Ricavo la temperatura dalla legge di Wien:

$$T=\frac{2,9\times 10^{-3}}{{\lambda }_{max}}=\frac{2,9\times 10^{-3}}{5,80\times 10^{-7}}=5,0\times 10^3\text{K}$$

L'ordine di grandezza è ragionevole: il Sole ha il massimo intorno a $500\text{nm}$ e una temperatura superficiale di circa $5800\text{K}$, quindi una stella con il massimo un po' più spostato verso il rosso sta poco sotto.

Il valore $5,0\times 10^{-6}\text{K}$ è quello che si ottiene inserendo $580$ al posto di $5,80\times 10^{-7}$, cioè dimenticando la conversione da nanometri a metri: si sbaglia di un fattore $10^9$.

Gli altri due nascono dal moltiplicare invece di dividere ($1,7\times 10^{-9}\text{K}$) e dall'invertire il rapporto ($2,0\times 10^{-4}\text{K}$).