Esame di calcolo numerico: metodi che escono sempre

Calcolo numerico (o Metodi Numerici, a seconda dell’ateneo) è uno di quegli esami che sembrano “facili” perché non c’è la teoria pesante di Analisi 1, e proprio per questo tanti studenti lo sottovalutano. Il problema non è capire cosa fa un metodo — è eseguirlo correttamente a mano, con la calcolatrice, dentro un tempo limitato, senza l’aiuto di MATLAB per controllare ogni passaggio.

Ho seguito diversi studenti del Politecnico su questo esame, e il pattern è sempre lo stesso: capiscono benissimo l’idea di Newton o di Simpson a lezione, poi al compito perdono punti su dettagli meccanici — un criterio d’arresto scritto male, uno jacobiano dimenticato, un errore di segno in una tabella di iterazioni. Qui ti porto il metodo che uso per arrivare pronto: cosa chiede davvero l’esame, dove si perde di più, e tre esercizi svolti fino ai numeri.

Cosa chiede l’esame

La struttura tipica, in quasi tutti gli atenei italiani, è uno scritto con esercizi da risolvere a mano (spesso con calcolatrice scientifica, a volte con laptop e MATLAB/Octave per la parte di programmazione) su quattro famiglie di problemi:

1. Zeri di funzione: risolvere $f(x)=0$ con un metodo iterativo (Newton, bisezione, punto fisso), con criterio d’arresto e stima dell’errore.
2. Interpolazione: costruire il polinomio che passa per un insieme di punti (Lagrange o Newton alle differenze divise) e usarlo per stimare un valore.
3. Integrazione numerica (quadratura): approssimare ${\int }_a^{b}f(x)dx$ con trapezi o Simpson, con stima dell’errore.
4. Equazioni differenziali ordinarie (ODE): risolvere $y^{\prime }=f(x,y)$ con Eulero esplicito o Runge-Kutta, di nuovo con analisi dell’errore.

Sopra a tutto questo, il corso mette due concetti trasversali che tornano in ogni capitolo: condizionamento (quanto un piccolo errore sui dati si amplifica nel risultato) e stabilità (se un metodo amplifica o smorza gli errori di arrotondamento passo dopo passo). Un esame ben fatto chiede sempre, in almeno un esercizio, di commentare uno di questi due aspetti — non solo di far tornare il numero.

Dove si perdono i punti, in concreto

Dopo aver corretto e rivisto decine di esercizi con i miei studenti, gli errori si concentrano quasi sempre negli stessi punti:

1. Criterio d’arresto scritto a caso. “Iterare finché converge” non è un criterio. Serve una soglia esplicita: $|x_{n+1}-x_n|<\epsilon$ oppure $|f(x_n)|<\epsilon$, dichiarata prima di iniziare le iterazioni, non dopo aver visto dove si ferma il numero.

2. Dimenticare la derivata in Newton. Il metodo di Newton richiede $f^{\prime }(x)$ ad ogni iterazione. Se $f^{\prime }(x_n)$ è vicino a zero il metodo può divergere o oscillare: è un punto che i professori chiedono spesso di discutere, non solo di applicare.

3. Interpolazione: confondere il grado del polinomio con il numero di punti. Con $n+1$ punti il polinomio interpolante ha grado (al massimo) $n$, non $n+1$. È un errore banale che però fa saltare tutto il calcolo dei coefficienti di Lagrange.

4. Quadratura: applicare Simpson con un numero dispari di intervalli. Simpson composito richiede un numero pari di sotto-intervalli (quindi un numero dispari di nodi). Con un numero dispari di intervalli la formula composita non si applica — eppure è l’errore più comune quando si sceglie $n$ a caso senza controllare la parità.

5. Errore di quadratura: dimenticare che dipende dalla derivata quarta (Simpson) o seconda (trapezi), non dalla funzione. La stima dell’errore chiede di maggiorare $|f^{\prime \prime }(\xi )|$ o $|f^{(4)}(\xi )|$ sull’intervallo, non di ricalcolare l’integrale con un metodo più preciso.

6. ODE: usare Eulero e aspettarsi la precisione di Runge-Kutta. Eulero esplicito è del primo ordine — l’errore locale è $O(h^2)$, quello globale $O(h)$. Con passo $h$ non piccolissimo l’errore si vede a occhio già dopo due o tre passi, ed è normale: non è un segno che hai sbagliato i conti.

7. Non commentare condizionamento e stabilità quando richiesto. Un esercizio che chiede “il problema è ben condizionato?” non si risponde con “sì” o “no”: si stima quantitativamente quanto un errore relativo sui dati si amplifica nel risultato.

Il metodo, passo per passo

Metodo di Newton per $f(x)=0$

Parti da un punto iniziale $x_0$ vicino alla radice che cerchi, e itera:

Geometricamente: approssimi la funzione con la retta tangente in $x_n$ e prendi come nuova stima il punto in cui quella retta interseca l’asse delle $x$. Quando la radice è semplice (cioè $f^{\prime }(\text{radice})\ne 0$) e parti abbastanza vicino, la convergenza è quadratica: il numero di cifre corrette raddoppia quasi a ogni iterazione. Fermati quando $|x_{n+1}-x_n|<\epsilon$ (o su $|f(x_n)|$), e dichiara sempre la tolleranza scelta.

Interpolazione: Lagrange e Newton alle differenze divise

Dati $n+1$ punti $(x_0,y_0),\dots ,(x_n,y_n)$ con $x_i$ distinti, esiste un unico polinomio di grado al più $n$ che passa per tutti. La forma di Lagrange lo scrive come combinazione dei punti-base:

Ogni $L_i(x_i)=1$ e $L_i(x_j)=0$ per $j\ne i$: è per questo che la somma passa esattamente per tutti i punti. Facciamo un mini-esempio concreto: con i punti $(0,1)$, $(1,2)$, $(3,16)$, vuoi $P(2)$. Calcoli le tre basi in $x=2$:

La forma di Newton (differenze divise) è algebricamente equivalente ma più comoda quando devi aggiungere un punto in più senza rifare tutto il calcolo: è quella da preferire se l’esercizio chiede di “aggiornare” un’interpolazione esistente.

Quadratura: trapezi e Simpson

Il trapezio composito su $[a,b]$ diviso in $n$ sotto-intervalli di ampiezza $h=(b-a)/n$:

con errore $-\frac{(b-a)h^2}{12}{f}^{\prime \prime }(\xi )$ per un opportuno $\xi \in [a,b]$. Simpson composito (n pari) usa una parabola ogni due intervalli:

con errore $-\frac{(b-a)h^4}{180}{f}^{(4)}(\xi )$: converge molto più in fretta del trapezio (l’errore scala come $h^4$ invece che $h^2$), a parità di sforzo di calcolo.

Eulero e Runge-Kutta per ODE

Per $y^{\prime }=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$, Eulero esplicito avanza in linea retta con la pendenza corrente:

Runge-Kutta del quarto ordine (RK4) media quattro stime della pendenza dentro il passo (a inizio, due a metà passo, una a fine passo):

Eulero è del primo ordine (errore globale $O(h)$), RK4 del quarto ($O(h^4)$): con lo stesso passo $h$, RK4 è ordini di grandezza più preciso, ed è il motivo per cui negli esercizi si chiede quasi sempre di confrontarli.

Condizionamento e stabilità

Il condizionamento riguarda il problema, non il metodo: un problema mal condizionato amplifica gli errori sui dati anche con un algoritmo perfetto (esempio classico: risolvere un sistema lineare quasi singolare). La stabilità riguarda il metodo: un metodo instabile amplifica gli errori di arrotondamento ad ogni passo, indipendentemente da quanto è ben posto il problema di partenza. Tenerli distinti è quasi sempre richiesto esplicitamente in almeno una domanda del compito.

Tre esercizi svolti

Esercizio 1 — Newton per una radice cubica

Trova lo zero di $f(x)=x^3-2x-5$ partendo da $x_0=2$, con $f^{\prime }(x)=3x^2-2$, arresto quando $|x_{n+1}-x_n|<10^{-5}$.

Tra $x_2$ e $x_3$ la differenza è già sotto $10^{-5}$: la radice è $x\approx 2,09455148$. Nota la velocità: da $x_1$ a $x_2$ guadagni tre cifre corrette, da $x_2$ a $x_3$ ne guadagni altre cinque — è la convergenza quadratica in azione.

Esercizio 2 — Simpson per ${\int }_1^2\frac{1}{x}dx$

Il valore esatto è $\ln 2\approx 0,6931472$. Con $n=4$ sotto-intervalli, $h=0,25$:

Errore reale: $\approx 1,07\times 10^{-4}$. La maggiorazione teorica, con $f^{(4)}(x)=24/x^5$ e massimo $|f^{(4)}|=24$ su $[1,2]$ (raggiunto in $x=1$):

L’errore reale sta ben dentro il bound teorico, come deve essere: la maggiorazione è (giustamente) pessimista, non un valore esatto. Per confronto, il trapezio composito con lo stesso $h$ darebbe $0,6970238$ — un errore di circa $3,9\times 10^{-3}$, quasi quaranta volte peggiore con lo stesso numero di valutazioni della funzione.

Esercizio 3 — Eulero vs RK4 su $y^{\prime }=x+y$, $y(0)=1$

Soluzione esatta: $y(x)=2e^x-x-1$. Con passo $h=0,1$, due passi:

Eulero: $y_{n+1}=y_n+h(x_n+y_n)$

RK4, stesso passo:

Con lo stesso passo, RK4 è circa cinquantamila volte più preciso di Eulero dopo due passi — la differenza tra ordine 1 e ordine 4 non è una sfumatura teorica, si vede già su un esercizio piccolo.

Come lavoriamo nelle lezioni

Su calcolo numerico lavoro quasi sempre su carta e calcolatrice, non su MATLAB — perché è così che ti verrà chiesto all’esame, e perché eseguire a mano una o due iterazioni di Newton o una quadratura di Simpson è quello che ti fa capire davvero cosa succede dentro il metodo (e dove si annida l’errore quando qualcosa non torna). Partiamo dagli esercizi delle esercitazioni del tuo corso, li rifacciamo insieme con la tabella delle iterazioni scritta per intero — non solo il risultato finale — e quando il meccanismo è solido passiamo ai temi d’esame degli anni scorsi, cronometrati come se fosse il compito vero.

Se il tuo corso include anche una parte di laboratorio MATLAB, quella la vediamo a parte: trovi il percorso dedicato nella pagina di informatica, con un occhio a scrivere codice vettoriale invece che loop espliciti.

Per il quadro generale di come lavoro sulla matematica universitaria trovi la pagina di matematica; se invece stai ancora preparando un test d’ingresso e non hai ancora affrontato questi argomenti, guarda la sezione test di ammissione.

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