Integrali indefiniti: immediati, sostituzione, per parti

Metà ottobre 2026: in quinta, al liceo scientifico e negli altri indirizzi con la matematica a pieno programma, siete alle derivate e ai teoremi di Rolle, Lagrange e De L’Hôpital. Gli integrali indefiniti di solito partono a novembre-dicembre, e il primo compito sul tema cade fra sei e dieci settimane, a dicembre o a gennaio. Il post esce prima che il prof cominci, apposta: gli integrali si imparano meglio se arrivi alla prima lezione con l’idea chiara di che cosa stai facendo, e con la tabella delle derivate già in testa.

Gli integrali sono l’argomento di quinta in cui la differenza tra chi ha un metodo e chi no si vede subito. Non c’è un algoritmo unico come per le derivate: devi scegliere la tecnica giusta. Ma le tecniche sono poche, e la scelta si fa con un paio di domande. Qui trovi la teoria minima, la tabella, le tre tecniche del programma di liceo e tre esercizi svolti, con la verifica fatta derivando il risultato.

Primitiva e integrale indefinito

Una funzione $F(x)$ è una primitiva di $f(x)$ se la sua derivata è $f(x)$:

Se $F$ è una primitiva, anche $F+3$ lo è, e $F-100$, perché la derivata di una costante è zero. Per questo l’insieme di tutte le primitive si scrive con una costante arbitraria, ed è l’integrale indefinito:

Integrare è quindi l’operazione inversa del derivare. Ed è la ragione per cui la verifica è sempre possibile: derivi il risultato e devi ritrovare la funzione che stavi integrando. Se hai studiato bene le derivate, gli integrali sono la stessa tabella letta al contrario. Se invece sulle derivate hai ancora dubbi, sistemali adesso: il primo mese di integrali ne è pieno.

La tabella degli integrali immediati

Questi sono i risultati da sapere a memoria. Sono le derivate che conosci, scritte al contrario.

Due note. Il valore assoluto in $\ln |x|$ non è un dettaglio: serve perché $\frac{1}{x}$ è definita anche per $x<0$. E il caso $n=-1$ è l’eccezione della prima riga, ed è quello che produce il logaritmo.

Linearità

Due proprietà che usi in ogni esercizio: la costante esce dall’integrale e l’integrale di una somma è la somma degli integrali.

Per questo un polinomio si integra termine a termine:

Attenzione però: non vale la stessa cosa per il prodotto. $\int x\cdot e^{x}dx$ non è $\int xdx\cdot \int e^{x}dx$. È l’errore tipico di chi sta studiando in fretta, e per i prodotti servono le tecniche qui sotto.

Sostituzione

L’idea è l’inverso della regola della catena. Se dentro l’integrale c’è una funzione composta e, moltiplicata, la derivata della funzione interna, poni $t=g(x)$ e l’integrale diventa più semplice. La struttura che devi imparare a riconoscere è

Tre casi che compaiono sempre e che conviene sapere come “regole rapide”:

Quando la derivata interna manca per una costante, la si aggiusta. Per esempio

perché la derivata di $3x$ è $3$, e io devo dividere per $3$ per compensare. Dimenticare quel $\frac{1}{3}$ è uno degli errori che vedo di più: la verifica lo segnala subito, perché derivando $\sin (3x)$ esce $3\cos (3x)$.

Se la derivata interna manca per una funzione di $x$ (non una costante), il metodo di solito non funziona e va cercata un’altra strada.

Integrazione per parti

Dalla regola di derivazione del prodotto si ricava

Si usa quando c’è un prodotto di funzioni di tipo diverso, per esempio un polinomio per un esponenziale, o un logaritmo da solo. La scelta di chi sia $u$ (la parte che derivi) e chi $v^{\prime }$ (la parte che integri) decide se l’esercizio diventa facile o impossibile.

La regola mnemonica è LIATE, l’ordine di priorità per $u$:

• Logaritmi
• Inverse trigonometriche (arcsin, arctan)
• Algebriche (polinomi, potenze)
• Trigonometriche
• Esponenziali

La prima famiglia della lista che compare nell’integrale è $u$; il resto, con $dx$, è $v^{\prime }$. Non è una legge di natura, è una guida che funziona quasi sempre al liceo. Il criterio vero è: $u$ deve semplificarsi quando la derivi, e $v^{\prime }$ deve essere facile da integrare.

Esempio:

Algebrica e trigonometrica: $u=x$, $v^{\prime }=\cos x$, quindi $u^{\prime }=1$ e $v=\sin x$. Allora

Se avessi scelto al contrario ($u=\cos x$, $v^{\prime }=x$) l’integrale si sarebbe complicato, con $x^2$ che compare nel nuovo integrale. È il segnale che hai invertito i ruoli. A volte per parti va applicato due volte di seguito (per esempio con $x^2{e}^x$): ogni passaggio abbassa di uno il grado del polinomio, finché sparisce.

Funzioni razionali fratte

Sono integrali del tipo $\frac{N(x)}{D(x)}$, polinomio su polinomio. Al liceo di solito il denominatore ha grado $2$ e il numeratore grado minore (se il numeratore ha grado uguale o maggiore si fa prima la divisione tra polinomi). La procedura dipende dal discriminante $\Delta$ del denominatore.

Caso $\Delta >0$: il denominatore ha due radici distinte $x_1,x_2$ e si scompone in $(x-x_1)(x-x_2)$. La frazione si spezza in fratti semplici:

I numeri $A$ e $B$ si trovano sostituendo $x=x_1$ e $x=x_2$ nell’identità, dopo aver tolto i denominatori. Ognuno dei due fratti dà poi un logaritmo.

Caso $\Delta =0$: il denominatore è un quadrato, $(x-x_0{)}^2$. Conviene riscrivere il numeratore in funzione di $x-x_0$, in modo da ottenere un logaritmo più una potenza negativa:

Caso $\Delta <0$: il denominatore non si scompone e compare l’arcotangente, spesso insieme a un logaritmo. In molti programmi di liceo si vede soltanto in forma semplice, come $\int \frac{1}{x^2+1}dx$, quindi non lo tratto qui: chiedi al tuo prof fin dove si spinge. Se vuoi vedere come si arriva anche a quel caso, la versione universitaria di questi argomenti è in integrali spiegati bene per Analisi I, dove il taglio è più formale e comprende gli integrali impropri.

Tre esercizi svolti

Prova a risolverli prima di guardare. In tutti e tre, alla fine, derivo il risultato per controllarlo.

Esercizio 1: sostituzione

Dentro c’è $x^2+3$ e fuori $x$, che è metà della sua derivata ($2x$). Pongo $t=x^2+3$, quindi $dt=2xdx$ e $xdx=\frac{1}{2}dt$:

Dimenticare di tornare in $x$ è l’errore classico: la risposta deve contenere $x$, non $t$.

Verifica: derivo $\frac{(x^2+3{)}^5}{10}$ con la regola della catena:

È la funzione di partenza. Torna.

Esercizio 2: per parti

Per LIATE il logaritmo viene prima dell’algebrica: $u=\ln x$, $v^{\prime }=x$. Allora $u^{\prime }=\frac{1}{x}$ e $v=\frac{x^2}{2}$:

L’ultimo integrale è immediato:

Verifica: derivo il risultato.

Torna. Per allenarti con compiti nello stile della prova di quinta, ci sono le simulazioni di maturità di matematica: sono pensate per la seconda prova.

Esercizio 3: funzione razionale con $\Delta >0$

Il denominatore ha $\Delta =25-24=1>0$ e si scompone in $(x-2)(x-3)$. Cerco $A$ e $B$ tali che

Tolgo i denominatori:

Pongo $x=2$: $3=A(-1)$, quindi $A=-3$. Pongo $x=3$: $4=B\cdot 1$, quindi $B=4$. L’integrale diventa

Verifica: derivo il risultato e metto a denominatore comune.

Torna. Se avessi avuto $\Delta =0$, per esempio $\int \frac{x}{(x-1{)}^2}dx$, avrei usato la riscrittura vista sopra e ottenuto $\ln |x-1|-\frac{1}{x-1}+c$.

Come scegliere la tecnica

Davanti a un integrale non partire a caso. Fatti queste domande, in quest’ordine:

1. È immediato? Controlla la tabella, anche dopo aver sistemato una costante (come in $\cos (3x)$).
2. C’è una funzione composta con la sua derivata? Allora è una sostituzione, o una delle tre regole rapide: $f^{\prime }{f}^n$, $\frac{f^{\prime }}{f}$, $f^{\prime }{e}^f$.
3. È un prodotto tra funzioni di famiglie diverse? Allora è per parti, con LIATE per scegliere $u$.
4. È un polinomio fratto? Allora si guarda il $\Delta$ del denominatore e si usano i fratti semplici.

Se nessuna funziona, prima di arrenderti prova a riscrivere l’integrando: spezzare una frazione, dividere, completare il quadrato. Molti integrali “difficili” diventano immediati dopo una riscrittura di due righe.

Gli errori che costano punti

• Dimenticare il $+c$. In un integrale indefinito è obbligatorio, e molti prof tolgono mezzo punto o un punto intero ogni volta.
• Dimenticare la derivata interna. $\int e^{2x}dx$ non è $e^{2x}$ ma $\frac{1}{2}{e}^{2x}$. La verifica lo segnala subito.
• Spezzare un prodotto come $\int fg=\int f\cdot \int g$. Non esiste, mai.
• Invertire $u$ e $v^{\prime }$ nella parte e ritrovarsi un integrale più difficile di quello di partenza. Se peggiora, hai scelto male.
• Dimenticare il valore assoluto nel logaritmo: $\ln |x|$, non $\ln x$, a meno che il testo non dica $x>0$.
• Non tornare in $x$ dopo una sostituzione: il risultato finale non deve contenere $t$.
• Segni nelle derivate delle funzioni trigonometriche: $\int \sin xdx=-\cos x$, con il meno. Se lo perdi, la verifica non torna.
• Non verificare. Derivare il risultato costa un minuto e segnala quasi tutti gli errori, perché la derivata è una procedura meccanica che conosci già bene.

Come prepararsi nelle prossime settimane

Il compito è lontano, e questo è un vantaggio: gli integrali si imparano per volume, non per intuizione. Il piano che consiglio:

1. Adesso, prima che il prof cominci: ripassa la tabella delle derivate, in particolare la regola della catena. Se ti serve ripassare i teoremi, Rolle, Lagrange e De L’Hôpital con esercizi li ricostruisce uno per uno, e lo studio di funzione con la derivata prima è un buon test per le derivate.
2. Nelle prime due settimane di integrali: impara a memoria la tabella e fai almeno dieci immediati al giorno, per i primi giorni. Sono la base su cui poggia tutto il resto.
3. Poi sostituzione e per parti: cinque esercizi per tipo, sempre verificati derivando. La verifica è la tua correzione: se la sai fare, non hai bisogno che qualcuno ti dica se hai sbagliato.
4. Due settimane prima del compito: mescola i tipi. Il compito non ti dice che tecnica usare, quindi esercitarti a riconoscerla è metà dell’allenamento.

Una nota: in quinta gli integrali non finiscono con gli indefiniti. Arrivano poi l’integrale definito, le aree e i volumi, e sono la parte che compare nella seconda prova di maturità. Tutto quello che si fa sugli indefiniti serve lì, quindi non ha senso accontentarsi di una sufficienza stentata adesso. L’inquadramento generale della materia è nella pagina Matematica.

Se non riesci a scegliere la tecnica

La difficoltà di quasi tutti gli studenti di quinta, sugli integrali, non è il calcolo: è il primo sguardo, quello che dovrebbe dirti “qui è per parti” o “qui c’è una sostituzione”. Si allena con tanti esempi guardati insieme a voce alta. Se vuoi un aiuto, scrivimi dalla pagina contatti: facciamo una diagnosi gratuita, mi mandi tre integrali che non ti tornano e ti dico dove si inceppa la scelta del metodo.