Propagazione del calore: conduzione, convezione e irraggiamento

In seconda, sia negli istituti tecnici del settore tecnologico sia nei licei, la termologia si spiega fra novembre e dicembre: scale di temperatura, dilatazione, calore specifico, propagazione del calore e calore latente. La verifica cade di solito fra metà dicembre e gennaio, quindi hai cinque-otto settimane. La propagazione del calore sembra il capitolo “facile” perché ci sono più parole che formule, e proprio per questo si sbaglia: si studia a memoria la definizione di conduzione, poi in verifica arriva un esercizio con $k$, area e spessore e la classe si blocca. Conviene portarsi avanti di un passo rispetto al professore, e questo post serve a quello.

Calore specifico ed equilibrio termico (la regola “calore ceduto uguale a calore assorbito” è il punto dove in verifica si perdono più punti) li ho già trattati in calore specifico ed equilibrio termico, e dilatazione e passaggi di stato in calore latente, dilatazione termica e passaggi di stato. Qui c’è solo l’altro pezzo: come il calore passa da un corpo all’altro.

Calore e temperatura, in due righe

La temperatura dice quanto è agitato in media il materiale di cui è fatto un corpo. Il calore è energia che passa da un corpo a temperatura più alta a uno a temperatura più bassa, e si misura in joule. Se due corpi hanno la stessa temperatura non c’è passaggio di calore. Il calore passa in tre modi, e ciascuno ha le sue regole.

Conduzione: il calore passa attraverso la materia

Nella conduzione l’energia passa da una particella all’altra per urti e vibrazioni, senza che il materiale si muova. Succede soprattutto nei solidi: il manico di un cucchiaino lasciato in una pentola ti scotta le dita anche se il metallo non è fermo da nessuna parte.

Per una lastra di materiale (una parete, un vetro, il fondo di una pentola) vale la legge di Fourier:

con $\Phi$ il flusso di calore, cioè l’energia che passa ogni secondo, in watt (W). Gli altri simboli:

• $k$: conducibilità termica del materiale, in $\text{W}/(\text{m}\cdot \text{K})$;
• $A$: area della superficie attraversata, in ${\text{m}}^2$;
• $\Delta T$: differenza di temperatura fra le due facce, in K (oppure in ${}^{\circ }\text{C}$: una differenza ha lo stesso valore);
• $d$: spessore della lastra, in m.

Leggila come una frase: passa più calore se il materiale conduce bene ($k$ grande), se la superficie è grande, se la differenza di temperatura è grande, e meno se la parete è spessa. Due facce che hanno la stessa temperatura non scambiano nulla, perché $\Delta T=0$.

Valori tipici di $k$ (sono approssimati, i libri ne danno di leggermente diversi, usa sempre quelli del testo o del problema):

Un buon conduttore ha $k$ alto, un buon isolante ha $k$ basso. L’aria è un isolante eccellente, a patto che resti ferma: per questo i doppi vetri hanno una camera d’aria fra le lastre, e un piumino scalda perché intrappola aria fra le piume. Il rame invece conduce circa 500 volte meglio del vetro e quasi 3000 volte meglio del legno: per questo il fondo delle pentole buone è di rame o di alluminio.

Esercizio 1: il flusso attraverso una finestra

Un vetro ha area $A=1,2{\text{m}}^2$, spessore $d=5\text{mm}$ e conducibilità $k=0,8\text{W}/(\text{m}\cdot \text{K})$. All’interno ci sono $20{}^{\circ }\text{C}$, all’esterno $10{}^{\circ }\text{C}$. Calcola il flusso di calore e l’energia che passa in un’ora.

1. Differenza di temperatura: $\Delta T=20-10=10\text{K}$.
2. Lo spessore va in metri: $d=5\text{mm}=0,005\text{m}$. Se dimentichi questa conversione sbagli di mille volte. Per le conversioni vedi unità di misura e notazione scientifica.
3. Applico la formula:

4. In un’ora ($3600\text{s}$) l’energia è $E=\Phi t=1920\cdot 3600=6912000\text{J}\approx 6,9\text{MJ}$.

Un watt è un joule al secondo, per questo la potenza per il tempo dà l’energia. Il risultato è alto perché un vetro singolo e sottile è un pessimo isolante: è esattamente il motivo per cui si montano i doppi vetri.

Se vuoi provare subito altri problemi di questo tipo, la verifica di termologia a livello liceo è su /simulazioni/verifiche-liceo/seconda/termologia/: vale anche per chi frequenta un tecnico, perché il programma di termologia in seconda è lo stesso. Ogni domanda ti dice subito se hai risposto bene, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Esercizio 2: quanto tempo ci vuole

Una parete di legno ha area $A=6{\text{m}}^2$, spessore $d=4\text{cm}$ e $k=0,15\text{W}/(\text{m}\cdot \text{K})$. Dentro ci sono $25{}^{\circ }\text{C}$, fuori $5{}^{\circ }\text{C}$. Quanto tempo serve perché passino $1,35\text{MJ}$ di energia?

1. $\Delta T=25-5=20\text{K}$ e $d=0,04\text{m}$.
2. Flusso:

3. L’energia è $E=\Phi t$, quindi $t=E/\Phi$. Converto $1,35\text{MJ}=1350000\text{J}$:

Controllo di coerenza: se raddoppio lo spessore a $8\text{cm}$ il flusso si dimezza ($225\text{W}$) e il tempo raddoppia ($6000\text{s}$, cioè 100 minuti). Se il risultato non rispetta questa proporzionalità, hai invertito qualcosa.

Esercizio 3: una barra di rame

Una barra di rame lunga $0,5\text{m}$ ha una sezione di $2{\text{cm}}^2$ e le due estremità sono a $100{}^{\circ }\text{C}$ e a $0{}^{\circ }\text{C}$. Con $k=400\text{W}/(\text{m}\cdot \text{K})$, quanto vale il flusso di calore?

Qui lo spessore $d$ è la lunghezza della barra, e l’area è la sezione. L’insidia è l’area: $1{\text{cm}}^2=10^{-4}{\text{m}}^2$ (un centimetro quadrato è un quadratino di $0,01\times 0,01\text{m}$), quindi $2{\text{cm}}^2=2\cdot 10^{-4}{\text{m}}^2$.

Per confronto, un’asticella di legno con le stesse dimensioni ($k=0,15$) lascerebbe passare appena $0,006\text{W}$: è la differenza fra un metallo che scotta e un legno che non scotta. Se avessi convertito male l’area (per esempio $2{\text{cm}}^2=0,02{\text{m}}^2$) avresti ottenuto 1600 W, cento volte di più.

Convezione: il calore viaggia con il fluido

Nei liquidi e nei gas il calore si propaga soprattutto perché il fluido stesso si muove. Una porzione di fluido scaldata si dilata, diventa meno densa e sale; quella fredda, più densa, scende e prende il suo posto. Si forma così una corrente che trasporta energia da una zona all’altra.

Esempi concreti:

• Termosifone. Scalda l’aria vicina, che sale verso il soffitto; l’aria fredda scende lungo le finestre e arriva al termosifone, e il giro ricomincia. Per questo il termosifone si mette sotto la finestra, dove l’aria è più fredda.
• Brezza marina. Di giorno la terra si scalda più del mare, l’aria sopra la terra sale e dal mare arriva aria più fresca. Di notte il processo si inverte.
• Pentola d’acqua sul fuoco. L’acqua del fondo si scalda e sale, quella più fredda scende.
• Caldaia e impianto a circolazione. L’acqua calda è spinta da una pompa nei tubi: è convezione forzata.

Si distingue infatti la convezione naturale, dovuta solo alle differenze di densità, e quella forzata, in cui qualcosa muove il fluido (una pompa, un ventilatore, il phon, il vento). La convezione forzata scambia calore molto più in fretta, ed è il motivo per cui con il vento senti più freddo. Nella convezione il fluido è libero di muoversi, quindi non succede nel vuoto e quasi non succede nei solidi.

In seconda la convezione è quasi sempre una domanda teorica, non un calcolo: impara bene gli esempi, perché ti chiedono spesso “in quale caso prevale la convezione?”.

Irraggiamento: il calore passa anche nel vuoto

L’irraggiamento è il trasferimento di energia tramite onde elettromagnetiche (nella zona dell’infrarosso, ma anche luce visibile a temperature alte). Non ha bisogno di materia: il calore del Sole ci arriva attraverso il vuoto dello spazio. Anche la stufa che senti sul viso a distanza, quando sposti la mano di lato, ti scalda per irraggiamento e non per l’aria.

Ogni corpo emette radiazione, e più è caldo più ne emette. La potenza emessa da una superficie è data dalla legge di Stefan-Boltzmann:

dove:

• $\sigma =5,67\cdot 10^{-8}\text{W}/({\text{m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$ è la costante di Stefan-Boltzmann;
• $A$ è l’area della superficie che emette, in ${\text{m}}^2$;
• $T$ è la temperatura della superficie in kelvin;
• $\epsilon$ è l’emissività, un numero fra 0 e 1 che dipende dalla superficie.

Per un corpo nero (un oggetto ideale che assorbe ed emette il massimo possibile) $\epsilon =1$. Le superfici scure e opache si avvicinano a questo valore, quelle chiare e lucide hanno $\epsilon$ piccolo: un tessuto nero assorbe più radiazione solare di uno bianco, ed è per questo che d’estate si preferiscono i vestiti chiari. Una coperta termica dorata e lucida riflette il calore del corpo e lo fa restare dov’è.

Due cose da ricordare. La prima: la potenza dipende da $T^4$, quindi raddoppiando la temperatura la potenza emessa diventa $2^4=16$ volte più grande. La seconda: $T$ è in kelvin, mai in gradi Celsius. Qui, a differenza della conduzione, la differenza non basta: la formula usa la temperatura assoluta.

Per passare da una all’altra: $T(\text{K})=t{(}^{\circ }\text{C})+273$ (o $273,15$ se il problema è preciso). La formula dà la potenza emessa; il bilancio con la radiazione assorbita dall’ambiente è un tema da anni successivi.

Esercizio 4: la potenza irraggiata

Una piastra di area $A=0,5{\text{m}}^2$ ed emissività $\epsilon =0,9$ è a $327{}^{\circ }\text{C}$. Calcola la potenza irraggiata e dimmi quanto diventa se la temperatura assoluta raddoppia.

1. In kelvin: $T=327+273=600\text{K}$.
2. $T^4=600^4=1,296\cdot 10^{11}{\text{K}}^4$ (perché $6^4=1296$ e $100^4=10^8$).
3. Applico la formula:

Calcolo a pezzi: $5,67\cdot 10^{-8}\cdot 1,296\cdot 10^{11}=7,348\cdot 10^3=7348{\text{W/m}}^2$; poi $0,9\cdot 0,5=0,45$ e $7348\cdot 0,45\approx 3307\text{W}$. Quindi $P\approx 3,3\text{kW}$.

4. Se $T$ raddoppia a $1200\text{K}$ la potenza è moltiplicata per $2^4=16$:

Attento al testo: raddoppiare la temperatura significa $600\text{K}\to 1200\text{K}$ (cioè $927{}^{\circ }\text{C}$), non $327{}^{\circ }\text{C}\to 654{}^{\circ }\text{C}$.

Per vedere quanto conta l’errore dei gradi Celsius, prova con una superficie che passa da $20{}^{\circ }\text{C}$ a $40{}^{\circ }\text{C}$. Chi scrive “la temperatura è raddoppiata, quindi $16$ volte” sbaglia: in kelvin si passa da $293\text{K}$ a $313\text{K}$ e il rapporto è $(313/293{)}^4\approx 1,30$, cioè solo il $30\%$ in più.

Gli errori che vedo di più

1. Confondere calore e temperatura. “Il ghiaccio è freddo, quindi contiene freddo” non è fisica: il calore va dal corpo più caldo al più freddo, non il contrario.
2. Usare i gradi Celsius in Stefan-Boltzmann. In Fourier puoi usare indifferentemente K o ${}^{\circ }\text{C}$ per $\Delta T$, in Stefan-Boltzmann no: $T$ è assoluta.
3. Dimenticare l’area (o usare centimetri quadrati senza convertirli). Vale per entrambe le formule, e spesso l’area è il dato che il testo nasconde dentro una figura o in “una finestra di $1,2\text{m}$ per $1\text{m}$”.
4. Scrivere lo spessore in millimetri e il resto in metri. Controlla le unità prima di fare il calcolo: se $k$ è in $\text{W}/(\text{m}\cdot \text{K})$, $d$ va in metri.
5. Dire che la convezione avviene nel vuoto, o che l’irraggiamento ha bisogno dell’aria. È una domanda da verifica frequentissima.

Come usare le settimane che hai

Se la verifica è a metà dicembre o a gennaio, hai tempo. Un ritmo realistico: una sera per la conduzione e la legge di Fourier (rifai gli esercizi 1-3 senza guardare), una per convezione e irraggiamento con gli esempi a memoria e l’esercizio 4, una per il calore specifico e l’equilibrio termico, dove si perdono più punti. Poi fai la verifica di termologia una volta a freddo, solo per sapere dove sei. Più avanti, in quarta, il calore ritornerà nel primo principio: se sei curioso c’è il primo principio della termodinamica, ma per ora non serve.

Se vuoi una mano a prepararla, la fisica che seguo la trovi su /materie/fisica/, e la diagnosi gratuita è su /contatti/.