Serie numeriche: criteri di convergenza ed esercizi

Dopo successioni e limiti, in molti corsi di Analisi Matematica 1 arrivano le serie numeriche: tra ottobre e novembre, e nello scritto della sessione invernale (fra otto e quattordici settimane) un esercizio sulla convergenza di una serie c’è quasi sempre. In molti atenei c’è anche una prova parziale a metà dicembre, cioè fra nove-dieci settimane. I calendari variano da corso a corso, e quello che vale è il tuo programma; ma il momento di fare pratica è adesso, mentre si studia il capitolo, non a ridosso dello scritto.

Il motivo è che le serie sono un argomento di scelta. I criteri sono sei o sette, e ogni esercizio chiede di decidere quale usare. Chi li ha imparati come elenco di enunciati prova a caso e perde tempo; chi ha uno schema di decisione ci mette due minuti. In questo post c’è lo schema e quattro esercizi svolti.

Cosa vuol dire che una serie converge

Data una successione $a_n$, la serie $\sum a_n$ converge se converge la successione delle somme parziali $S_N=a_1+a_2+\cdots +a_N$. Il valore del limite $\lim S_N$ è la somma della serie. Se il limite è $\pm \infty$ la serie diverge, se non esiste è indeterminata.

La prima cosa da ricordare è che per le serie a termini positivi non esiste via di mezzo: o converge o diverge a $+\infty$. Per questo i criteri di confronto funzionano così bene su quelle.

Le serie di riferimento

Quasi tutti gli esercizi si risolvono riconducendo la serie a una di queste due.

Serie geometrica. Per $|q|<1$

e diverge (o è indeterminata) per $|q|\ge 1$.

Serie armonica generalizzata.

converge se e solo se $p>1$. Quindi $\sum 1/n$ diverge ($p=1$), $\sum 1/\sqrt{n}$ diverge ($p=1/2$), $\sum 1/n^2$ converge. Il legame con gli integrali impropri è lo stesso: ${\int }_1^{\infty }{x}^{-p}dx$ converge proprio per $p>1$, e questo non è un caso (ne parlo in integrali spiegati bene).

Un esempio minimo per fissare l’idea: con $q=1/3$ la serie geometrica ${\sum }_{n=0}^{\infty }(1/3{)}^n$ ha somma $\frac{1}{1-1/3}=\frac{3}{2}$. Le somme parziali sono $1,1,33,1,44,1,48,\dots$ e si avvicinano a $1,5$ senza superarlo. Attenzione a dove parte l’indice: se la serie comincia da $n=1$ invece che da $n=0$ la somma cambia di un termine, e all’esame è un punto perso per distrazione.

I criteri, uno per uno

Condizione necessaria. Se $\sum a_n$ converge, allora $a_n\to 0$. Letta al contrario è utile: se $a_n$ non tende a zero, la serie non converge e hai finito. Ma non vale l’inverso: nella serie armonica $a_n=1/n\to 0$ eppure la serie diverge. L’errore di concludere “converge perché il termine va a zero” è il più frequente in assoluto.

Confronto. Se $0\le a_n\le b_n$ e $\sum b_n$ converge, converge anche $\sum a_n$. Se $\sum a_n$ diverge, diverge anche $\sum b_n$.

Confronto asintotico. Se $a_n,b_n>0$ e $a_n/b_n\to \ell$ con $0<\ell <\infty$, le due serie hanno lo stesso comportamento. Si usa quando $a_n$ è una frazione complicata che “assomiglia” a una potenza di $n$: si tengono i termini dominanti.

Rapporto. Se $a_n>0$ e $a_{n+1}/a_n\to \ell$: con $\ell <1$ la serie converge, con $\ell >1$ diverge, con $\ell =1$ il criterio non decide. Ideale con fattoriali ed esponenziali.

Radice. Se $\sqrt[n]{a_n}\to \ell$: stesse conclusioni del rapporto, con $\ell =1$ ancora inconcludente. Ideale quando il termine è una potenza $n$-esima.

Leibniz. Per una serie a segni alterni $\sum (-1{)}^n{b}_n$ con $b_n\ge 0$: se $b_n$ è decrescente e $b_n\to 0$, la serie converge.

Convergenza assoluta. Se converge $\sum |a_n|$, converge anche $\sum a_n$. Si usa per serie con segno qualsiasi, come quelle con seno e coseno: si maggiora il modulo e si passa al confronto.

Quale criterio uso

Se il rapporto o la radice danno $1$, non insistere: passa al confronto asintotico.

Esercizio 1: criterio del rapporto

Studiare

Con $a_n=n/2^n$ calcolo

Il limite è $1/2<1$: la serie converge. (Si può anche calcolare la somma, che vale 2, ma per decidere la convergenza non serve.) Nota il passaggio: $2^{n+1}$ diviso $2^n$ lascia un 2 al denominatore, ed è lì che si sbaglia di fretta.

Prima di passare ai prossimi esercizi, se vuoi allenare la scelta del criterio su domande nuove, la simulazione di Analisi 1 contiene esercizi dello stesso stile: la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: serie telescopica

Studiare

Si scompone $n^2+n=n(n+1)$ e

Le somme parziali si semplificano a catena:

e $S_N\to 1$. La serie converge e la somma vale 1. Alternativa senza calcolare la somma: $\frac{1}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2}$, e $\sum 1/n^2$ converge ($p=2>1$), quindi per confronto converge anche questa. In un compito scegli il metodo che richiede meno rischi: se ti chiedono “la somma”, la telescopica è obbligata.

Esercizio 3: Leibniz e convergenza assoluta

Studiare, in senso semplice e assoluto,

Convergenza semplice. È a segni alterni con $b_n=1/\sqrt{n}$. La successione $b_n$ è decrescente e tende a zero, quindi per Leibniz la serie converge.

Convergenza assoluta. La serie dei moduli è $\sum 1/\sqrt{n}$, armonica generalizzata con $p=1/2\le 1$: diverge.

Conclusione: la serie converge semplicemente ma non assolutamente. È l’esempio tipico da conoscere perché mostra che le due nozioni sono diverse, ed è una domanda d’orale classica.

Un caso in cui Leibniz non si può applicare: sia $b_n=1/n$ per $n$ pari e $b_n=1/n^2$ per $n$ dispari. Allora $b_n\to 0$ ma $b_n$ non è decrescente. Nella serie $\sum (-1{)}^n{b}_n$ le parti pari valgono ${\sum }_k\frac{1}{2k}$, che diverge, mentre quelle dispari (con segno negativo) $-\sum 1/n^2$ convergono: la serie diverge. Quindi “il termine va a zero e i segni si alternano” non basta: la monotonia è un’ipotesi vera, non una formalità.

Esercizio 4: convergenza assoluta con il seno

Studiare

Il segno cambia in modo irregolare, quindi Leibniz non c’entra. Uso il modulo, con $|\sin n|\le 1$:

La serie $\sum 1/n^2$ converge, quindi per confronto converge $\sum |\sin n|/n^2$, e per il criterio della convergenza assoluta converge anche la serie di partenza: converge assolutamente. La parte che non devi mai trascurare è l’ordine del ragionamento: prima il modulo e il confronto, poi la conclusione sulla serie originale.

Due esempi in più per esercitare la scelta

Radice. $\sum {\left(\frac{n}{2n+1}\right)}^n$: $\sqrt[n]{a_n}=\frac{n}{2n+1}\to \frac{1}{2}<1$, converge.

Confronto asintotico. $\sum \frac{n+1}{n^3+2}$: per $n$ grande il termine si comporta come $n/n^3=1/n^2$, e $\frac{(n+1)/(n^3+2)}{1/n^2}=\frac{n^3+n^2}{n^3+2}\to 1$. Poiché $\sum 1/n^2$ converge, converge anche questa.

Gli errori che vedo di più

1. Concludere “converge” perché $a_n\to 0$. Condizione necessaria, non sufficiente: l’armonica $\sum 1/n$ è il controesempio.
2. Concludere dal rapporto con limite 1. Se $\ell =1$ il criterio tace: $\sum 1/n$ e $\sum 1/n^2$ danno entrambi 1, ma una diverge e l’altra converge.
3. Applicare Leibniz senza controllare la monotonia, come nell’esempio sopra.
4. Usare il confronto con segni sbagliati. Il confronto con una serie convergente maggiorante è valido solo se $0\le a_n\le b_n$; maggiorare una serie divergente non dice niente.
5. Scambiare convergenza semplice e assoluta. La domanda “converge assolutamente?” richiede di studiare i moduli, che sono un’altra serie.

Se i limiti dei rapporti ti rallentano, riguarda limiti spiegati bene e la gerarchia degli infiniti in successioni: limiti e criteri per la prova, perché quasi tutti i criteri si riducono a un limite di successione.

Come lavoro su questo argomento

Con gli studenti di Analisi 1 faccio partire ogni esercizio dallo stesso passaggio: guardare il termine generale e decidere il criterio prima di calcolare, giustificando la scelta a voce. Poi si scrive la conclusione con l’enunciato esatto usato, perché è quello che il docente corregge. Lavoro online con tavoletta grafica e schermo condiviso. Per il quadro generale c’è la pagina matematica. Se vuoi capire dove stai perdendo punti, scrivimi: la diagnosi è gratuita e senza impegno.