L'esame di controlli automatici: Bode, Nyquist, luogo delle radici

Controlli Automatici è l’esame in cui molti studenti di ingegneria — meccanica, aerospaziale, elettronica, automazione — incontrano per la prima volta un modo di ragionare completamente diverso da quello di Analisi o Fisica: non risolvi un’equazione per trovare un numero, ragioni sulla forma di una risposta in frequenza per decidere se un sistema si comporta bene o esplode.

È anche un esame dove è facilissimo “quasi” capire: sai cos’è un diagramma di Bode, sai che il criterio di Nyquist conta i giri intorno a un punto, ma messo davanti a una funzione di trasferimento specifica non sai più da dove iniziare. Qui ti porto il metodo che uso con i miei studenti: cosa chiede davvero l’esame, dove si perdono i punti, e tre esercizi risolti fino ai conti.

Cosa chiede l’esame

Quasi tutti i corsi di Controlli Automatici (base) chiedono, su una funzione di trasferimento $G(s)$ data (spesso a catena aperta, talvolta con un controllore da progettare):

1. Analisi del sistema: poli, zeri, guadagno, tipo (numero di poli nell’origine), stabilità a catena aperta.
2. Stabilità a catena chiusa con il criterio di Routh-Hurwitz sull’equazione caratteristica.
3. Diagramma di Bode asintotico (modulo e fase) disegnato a mano, con lettura di margine di fase e margine di guadagno.
4. Criterio di Nyquist per la stabilità a catena chiusa a partire dal diagramma a catena aperta.
5. Luogo delle radici al variare di un guadagno $K$: asintoti, punti di diramazione, intersezioni con l’asse immaginario.
6. Spesso, un progetto di rete correttrice (anticipo o ritardo di fase) per rispettare specifiche di margine di fase o errore a regime.

Il filo conduttore è sempre lo stesso: dalla funzione di trasferimento, con carta e penna, devi arrivare a dire sì, è stabile o no, non lo è — e per quale intervallo di parametri.

Dove si perdono i punti, in concreto

1. Confondere margine di fase e margine di guadagno. Il margine di fase si legge alla pulsazione di attraversamento del guadagno ${\omega }_{gc}$ (dove $|G(j\omega )|=1$, cioè 0 dB): è $180°+\phi ({\omega }_{gc})$. Il margine di guadagno si legge alla pulsazione di attraversamento della fase ${\omega }_{pc}$ (dove la fase vale $-180°$): è $-20{\log }_{10}|G(j{\omega }_{pc})|$. Sono due pulsazioni diverse, lette su due assi diversi, e scambiarle è l’errore più comune di tutto l’esame.

2. Dimenticare il contributo dei poli/zeri nell’origine. Un polo nell’origine ($1/s$) parte già da $-90°$ di fase a tutte le frequenze e contribuisce con una pendenza di $-20$ dB/decade fin dall’inizio del diagramma — non da un punto di rottura. Se il sistema è di tipo 2 (due poli nell’origine), parti da $-180°$ di fase: è facilissimo dimenticarselo e sbagliare tutta la lettura del margine di fase.

3. Sbagliare la pendenza in dB/decade. Ogni polo reale aggiunge $-20$ dB/decade dopo la sua pulsazione di rottura, ogni zero reale aggiunge $+20$ dB/decade. Un polo doppio (o una coppia complessa coniugata) ne aggiunge $-40$. Un errore di segno qui ribalta tutto il grafico.

4. Routh: tabella con uno zero nella prima colonna trattato a caso. Se compare uno zero nella prima colonna (ma la riga non è tutta nulla), si sostituisce con un $\epsilon >0$ piccolo e si prosegue prendendo il limite; se invece l’intera riga è nulla, il sistema ha una simmetria delle radici rispetto all’origine e serve il polinomio ausiliario. Sono due casi diversi e vanno riconosciuti, non improvvisati.

5. Nyquist: dimenticare i poli instabili a catena aperta. Il criterio dice $N=Z-P$: il numero di giri orari del diagramma polare intorno a $(-1,0)$ è uguale al numero di zeri meno il numero di poli instabili a catena aperta del sistema a catena chiusa. Se $G(s)$ a catena aperta ha già un polo instabile ($P=1$), servono giri antiorari per stabilizzare, non l’assenza di giri: è il punto che confonde di più.

6. Luogo delle radici: dimenticare che parte dai poli e finisce sugli zeri (o all’infinito). Il luogo per $K:0\to \infty$ parte sempre nei poli di $G(s)$ ($K=0$) e arriva agli zeri finiti o, se non ce ne sono abbastanza, va all’infinito lungo gli asintoti. Disegnare un ramo che “spunta dal nulla” è quasi sempre un segno che qualcosa nella regola dei segmenti sull’asse reale è stato applicato male.

Il metodo, passo per passo

1. Analisi preliminare

Scrivi $G(s)$ in forma standard, guadagno di Bode isolato:

$N$ è il tipo del sistema (numero di poli nell’origine): determina l’errore a regime per gradino/rampa/parabola e la pendenza di partenza del Bode.

2. Routh-Hurwitz sull’equazione caratteristica

Dato il polinomio caratteristico $a_n{s}^n+\cdots +a_{1}s+a_0$, costruisci la tabella di Routh a partire dai coefficienti pari e dispari sulle prime due righe. Il sistema è stabile (tutte le radici a parte reale negativa) se e solo se tutti gli elementi della prima colonna hanno lo stesso segno — niente cambi di segno, niente zeri.

3. Diagramma di Bode asintotico

Scomponi $G(j\omega )$ nei suoi fattori elementari e sommane i contributi:

• Guadagno costante $K$: $20{\log }_{10}|K|$ dB, fase $0°$ (o $180°$ se $K<0$) — una retta orizzontale.
• Polo/zero nell’origine ($1/s^N$ o $s^N$): pendenza $\mp 20N$ dB/decade su tutto il grafico, fase costante $\mp 90N°$.
• Polo/zero reale semplice ($1/(1+s/p)$ o $(1+s/z)$): asintoto piatto fino alla pulsazione di rottura, poi pendenza $\mp 20$ dB/decade; la fase varia con continuità da $0°$ a $\mp 90°$, passando per $\mp 45°$ esattamente alla pulsazione di rottura (approssimata come variazione lineare tra un decade prima e uno dopo, nel tracciato asintotico).
• Coppia complessa coniugata: pendenza $\mp 40$ dB/decade dopo ${\omega }_n$, ma occhio alla risonanza se lo smorzamento $\zeta$ è basso — l’asintoto da solo sottostima il picco.

4. Margini di stabilità

Entrambi positivi ⇒ sistema a catena chiusa stabile (per sistemi a fase minima, il caso più comune all’esame).

5. Criterio di Nyquist

$N$ = giri orari del diagramma polare intorno a $(-1,0)$, $P$ = poli instabili di $G(s)$ a catena aperta, $Z$ = poli instabili a catena chiusa. Per stabilità a catena chiusa serve $Z=0$, cioè $N=-P$ (cioè $P$ giri antiorari se $P>0$, nessun giro se $P=0$).

6. Rete correttrice

Una rete a sella d’anticipo (lead) aggiunge fase positiva vicino alla pulsazione di attraversamento per aumentare il margine di fase; una a ritardo (lag) riduce il guadagno alle alte frequenze senza toccare troppo la fase, per correggere l’errore a regime senza destabilizzare. La scelta dipende da cosa manca: fase (lead) o guadagno a bassa frequenza (lag).

Tre esercizi svolti

Esercizio 1 — Routh-Hurwitz: per quali $K$ il sistema è stabile?

Catena aperta $G(s)=\frac{K}{s(s+2)(s+10)}$, retroazione unitaria. L’equazione caratteristica è:

Tabella di Routh:

L’elemento della riga $s^1$ è la solita combinazione delle due righe sopra:

Per la stabilità serve prima colonna tutta positiva: $12>0$ (sempre), $\frac{240-K}{12}>0\Rightarrow K<240$, e $K>0$. Quindi:

Per $K=240$ la riga $s^1$ si annulla: è il valore critico a cui il sistema ha una coppia di poli sull’asse immaginario e inizia a oscillare in modo sostenuto (limite di stabilità).

Esercizio 2 — Bode: margine di fase di $G(s)=\frac{10}{s(1+s/5)}$

Tipo 1 (un polo nell’origine), un polo reale a $\omega =5$ rad/s. Fase totale: $\phi (\omega )=-90°-\arctan (\omega /5)$, sempre tra $-90°$ (a $\omega \to 0$) e $-180°$ (a $\omega \to \infty$) — non raggiunge mai $-180°$, quindi il margine di guadagno è infinito (nessuna pulsazione di attraversamento della fase).

Per il margine di fase serve ${\omega }_{gc}$. Con il tracciato asintotico: sotto $\omega =5$ la pendenza è $-20$ dB/decade e il modulo asintotico è $20{\log }_{10}(10/\omega )$, che si annulla a $\omega =10$; ma $10>5$, quindi a quella frequenza sei già oltre la rottura, sul tratto a $-40$ dB/decade. Il modulo asintotico a $\omega =5$ vale

Da lì la pendenza è $-40$ dB/decade:

Risolvendo esattamente $|G(j\omega )|=1$ (senza approssimazione asintotica) si ottiene ${\omega }_{gc}\approx 6,25$ rad/s — la stima asintotica sovrastima un po’, come è normale vicino a una rottura, ma è già utile per orientarsi prima di rifinire il conto. Con il valore esatto:

Un margine di fase intorno ai 40° è il valore che si cerca tipicamente in progetto (sotto i 30° il sistema è vicino all’instabilità pratica, sopra i 60° è molto conservativo).

Esercizio 3 — Luogo delle radici: punto di diramazione di $G(s)=\frac{K}{s(s+4)}$

Due poli reali, in $s=0$ e $s=-4$, nessuno zero finito: il luogo, per $K$ crescente da 0, parte dai due poli e si muove l’uno verso l’altro sul segmento reale tra $0$ e $-4$ (regola dei segmenti: un numero dispari di poli/zeri reali alla destra del punto), fino a incontrarsi in un punto di diramazione per poi partire in verticale verso l’infinito (due rami, per due poli e zero zeri finiti).

L’equazione caratteristica è $s(s+4)+K=0$, cioè $K=-s^2-4s$. Il punto di diramazione si trova dove $dK/ds=0$:

che è, non a caso, il punto medio tra i due poli (simmetria del caso a due poli reali senza zeri). Il guadagno a quel punto:

A $K=4$ i due rami si incontrano in $s=-2$ (polo doppio reale, smorzamento critico) e per $K>4$ diventano una coppia complessa coniugata: il sistema resta stabile per ogni $K>0$ (entrambi i poli restano a parte reale negativa), ma la risposta passa da sovrasmorzata a sottosmorzata proprio a $K=4$.

Come lavoriamo nelle lezioni

Su Controlli Automatici lavoro sempre a mano, con carta millimetrata (o il suo equivalente digitale su tavoletta grafica): il Bode asintotico va saputo disegnare velocemente, perché all’esame non hai MATLAB per verificarlo. Partiamo da funzioni di trasferimento semplici — un polo, uno zero — e costruiamo la fluenza sui contributi elementari prima di sommarli su casi complessi.

Buona parte del lavoro è anche lessicale: capire perché si chiama margine di fase, cosa vuol dire “il sistema è a fase minima”, quando il criterio di Nyquist si applica in versione semplificata (il “criterio del margine”, valido solo per sistemi a fase minima) e quando serve la versione completa. È lì che si gioca l’orale, quando c’è.

Se il tuo corso tratta anche la rappresentazione di stato (matrici $A,B,C,D$, controllabilità, osservabilità, retroazione degli stati), quella la vediamo come modulo a parte — chiedimelo in prima lezione così la pianifichiamo insieme.

Due basi che qui si danno per scontate: gli autovalori e le matrici della rappresentazione di stato sono in algebra lineare: rango, nucleo e immagine, e i poli complessi, il modulo e la fase di una funzione di trasferimento si leggono con numeri complessi spiegati bene. Se invece ti serve simulare numericamente la risposta, ci si arriva dall’esame di calcolo numerico.

Per il quadro generale di come lavoro sulla matematica applicata all’ingegneria trovi la pagina di matematica; se il tuo corso di controlli parte da nozioni di segnali e sistemi che non ti sono ancora chiare, dai un’occhiata anche alla pagina di fisica per i fondamenti di dinamica ed equazioni differenziali.

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