Algebra lineare: rango, nucleo, immagine

Il primo semestre è partito da pochi giorni (al Politecnico di Milano le lezioni sono iniziate il 14 settembre 2026), e in mezzo alle prime settimane di Algebra lineare e geometria c’è già una scadenza concreta all’orizzonte: la prova in itinere di fine ottobre, che al Politecnico cade nella finestra 29 ottobre – 2 novembre 2026, cioè fra sei settimane. Dietro, la sessione invernale: negli atenei con calendario anticipato come il Politecnico il primo appello apre già il 7 gennaio 2027 e chiude il 20 febbraio. Ogni ateneo ha il suo calendario, va controllato sul sito del corso — ma il punto non cambia: il tempo per mettere a posto le cose è adesso, non a ridosso della prova.

E la cosa che va messa a posto raramente sono i conti. Riduzione a scala, determinanti, prodotti tra matrici sono meccanici: si allenano ripetendoli, e diventano automatici in poche settimane. Quello su cui vedo cadere gli studenti — all’orale, in un sistema parametrico da discutere, in un esercizio “diverso” da quelli visti a lezione — è il nucleo teorico: cosa è uno spazio vettoriale, cosa dice davvero il rango, dove vivono nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Sono cose che si possono recitare a memoria senza averle capite, e un esaminatore lo scopre in trenta secondi di domande.

Le definizioni che devono essere esatte

All’orale una definizione “a senso” vale zero. Non perché i docenti siano pignoli per sport, ma perché in algebra lineare ogni teorema successivo si appoggia esattamente sulle parole della definizione precedente. Se la definizione è sfumata, tutto quello che costruisci sopra lo è altrettanto.

Uno spazio vettoriale è un insieme $V$ su cui sono definite somma e prodotto per uno scalare, con le proprietà che rendono queste due operazioni “ben educate” (associatività, elemento neutro, distributività…). Nei corsi di ingegneria lavori quasi sempre con $R^{n}$ , con lo spazio delle matrici o con quello dei polinomi: la definizione astratta serve soprattutto a riconoscere un sottospazio.

Un sottoinsieme $W \subseteq V$ è un sottospazio se e solo se verifica tre condizioni, e vanno controllate in quest’ordine:

contiene il vettore nullo ( $0 \in W$ );
è chiuso rispetto alla somma ( $u, v \in W ⟹ u + v \in W$ );
è chiuso rispetto al prodotto per scalare ( $v \in W, λ \in R ⟹ λ v \in W$ ).

Il punto 1 è anche il modo più veloce per escludere che qualcosa sia un sottospazio: se $0$ non lo soddisfa, hai finito in cinque secondi, non serve controllare gli altri due punti.

Indipendenza lineare: i vettori $v_{1}, \dots, v_{k}$ sono linearmente indipendenti se l’unico modo di scrivere

c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + \dots + c_{k} v_{k} = 0

è con tutti i coefficienti nulli ( $c_{1} = c_{2} = \dots = c_{k} = 0$ ). Non “nessuno è multiplo di un altro” (vale solo per due vettori), non “sono in numero giusto”: è esattamente quella condizione sulla combinazione lineare.

Una base di $V$ è un insieme di vettori generatore (ogni vettore di $V$ si scrive come loro combinazione lineare) e linearmente indipendente. La dimensione di $V$ è il numero di vettori in una qualsiasi sua base — e il “qualsiasi” nasconde un teorema non ovvio: tutte le basi di uno stesso spazio hanno lo stesso numero di elementi. È quel teorema che rende la dimensione un numero ben definito, non un’opinione.

Il rango, visto da tre angolazioni

Il rango di una matrice $A$ è il concetto più importante del corso, e tanti studenti lo trattano superficialmente perché sembra “solo” il numero di pivot dopo Gauss. È vero, ma è una fra tre descrizioni equivalenti, e conoscerle tutte e tre è quello che ti permette di rispondere a qualunque domanda te la giri:

Numero di pivot dopo la riduzione a scala — la definizione operativa, quella con cui lo calcoli materialmente.
Massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti — la definizione che spiega perché la riduzione a scala funziona: le operazioni elementari non cambiano lo spazio generato dalle righe, quindi non cambiano quante ne servono per generarlo.
Dimensione dell’immagine di $A$ vista come applicazione lineare $T (x) = A x$ — la definizione che collega il rango a tutto il resto della teoria, teorema della dimensione compreso.

C’è un fatto che, la prima volta che lo vedi, sembra un colpo di fortuna: il rango per righe è sempre uguale al rango per colonne. Non è ovvio a priori — righe e colonne sono oggetti diversi, vivono in spazi diversi se la matrice non è quadrata — eppure il numero massimo di righe indipendenti coincide sempre con quello di colonne indipendenti. È un teorema, non una coincidenza: saperlo enunciare così, e non come una regoletta di calcolo, è uno dei punti in cui un esaminatore capisce se hai capito o se stai solo eseguendo un algoritmo.

Nucleo e immagine: due insiemi che vivono in due posti diversi

Data $T (x) = A x$ con $A$ matrice $m \times n$ , ci sono due sottospazi fondamentali, e l’errore più comune — ne parlo più sotto — è scambiarli.

Il nucleo (o kernel) è l’insieme dei vettori che $T$ manda a zero:

ker T = {x \in R^{n} : A x = 0}

Vive nello spazio di partenza, $R^{n}$ : è letteralmente l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato ad $A$ . Se $dim (ker T) = 0$ il sistema omogeneo ha solo la soluzione banale; se $dim (ker T) > 0$ ne ha infinite, parametrizzate da quella dimensione.

L’immagine è l’insieme dei vettori che $T$ raggiunge:

im T = {A x : x \in R^{n}} \subseteq R^{m}

Vive nello spazio di arrivo, $R^{m}$ , e coincide con lo spazio generato dalle colonne di $A$ . La sua dimensione è, per definizione, il rango di $A$ .

I due sottospazi sono legati dal teorema della dimensione (o teorema del rango-nullità):

dim (ker T) + dim (im T) = dim V

dove $dim V$ è la dimensione dello spazio di partenza, cioè $n$ (il numero di colonne di $A$ ). Non è solo un risultato da citare: è lo strumento di controllo più utile che hai. Ogni volta che calcoli una base del nucleo e una dell’immagine, sommane le dimensioni e verifica che tornino a $n$ — se non tornano, hai sbagliato un conto, ancora prima di riguardarlo.

Rouché-Capelli riletto attraverso il rango

Il teorema di Rouché-Capelli è la traduzione, in termini di rango, della domanda “questo sistema ha soluzione?”. Dato il sistema $A x = b$ , con $A$ matrice dei coefficienti e $A ∣ b$ matrice completa (con la colonna dei termini noti aggiunta):

il sistema è compatibile se e solo se $rk (A) = rk (A ∣ b)$ ;
se è compatibile, ha $\infty^{n - rk (A)}$ soluzioni, dove $n$ è il numero di incognite.

Un sistema compatibile con $rk (A) = n$ ha soluzione unica, uno con $rk (A) < n$ ne ha infinite, e la differenza $n - rk (A)$ è esattamente $dim (ker A)$ — lo stesso numero del teorema della dimensione. Non sono due formule scollegate: è la stessa idea guardata da due lati.

Gli errori che costano punti

Confondere $dim (ker T)$ con $dim (im T)$ . Succede quando il teorema della dimensione è stato imparato come formula e non come relazione fra due oggetti diversi. Prima di applicarlo, chiediti: quale dei due ho già calcolato, e quale mi manca?
Scambiare lo spazio di partenza con quello di arrivo. Il nucleo vive in $R^{n}$ (dove vivono le $x$ ), l’immagine in $R^{m}$ (dove vivono le $A x$ ). Se la matrice non è quadrata sono spazi di dimensione diversa, e invertirli si vede a colpo d’occhio da chi corregge.
Dire “il nucleo è vuoto” invece di “è il sottospazio banale ${0}$ ”. Il nucleo non è mai vuoto: contiene sempre lo zero, perché $A 0 = 0$ per qualunque $A$ . “Vuoto” e “ridotto al solo zero” sono affermazioni diverse, e la prima è falsa.
Dichiarare una matrice diagonalizzabile guardando solo gli autovalori. È la trappola più costosa del programma — la sezione successiva è tutta su questo.
Dimenticare di controllare il caso in cui il parametro annulla proprio un pivot. Nella discussione parametrica il valore “speciale” spesso non salta all’occhio finché non hai ridotto a scala: va verificato dopo la riduzione, non stimato a occhio prima.

La diagonalizzabilità: la verifica che si salta

Qui si gioca uno degli errori più diffusi e più pericolosi, perché sembra innocuo. Se una matrice $n \times n$ ha $n$ autovalori tutti distinti, allora è automaticamente diagonalizzabile — questo è vero, ed è comodo.

Il problema è generalizzare all’incontrario: un autovalore con molteplicità algebrica maggiore di 1 non garantisce niente di per sé. Per ogni autovalore ripetuto devi controllare esplicitamente che

molteplicit \overset{a}{ˋ} geometrica = molteplicit \overset{a}{ˋ} algebrica

dove la molteplicità algebrica è quante volte l’autovalore compare come radice del polinomio caratteristico, e quella geometrica è la dimensione dell’autospazio associato (cioè $dim (ker (A - λ I))$ — di nuovo un nucleo). Vale sempre che la geometrica è minore o uguale all’algebrica: se sono uguali per ogni autovalore, la matrice è diagonalizzabile; se anche per un solo autovalore la geometrica è strettamente minore, non lo è, punto. Saltare questo controllo — e concludere “diagonalizzabile” solo perché il polinomio caratteristico si fattorizza bene — è l’errore che vedo costare più punti in assoluto. Il terzo esercizio svolto qui sotto è costruito esattamente su questo caso.

Tre esercizi svolti

Esercizio 1 — matrice parametrica e discussione con Rouché-Capelli

Sia

A (k) = k 11 1 k 1 11 k

Calcolo il determinante sviluppando lungo la prima riga:

det A (k) = k (k^{2} - 1) - 1 (k - 1) + 1 (1 - k) = k^{3} - k - k + 1 + 1 - k = k^{3} - 3 k + 2

Fattorizzo (nota che $k = 1$ è radice): $k^{3} - 3 k + 2 = (k - 1)^{2} (k + 2)$ . Il determinante si annulla per $k = 1$ (doppia) e $k = - 2$ : sono i valori in cui il rango scende sotto 3.

Discuto il sistema $A (k) x = b$ con $b = (1, 1, 1)^{T}$ .

Per $k \in / {1, - 2}$ : $det A (k) \neq = 0$ , quindi $rk (A) = 3 = rk (A ∣ b)$ . Sistema compatibile, soluzione unica.

Per $k = 1$ : $A (1)$ ha tutte le righe uguali a $(1, 1, 1)$ , quindi $rk (A) = 1$ . La matrice completa $(A ∣ b)$ ha tutte le righe uguali a $(1, 1, 1 ∣ 1)$ , quindi $rk (A ∣ b) = 1$ anch’esso. I ranghi coincidono: sistema compatibile, con $\infty^{3 - 1} = \infty^{2}$ soluzioni, tutte quelle che soddisfano $x + y + z = 1$ .

Per $k = - 2$ : $A (- 2) = - 2 11 1 - 2 1 11 - 2$ . Le tre righe sommano al vettore nullo, quindi sono dipendenti: $rk (A) \leq 2$ , e il minore delle prime due righe/colonne vale $4 - 1 = 3 \neq = 0$ , quindi $rk (A) = 2$ esattamente. Ma la stessa dipendenza fra le righe ( $r_{1} + r_{2} + r_{3} = 0$ ) impone, per la compatibilità, che anche i termini noti sommino a zero — qui $1 + 1 + 1 = 3 \neq = 0$ . Quindi $rk (A ∣ b) = 3 \neq = rk (A) = 2$ : sistema incompatibile, nessuna soluzione.

Questo è esattamente il caso “il parametro annulla un pivot” da tenere d’occhio: due valori speciali di $k$ , e due esiti opposti — uno compatibile con infinite soluzioni, l’altro senza soluzione. Se ti alleni a discutere solo il caso “generico” e liquidi i valori speciali come un’appendice, è lì che perdi il punteggio pieno.

Puoi allenarti su discussioni parametriche di questo tipo, cronometrate come all’esame, nella simulazione di algebra lineare: la risposta corretta è gratuita, la soluzione guidata passo-passo si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2 — nucleo, immagine e verifica del teorema della dimensione

Sia

A = 121241361

Noto subito che la seconda riga è il doppio della prima, quindi $rk (A) \leq 2$ ; la prima e la terza riga non sono proporzionali, quindi $rk (A) = 2$ .

Nucleo. Risolvo $A x = 0$ . La seconda equazione è multipla della prima, quindi il sistema si riduce a due equazioni indipendenti:

x + 2 y + 3 z = 0, x + y + z = 0

Sottraendo: $y + 2 z = 0 \Rightarrow y = - 2 z$ . Sostituendo nella seconda: $x = - y - z = 2 z - z = z$ . Il nucleo è quindi

ker A = span ⎩ ⎨ ⎧ 1 - 2 1 ⎭ ⎬ ⎫, dim (ker A) = 1

Verifica rapida: $A (1, - 2, 1)^{T}$ dà, riga per riga, $1 - 4 + 3 = 0$ , $2 - 8 + 6 = 0$ , $1 - 2 + 1 = 0$ . Torna.

Immagine. È lo spazio generato dalle colonne di $A$ : $c_{1} = (1, 2, 1)$ , $c_{2} = (2, 4, 1)$ , $c_{3} = (3, 6, 1)$ . $c_{2}$ non è multiplo di $c_{1}$ : servirebbe $c_{2} = 2 c_{1}$ , che sulle prime due componenti funziona ma sulla terza darebbe $2$ invece di $1$ . Le due colonne sono quindi indipendenti e formano già una base dell’immagine, coerentemente con $rk (A) = 2$ :

im A = span {(1, 2, 1), (2, 4, 1)}, dim (im A) = 2

(Si può verificare che $c_{3} = - c_{1} + 2 c_{2}$ , quindi non aggiunge nulla di nuovo.)

Verifica del teorema della dimensione: $dim (ker A) + dim (im A) = 1 + 2 = 3 = n$ , il numero di colonne di $A$ . Torna esattamente.

Esercizio 3 — diagonalizzabilità con un autovalore ripetuto

Sia

A = 200120003

Polinomio caratteristico. Sviluppo $det (A - λ I)$ lungo l’ultima riga (ha un solo elemento non nullo):

det (A - λ I) = (3 - λ) det (2 - λ 0 1 2 - λ) = (3 - λ) (2 - λ)^{2}

Autovalori: $λ_{1} = 2$ con molteplicità algebrica $2$ , $λ_{2} = 3$ con molteplicità algebrica $1$ .

Autospazio di $λ_{2} = 3$ . Molteplicità algebrica 1, quindi quella geometrica è automaticamente 1: nessun controllo necessario, l’uguaglianza è garantita.

Autospazio di $λ_{1} = 2$ . Risolvo $(A - 2 I) v = 0$ :

A - 2 I = 000100001

Le equazioni sono $y = 0$ e $z = 0$ , con $x$ libera. L’autospazio è

ker (A - 2 I) = span ⎩ ⎨ ⎧ 100 ⎭ ⎬ ⎫, dim = 1

Molteplicità geometrica di $λ_{1}$ : 1. Molteplicità algebrica di $λ_{1}$ : 2. Sono diverse.

Conclusione: $A$ non è diagonalizzabile. Non basta che il polinomio caratteristico si fattorizzi in modo pulito, e non basta nemmeno “avere solo due autovalori distinti invece di tre”: la matrice manca di un autovettore indipendente proprio dove ne servirebbero due. Se in un esercizio ti fermi al calcolo degli autovalori e dichiari diagonalizzabile senza aver controllato questo autospazio, hai risposto alla domanda sbagliata.

Come lavoriamo nelle lezioni su questo esame

Con gli studenti di Algebra lineare parto dal far dire la definizione ad alta voce, parola per parola, prima di toccare un esercizio: se manca un pezzo lì, qualunque conto fatto dopo è costruito su sabbia. Lavoriamo con il teorema della dimensione come strumento di controllo, non come formula da citare a memoria: prima di calcolare nucleo e immagine chiedo sempre “quale dimensione ti aspetti?”, e solo dopo verifichiamo che il conto la confermi.

La discussione dei sistemi parametrici la alleniamo separatamente dai conti puri: saper ridurre a scala non implica saper discutere tutti i casi che il parametro può generare, compresi quelli che sembrano eccezioni e che invece sono spesso il cuore della domanda d’esame. Lavoriamo online con tavoletta grafica e schermo condiviso, scrivendo ogni passaggio come alla lavagna in sede d’esame orale.

Per il quadro generale di come lavoro sulla matematica c’è la pagina matematica; per l’affiancamento sui corsi universitari del primo anno, ripetizioni universitarie. Per un dubbio puntuale prima della prova in itinere basta una lezione singola (40 €); se non hai mai preso lezioni con me c’è la lezione di prova da 20 €, una tantum, oltre alla chiamata conoscitiva gratuita di 30 minuti.

Se vuoi metterti alla prova sulla discussione parametrica prima della prova in itinere, la simulazione di algebra lineare ha esercizi nello stesso stile di quelli visti qui — risposta corretta gratuita, soluzione guidata con la prima lezione. E se stai rimettendo ordine anche su analisi, limiti, sistemi lineari e numeri complessi sono i capitoli che si intrecciano di più con questo. Per qualunque dubbio, scrivimi: niente vendita forzata, solo capire insieme dove sei messo.

Algebra lineare: rango, nucleo e immagine senza confonderli