L'esame di controlli automatici: Bode, Nyquist, luogo delle radici

Controlli Automatici è l’esame in cui molti studenti di ingegneria — meccanica, aerospaziale, elettronica, automazione — incontrano per la prima volta un modo di ragionare completamente diverso da quello di Analisi o Fisica: non risolvi un’equazione per trovare un numero, ragioni sulla forma di una risposta in frequenza per decidere se un sistema si comporta bene o esplode.

È anche un esame dove è facilissimo “quasi” capire: sai cos’è un diagramma di Bode, sai che il criterio di Nyquist conta i giri intorno a un punto, ma messo davanti a una funzione di trasferimento specifica non sai più da dove iniziare. Qui ti porto il metodo che uso con i miei studenti: cosa chiede davvero l’esame, dove si perdono i punti, e tre esercizi risolti fino ai conti.

Cosa chiede l’esame

Quasi tutti i corsi di Controlli Automatici (base) chiedono, su una funzione di trasferimento $G(s)$ data (spesso a catena aperta, talvolta con un controllore da progettare):

1. Analisi del sistema: poli, zeri, guadagno, tipo (numero di poli nell’origine), stabilità a catena aperta.
2. Stabilità a catena chiusa con il criterio di Routh-Hurwitz sull’equazione caratteristica.
3. Diagramma di Bode asintotico (modulo e fase) disegnato a mano, con lettura di margine di fase e margine di guadagno.
4. Criterio di Nyquist per la stabilità a catena chiusa a partire dal diagramma a catena aperta.
5. Luogo delle radici al variare di un guadagno $K$: asintoti, punti di diramazione, intersezioni con l’asse immaginario.
6. Spesso, un progetto di rete correttrice (anticipo o ritardo di fase) per rispettare specifiche di margine di fase o errore a regime.

Il filo conduttore è sempre lo stesso: dalla funzione di trasferimento, con carta e penna, devi arrivare a dire sì, è stabile o no, non lo è — e per quale intervallo di parametri.

Dove si perdono i punti, in concreto

1. Confondere margine di fase e margine di guadagno. Il margine di fase si legge alla pulsazione di attraversamento del guadagno ${\omega }_{gc}$ (dove $|G(j\omega )|=1$, cioè 0 dB): è $180°+\phi ({\omega }_{gc})$. Il margine di guadagno si legge alla pulsazione di attraversamento della fase ${\omega }_{pc}$ (dove la fase vale $-180°$): è $-20{\log }_{10}|G(j{\omega }_{pc})|$. Sono due pulsazioni diverse, lette su due assi diversi, e scambiarle è l’errore più comune di tutto l’esame.

2. Dimenticare il contributo dei poli/zeri nell’origine. Un polo nell’origine ($1/s$) parte già da $-90°$ di fase a tutte le frequenze e contribuisce con una pendenza di $-20$ dB/decade fin dall’inizio del diagramma — non da un punto di rottura. Se il sistema è di tipo 2 (due poli nell’origine), parti da $-180°$ di fase: è facilissimo dimenticarselo e sbagliare tutta la lettura del margine di fase.

3. Sbagliare la pendenza in dB/decade. Ogni polo reale aggiunge $-20$ dB/decade dopo la sua pulsazione di rottura, ogni zero reale aggiunge $+20$ dB/decade. Un polo doppio (o una coppia complessa coniugata) ne aggiunge $-40$. Un errore di segno qui ribalta tutto il grafico.

4. Routh: tabella con uno zero nella prima colonna trattato a caso. Se compare uno zero nella prima colonna (ma la riga non è tutta nulla), si sostituisce con un $\epsilon >0$ piccolo e si prosegue prendendo il limite; se invece l’intera riga è nulla, il sistema ha una simmetria delle radici rispetto all’origine e serve il polinomio ausiliario. Sono due casi diversi e vanno riconosciuti, non improvvisati.

5. Nyquist: dimenticare i poli instabili a catena aperta. Il criterio dice $N=Z-P$: il numero di giri orari del diagramma polare intorno a $(-1,0)$ è uguale al numero di zeri meno il numero di poli instabili a catena aperta del sistema a catena chiusa. Se $G(s)$ a catena aperta ha già un polo instabile ($P=1$), servono giri antiorari per stabilizzare, non l’assenza di giri: è il punto che confonde di più.

6. Luogo delle radici: dimenticare che parte dai poli e finisce sugli zeri (o all’infinito). Il luogo per $K:0\to \infty$ parte sempre nei poli di $G(s)$ ($K=0$) e arriva agli zeri finiti o, se non ce ne sono abbastanza, va all’infinito lungo gli asintoti. Disegnare un ramo che “spunta dal nulla” è quasi sempre un segno che qualcosa nella regola dei segmenti sull’asse reale è stato applicato male.

Il metodo, passo per passo

1. Analisi preliminare

Scrivi $G(s)$ in forma standard, guadagno di Bode isolato:

$N$ è il tipo del sistema (numero di poli nell’origine): determina l’errore a regime per gradino/rampa/parabola e la pendenza di partenza del Bode.

2. Routh-Hurwitz sull’equazione caratteristica

Dato il polinomio caratteristico $a_n{s}^n+\cdots +a_{1}s+a_0$, costruisci la tabella di Routh a partire dai coefficienti pari e dispari sulle prime due righe. Il sistema è stabile (tutte le radici a parte reale negativa) se e solo se tutti gli elementi della prima colonna hanno lo stesso segno — niente cambi di segno, niente zeri.

3. Diagramma di Bode asintotico

Scomponi $G(j\omega )$ nei suoi fattori elementari e sommane i contributi:

• Guadagno costante $K$: $20{\log }_{10}|K|$ dB, fase $0°$ (o $180°$ se $K<0$) — una retta orizzontale.
• Polo/zero nell’origine ($1/s^N$ o $s^N$): pendenza $\mp 20N$ dB/decade su tutto il grafico, fase costante $\mp 90N°$.
• Polo/zero reale semplice ($1/(1+s/p)$ o $(1+s/z)$): asintoto piatto fino alla pulsazione di rottura, poi pendenza $\mp 20$ dB/decade; la fase varia con continuità da $0°$ a $\mp 90°$, passando per $\mp 45°$ esattamente alla pulsazione di rottura (approssimata come variazione lineare tra un decade prima e uno dopo, nel tracciato asintotico).
• Coppia complessa coniugata: pendenza $\mp 40$ dB/decade dopo ${\omega }_n$, ma occhio alla risonanza se lo smorzamento $\zeta$ è basso — l’asintoto da solo sottostima il picco.

4. Margini di stabilità

Entrambi positivi ⇒ sistema a catena chiusa stabile (per sistemi a fase minima, il caso più comune all’esame).

5. Criterio di Nyquist

$N$ = giri orari del diagramma polare intorno a $(-1,0)$, $P$ = poli instabili di $G(s)$ a catena aperta, $Z$ = poli instabili a catena chiusa. Per stabilità a catena chiusa serve $Z=0$, cioè $N=-P$ (cioè $P$ giri antiorari se $P>0$, nessun giro se $P=0$).

6. Rete correttrice

Una rete a sella d’anticipo (lead) aggiunge fase positiva vicino alla pulsazione di attraversamento per aumentare il margine di fase; una a ritardo (lag) riduce il guadagno alle alte frequenze senza toccare troppo la fase, per correggere l’errore a regime senza destabilizzare. La scelta dipende da cosa manca: fase (lead) o guadagno a bassa frequenza (lag).

Tre esercizi svolti

Esercizio 1 — Routh-Hurwitz: per quali $K$ il sistema è stabile?

Catena aperta $G(s)=\frac{K}{s(s+2)(s+10)}$, retroazione unitaria. L’equazione caratteristica è:

Tabella di Routh:

L’elemento della riga $s^1$ è la solita combinazione delle due righe sopra:

Per la stabilità serve prima colonna tutta positiva: $12>0$ (sempre), $\frac{240-K}{12}>0\Rightarrow K<240$, e $K>0$. Quindi:

Per $K=240$ la riga $s^1$ si annulla: è il valore critico a cui il sistema ha una coppia di poli sull’asse immaginario e inizia a oscillare in modo sostenuto (limite di stabilità).

Esercizio 2 — Bode: margine di fase di $G(s)=\frac{10}{s(1+s/5)}$

Tipo 1 (un polo nell’origine), un polo reale a $\omega =5$ rad/s. Fase totale: $\phi (\omega )=-90°-\arctan (\omega /5)$, sempre tra $-90°$ (a $\omega \to 0$) e $-180°$ (a $\omega \to \infty$) — non raggiunge mai $-180°$, quindi il margine di guadagno è infinito (nessuna pulsazione di attraversamento della fase).

Per il margine di fase serve ${\omega }_{gc}$. Con il tracciato asintotico: sotto $\omega =5$ la pendenza è $-20$ dB/decade e il modulo asintotico è $20{\log }_{10}(10/\omega )$, che si annulla a $\omega =10$; ma $10>5$, quindi a quella frequenza sei già oltre la rottura, sul tratto a $-40$ dB/decade. Il modulo asintotico a $\omega =5$ vale

Da lì la pendenza è $-40$ dB/decade:

Risolvendo esattamente $|G(j\omega )|=1$ (senza approssimazione asintotica) si ottiene ${\omega }_{gc}\approx 6,25$ rad/s — la stima asintotica sovrastima un po’, come è normale vicino a una rottura, ma è già utile per orientarsi prima di rifinire il conto. Con il valore esatto:

Un margine di fase intorno ai 40° è il valore che si cerca tipicamente in progetto (sotto i 30° il sistema è vicino all’instabilità pratica, sopra i 60° è molto conservativo).

Esercizio 3 — Luogo delle radici: punto di diramazione di $G(s)=\frac{K}{s(s+4)}$

Due poli reali, in $s=0$ e $s=-4$, nessuno zero finito: il luogo, per $K$ crescente da 0, parte dai due poli e si muove l’uno verso l’altro sul segmento reale tra $0$ e $-4$ (regola dei segmenti: un numero dispari di poli/zeri reali alla destra del punto), fino a incontrarsi in un punto di diramazione per poi partire in verticale verso l’infinito (due rami, per due poli e zero zeri finiti).

L’equazione caratteristica è $s(s+4)+K=0$, cioè $K=-s^2-4s$. Il punto di diramazione si trova dove $dK/ds=0$:

che è, non a caso, il punto medio tra i due poli (simmetria del caso a due poli reali senza zeri). Il guadagno a quel punto:

A $K=4$ i due rami si incontrano in $s=-2$ (polo doppio reale, smorzamento critico) e per $K>4$ diventano una coppia complessa coniugata: il sistema resta stabile per ogni $K>0$ (entrambi i poli restano a parte reale negativa), ma la risposta passa da sovrasmorzata a sottosmorzata proprio a $K=4$.

Come lavoriamo nelle lezioni

Su Controlli Automatici lavoro sempre a mano, con carta millimetrata (o il suo equivalente digitale su tavoletta grafica): il Bode asintotico va saputo disegnare velocemente, perché all’esame non hai MATLAB per verificarlo. Partiamo da funzioni di trasferimento semplici — un polo, uno zero — e costruiamo la fluenza sui contributi elementari prima di sommarli su casi complessi.

Buona parte del lavoro è anche lessicale: capire perché si chiama margine di fase, cosa vuol dire “il sistema è a fase minima”, quando il criterio di Nyquist si applica in versione semplificata (il “criterio del margine”, valido solo per sistemi a fase minima) e quando serve la versione completa. È lì che si gioca l’orale, quando c’è.

Se il tuo corso tratta anche la rappresentazione di stato (matrici $A,B,C,D$, controllabilità, osservabilità, retroazione degli stati), quella la vediamo come modulo a parte — chiedimelo in prima lezione così la pianifichiamo insieme.

Per il quadro generale di come lavoro sulla matematica applicata all’ingegneria trovi la pagina di matematica; se il tuo corso di controlli parte da nozioni di segnali e sistemi che non ti sono ancora chiare, dai un’occhiata anche alla pagina di fisica per i fondamenti di dinamica ed equazioni differenziali.

Prima di prenotare, prova le simulazioni d’esame universitarie: risposta corretta gratis, soluzione guidata sbloccata con la prima lezione. Se hai un esercizio specifico che non ti torna, scrivimi ai contatti per una diagnosi gratuita di 20 minuti.