Gratis · 3ª superiore · 60 minuti · 20 quesiti

Prova di recupero debito matematica — 3ª superiore, liceo scientifico.

Sei in 3ª superiore (terza) e devi recuperare il debito di matematica? 20 quesiti estratti a caso da una banca di 50, sul programma di 3ª: ogni tentativo è una prova diversa. Punteggio come al TOLC (+1 corretta, −0,25 errata, 0 omessa), e alla fine ricevi via email la risposta corretta di ogni quesito con i punti deboli per argomento — con un account li vedi subito qui in pagina (la soluzione passo passo si sblocca con la prima lezione).

Prova preparata da Gaetano Livornese · Ingegnere aerospaziale, Politecnico di Milano · tutor di matematica e fisica · aggiornata settembre 2026

Programma coperto dalla prova

Equazioni e disequazioni con modulo e irrazionali
Disequazioni di grado superiore e fratte
Funzioni: dominio, composizione, inversa
Retta e fasci di rette
Parabola e circonferenza
Ellisse e iperbole
Trasformazioni di grafici

Due esercizi svolti dalla prova

Quesito 1 · Matematica · Equazioni e disequazioni con modulo e irrazionali

Risolvi l'equazione $∣2 x - 3∣ = 5$ .

A $x = 4$
B $x = - 4 \lor x = 4$
C $x = - 1 \lor x = 4$ risposta corretta
D $x = - 1$
E $x = 1 \lor x = 4$

Soluzione

Devo trovare i valori di $x$ per cui l'espressione dentro il modulo vale $5$ oppure $- 5$ : infatti $∣ A ∣ = k$ (con $k > 0$ ) significa sempre $A = k \lor A = - k$ .

Passo 1 — Primo caso, $2 x - 3 = 5$ .

$2 x - 3 = 5 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4$

Passo 2 — Secondo caso, $2 x - 3 = - 5$ .

$2 x - 3 = - 5 \Rightarrow 2 x = - 2 \Rightarrow x = - 1$

Entrambi i valori sono soluzioni accettabili: il modulo è sempre $\geq 0$ e qui il termine a destra, $5$ , è già positivo, quindi non serve nessuna verifica ulteriore (a differenza dei casi in cui il termine a destra contiene la $x$ ).

Risposta $x = - 1 \lor x = 4$ . Se avevi scelto solo $x = 4$ , probabilmente hai risolto il primo caso e ti sei fermato lì, dimenticando che un'equazione con il modulo si spezza sempre in due equazioni distinte da risolvere entrambe.

Quesito 2 · Matematica · Equazioni e disequazioni con modulo e irrazionali

Risolvi l'equazione $∣ x - 2∣ = 2 x - 1$ .

A $x = - 1$
B $x = - 1 \lor x = 1$
C $x = 1$ risposta corretta
D $x = \frac{1}{2}$
Enessuna soluzione

Soluzione

Perché $∣ x - 2∣ = 2 x - 1$ abbia senso, il termine a destra deve essere $\geq 0$ : il modulo non è mai negativo, quindi qualunque cosa sia uguale a un modulo deve esserlo a sua volta. Questa condizione va sempre verificata quando il modulo è uguagliato a un'espressione con la $x$ .

Passo 1 — Condizione di esistenza.

$2 x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$

Passo 2 — Primo caso, $x - 2 \geq 0$ cioè $x \geq 2$ .

$x - 2 = 2 x - 1 \Rightarrow x = - 1$

Non compatibile con $x \geq 2$ né con la condizione $x \geq \frac{1}{2}$ : si scarta.

Passo 3 — Secondo caso, $x - 2 < 0$ cioè $x < 2$ .

$- (x - 2) = 2 x - 1 \Rightarrow - x + 2 = 2 x - 1 \Rightarrow 3 x = 3 \Rightarrow x = 1$

$x = 1$ soddisfa $x < 2$ : coerente con il caso
$x = 1$ soddisfa la condizione $x \geq \frac{1}{2}$ : verificata

Risposta $x = 1$ . Se avevi scelto $x = - 1 \lor x = 1$ , hai risolto correttamente i due casi ma hai dimenticato di controllare la condizione $2 x - 1 \geq 0$ , che scarta proprio $x = - 1$ .

Nella simulazione online trovi altri 18 quesiti come questi; risposta corretta di ogni quesito via email.

Preferisci la carta? Scarica la prova in PDF (20 quesiti, 6 pagine · 110 KB, da stampare). Le soluzioni le ricevi via email dopo averla fatta online.

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Cosa chiede davvero la prova di 3ª superiore

La prova di recupero di matematica di 3ª non pesca a caso in tutto il programma: sono sempre gli stessi quattro o cinque schemi, a difficoltà da libro di testo. Questi sono quelli che tornano quasi sempre.

Una disequazione con valore assoluto o irrazionale, con la discussione dei casi
Il dominio di una funzione, spesso fratta e con una radice
La parabola per tre punti, o la tangente a una parabola da un punto esterno
Il passaggio dall’equazione generale della circonferenza a centro e raggio

Gli errori che costano il voto

Alla prova di settembre non si viene bocciati per gli argomenti difficili: si viene bocciati per tre o quattro errori meccanici che si ripetono in ogni esercizio. Su questo programma sono questi.

Elevare al quadrato un’equazione irrazionale senza imporre radicando ≥ 0 e secondo membro ≥ 0, e tenersi soluzioni che non sono accettabili
Trattare il valore assoluto con un caso solo invece di spezzarlo nei due rami
Sbagliare i segni passando da x² + y² + ax + by + c = 0 al centro (−a/2, −b/2): il meno si perde quasi sempre

In che ordine ripassare

Prima moduli e irrazionali, perché sono la parte in cui si perdono più punti e sono anche quella che si rimette a posto più in fretta: sono due o tre schemi, non un capitolo. Poi funzioni e dominio, che è il ponte verso la quinta. Le coniche per ultime, e studiandole insieme — parabola, circonferenza, ellisse e iperbole si assomigliano molto più di quanto sembri dal libro.

Il punteggio non ti basta?

In 2–3 settimane di ripasso mirato il debito si recupera: leggi la guida alla prova di settembre oppure guardiamo i tuoi risultati insieme — la diagnosi è gratuita.

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