Successioni in Analisi 1: limiti e criteri per la prova

Fine settembre 2026, primo anno di ingegneria, matematica, fisica o economia: in molti corsi di Analisi Matematica 1 le successioni arrivano a ottobre, subito dopo numeri reali ed estremo superiore. È il primo argomento del corso che si costruisce davvero sui limiti — e di solito è anche il primo argomento della prima prova in itinere, che in molti atenei cade a metà novembre, circa sette settimane da adesso. I calendari variano parecchio da corso a corso, quindi il punto di riferimento vero resta il tuo programma d’esame, non una data “universale”.

Le successioni condividono il vocabolario dei limiti di funzione — se quello ti manca ancora, limiti spiegati bene copre la parte comune (definizione, forme indeterminate, de l’Hôpital) e qui non la ripeto. Quello che cambia con le successioni è il dominio: non più un intervallo continuo di numeri reali, ma solo i numeri naturali. Questa differenza, che sembra un dettaglio, genera alcuni strumenti che alle funzioni non servono — criterio del rapporto, criterio della radice, gerarchia degli infiniti — ed è esattamente quello che chiede la prova.

Cos’è una successione, cos’è il suo limite

Una successione è una funzione che associa a ogni numero naturale $n$ un numero reale $a_n$: $a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$. Si scrive $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ o semplicemente $a_n$. A differenza di una funzione di variabile reale, il dominio è discreto: ha senso chiedersi cosa succede per $n\to +\infty$ (l’unico limite sensato per una successione, dato che $n$ cresce sempre di 1 in 1), non per $n$ che tende a un valore finito.

Il limite di una successione si comporta come ti aspetti dai limiti di funzione, con tre esiti possibili:

• Convergente: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L$, un numero reale finito. Esempio: $a_n=\frac{1}{n}\to 0$.
• Divergente: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=+\infty$ oppure $-\infty$. Esempio: $a_n=n^2\to +\infty$.
• Irregolare (o indeterminata): il limite non esiste, né finito né infinito. L’esempio da tenere sempre a mente è

che vale alternativamente $1,-1,1,-1,\dots$ senza mai stabilizzarsi né esplodere. Non è $0$ (la media), non è $\pm 1$: non esiste, ed è un esito legittimo quanto gli altri due, non un errore di calcolo.

Successioni monotone: quando il limite esiste sempre

Una successione è monotona crescente se $a_{n+1}\ge a_n$ per ogni $n$ (decrescente se vale il verso opposto). Per le successioni monotone vale un teorema che le funzioni generiche non hanno:

Teorema di esistenza del limite per successioni monotone. Ogni successione monotona ammette limite: finito se la successione è limitata, $+\infty$ (o $-\infty$) se non lo è.

Questo è un risultato forte: una successione monotona non può mai essere irregolare. Il caso $(-1{)}^n$ visto sopra non è monotono — sale e scende in continuazione — ed è proprio per questo che può permettersi di essere irregolare.

Il numero $e$ come limite notevole

Il teorema appena visto non è solo teoria: è quello che garantisce l’esistenza di uno dei limiti più importanti dell’intera analisi, il numero di Nepero:

Si dimostra che questa successione è crescente e limitata superiormente, quindi per il teorema sopra converge a un valore finito — che per definizione chiamiamo $e\approx 2,71828\dots$. Non serve rifare quella dimostrazione a ogni esercizio: il limite notevole si usa direttamente, e la sua forma generalizzata

torna spesso nella prova, come nel terzo esercizio più sotto.

Algebra dei limiti e forme indeterminate

Somma, prodotto e quoziente di limiti di successioni convergenti si comportano esattamente come per le funzioni, e le stesse sette forme indeterminate valgono qui:

C’è però una differenza pratica importante. De l’Hôpital e gli sviluppi di Taylor sono strumenti definiti per funzioni di variabile reale, con una derivata rispetto a una variabile continua: non hanno senso applicati direttamente a $n$, che salta di intero in intero. Per usarli su una successione bisogna prima passare alla funzione corrispondente $f(x)$, ottenuta scrivendo la stessa espressione ma lasciando che $x$ vari con continuità, calcolare ${\lim }_{x\to \infty }f(x)$ con gli strumenti delle funzioni, e solo allora concludere che ${\lim }_{n\to \infty }f(n)$ vale lo stesso limite — perché se una funzione ha limite per $x\to \infty$, anche la successione dei suoi valori sugli interi ha lo stesso limite. Il passaggio inverso, però, non vale: una successione può convergere anche quando la funzione corrispondente non ha alcun limite. L’esempio da ricordare è $a_n=\sin (\pi n)$: vale $0$ per ogni $n$ intero (successione costante, converge banalmente a $0$), mentre $f(x)=\sin (\pi x)$ come funzione reale oscilla per sempre e non ha limite per $x\to \infty$. Confondere le due cose — trattare una successione come se fosse “la stessa cosa” della funzione che la genera — è uno degli errori più comuni, ripreso più sotto.

La gerarchia degli infiniti

Quando in una forma indeterminata compaiono insieme logaritmi, potenze, esponenziali e fattoriali, conviene avere a memoria l’ordine di crescita, dal più lento al più veloce, per $n\to +\infty$:

Il simbolo $\ll$ si legge “è trascurabile rispetto a”: significa che il rapporto tra il termine a sinistra e quello a destra tende a $0$. Questa gerarchia risolve all’istante moltissime forme $\frac{\infty }{\infty }$ senza bisogno di altri strumenti: in un rapporto tra un fattoriale e una potenza, per esempio, vince sempre il fattoriale, qualunque sia la base della potenza.

Criterio del rapporto e criterio della radice

Per successioni a termini positivi che coinvolgono fattoriali o potenze, due criteri evitano di dover ragionare “a occhio” sulla gerarchia:

Criterio del rapporto. Se esiste $L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}$, allora:

• se $L<1$, la successione tende a $0$;
• se $L>1$ (anche $L=+\infty$), la successione diverge a $+\infty$;
• se $L=1$, il criterio non dice nulla: serve un altro metodo.

Criterio della radice. Se esiste $L=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}$, valgono le stesse tre conclusioni di sopra sostituendo il rapporto con la radice $n$-esima. I due criteri sono equivalenti nella maggior parte dei casi pratici; il rapporto è quasi sempre più comodo quando compaiono fattoriali, perché $\frac{(n+1)!}{n!}=n+1$ semplifica immediatamente.

Teorema del confronto (dei carabinieri)

Quando una successione è “stretta” fra altre due che hanno lo stesso limite, quel limite si trasmette:

Se $b_n\le a_n\le c_n$ definitivamente (cioè da un certo $n$ in poi) e ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n={\lim }_{n\to \infty }{c}_n=L$, allora anche ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L$.

Il nome informale (“dei carabinieri”) descrive l’immagine: $a_n$ è il sospetto scortato da due carabinieri che vanno entrambi nello stesso posto — non può fare altro che arrivarci anche lui. È lo strumento giusto ogni volta che una successione contiene una funzione limitata (come $\sin n$ o $\cos n$) moltiplicata o divisa per qualcosa che tende a zero o a infinito: il quarto esercizio più sotto è il caso da manuale.

Quattro esercizi svolti

1. Rapporto con radice: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{9n^2+n}}{3n+1}$

Raccolgo $n$ sotto radice al numeratore (per $n>0$, $n=\sqrt{n^2}$) e $n$ al denominatore:

Per $n\to \infty$, $\frac{1}{n}\to 0$, quindi il numeratore tende a $\sqrt{9}=3$ e il denominatore a $3$:

2. Criterio del rapporto: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}$

Con $a_n=\frac{2^n}{n!}$, calcolo il rapporto tra un termine e il precedente:

Poiché $L=0<1$, per il criterio del rapporto $a_n\to 0$. Coerente con la gerarchia degli infiniti vista sopra: $n!$ cresce più in fretta di qualunque esponenziale $a^n$, quindi il rapporto tra i due schiaccia a zero.

3. Limite notevole di $e$: $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{3}{n}\right)}^n$

Riscrivo l’esponente $n$ come $3\cdot \frac{n}{3}$, per far comparire la forma del limite notevole:

Per $n\to \infty$ anche $\frac{n}{3}\to \infty$, e ${\left(1+\frac{3}{n}\right)}^{n/3}$ è esattamente il limite notevole ${\left(1+\frac{1}{m}\right)}^m$ con $m=\frac{n}{3}$, che tende a $e$:

4. Teorema del confronto: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}$

Il seno è limitato per ogni valore del suo argomento: $-1\le \sin n\le 1$ per ogni $n$. Dividendo tutti i membri per $n>0$ (la disuguaglianza non cambia verso, perché $n$ è positivo):

Entrambe le successioni ai lati, $-\frac{1}{n}$ e $\frac{1}{n}$, tendono a $0$ per $n\to \infty$. Per il teorema del confronto, anche la successione centrale ci è costretta:

Nota che questo non ha nulla a che vedere con ”$\sin n$ ha limite”: $\sin n$ da solo è irregolare (oscilla per sempre fra $-1$ e $1$, come $(-1{)}^n$ dell’inizio). È dividere per $n$, che tende a infinito, a schiacciare l’oscillazione fino a zero.

Per allenarti su altri esercizi di questo tipo prima della prova, la simulazione di Analisi 1 copre l’intero programma con 20 domande: la risposta corretta di ogni domanda è gratis, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione.

Errori tipici

• ”$1^{\infty }=1$.” È una forma indeterminata, non un valore. Il terzo esercizio sopra è proprio un $1^{\infty }$ mascherato ($1+\frac{3}{n}\to 1$, l’esponente $\to \infty$) e il risultato vero è $e^3$, non $1$: la base si avvicina a $1$ ma l’esponente cresce abbastanza in fretta da cambiare il risultato. Ogni volta che vedi una base che tende a $1$ elevata a un esponente che tende a infinito, è un campanello d’allarme, non una scorciatoia.
• Confondere una successione con la funzione che la genera. $a_n=\sin (\pi n)$ è la successione costante $0$ (converge banalmente), mentre $f(x)=\sin (\pi x)$ come funzione di variabile reale non ha limite per $x\to \infty$. Il passaggio “da funzione a successione” è lecito (se $f(x)\to L$ allora $f(n)\to L$), il contrario no.
• Concludere qualcosa dal criterio del rapporto (o della radice) quando $L=1$. In quel caso il criterio è muto: bisogna cambiare strumento, non forzare una conclusione che il criterio non dà.
• Dimenticare “definitivamente” nel teorema del confronto. La disuguaglianza $b_n\le a_n\le c_n$ deve valere da un certo indice in poi, non necessariamente per ogni $n$ fin dall’inizio: sapere questo evita di scartare per errore un teorema del confronto valido solo perché i primi due o tre termini non rispettano la disuguaglianza.

Come lavoro in lezione

Con chi arriva su questo capitolo, il primo lavoro è separare due cose che spesso restano mescolate: riconoscere che tipo di limite hai davanti (rapporto tra polinomi, forma con fattoriali, esponente variabile, successione limitata per qualcosa che tende a zero) e solo dopo scegliere lo strumento — gerarchia, criterio del rapporto, limite notevole, confronto. Prima ancora di iniziare i conti, faccio sempre calcolare i primi termini a mano: vedere che $\frac{2^n}{n!}$ cresce per un po’ e poi crolla insegna più di dieci righe di teoria sul perché vince il fattoriale.

Se vuoi una mano, parti da una chiamata conoscitiva gratuita di 30 minuti: serve proprio a capire su quale criterio vale la pena concentrarsi prima della prova.

Per il resto della preparazione di Analisi 1, i passi naturali accanto alle successioni sono i limiti di funzione, gli integrali più avanti nel semestre e i numeri complessi, che molti corsi trattano nelle stesse settimane. Se il primo mese di corso ha lasciato scoperture sulle basi da liceo, OFA di matematica: come chiuderlo entro il primo anno affronta lo stesso tipo di recupero mirato. Il quadro completo della materia è sulla pagina di matematica; le lezioni universitarie sono descritte su /ripetizioni-universitarie/.