La derivata, da vedere: la secante che diventa tangente.
La definizione con il limite del rapporto incrementale si impara a memoria in un minuto e resta oscura per mesi. Eppure dice una cosa che si vede: prendi due punti sulla curva, uniscili con una retta e avvicina il secondo al primo. La retta ruota e si ferma su una posizione sola — la tangente — e la sua pendenza è la derivata. Qui i due punti li muovi tu, e i numeri li calcola la figura.
La derivata di f in x₀ è il limite, per h che tende a zero, del rapporto incrementale [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h. Geometricamente è la pendenza della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x₀.
La definizione
La figura interattiva
Usa le frecce sulla figura (o scorri col dito) per seguire il ragionamento un pezzo alla volta, poi trascina P e Q lungo la curva — oppure usa gli slider sotto la figura. Da tastiera: Tab raggiunge P e Q; su Q le frecce cambiano h di 0,01 e PagSu / PagGiù saltano a 1, 0,5, 0,1, 0,01 e 0; su P le frecce spostano x₀ di 0,1. Quando il fuoco è altrove nella figura, ← e → cambiano passo.
Passa il mouse (o tocca) su una parte del disegno — la curva, la secante, il triangolo, la tangente — per sapere che cos’è.
Quanto è ripida una curva in un punto?
Una retta ha una pendenza sola: di quanto sale per ogni passo verso destra. Una curva no: la parabola y = x² è quasi piatta vicino a zero e sempre più ripida man mano che ti allontani. Il punto P è in x₀ = 1, cioè in (1; 1). La domanda è: quanto è ripida la curva proprio lì?
Il ragionamento, passo per passo
Gli stessi 7 passi della figura, tutti insieme — nello stesso ordine, per leggerli di seguito o ripassarli senza toccare niente.
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Passo 1 · La domanda
Quanto è ripida una curva in un punto?
Una retta ha una pendenza sola: di quanto sale per ogni passo verso destra. Una curva no: la parabola y = x² è quasi piatta vicino a zero e sempre più ripida man mano che ti allontani. Il punto P è in x₀ = 1, cioè in (1; 1). La domanda è: quanto è ripida la curva proprio lì?
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Passo 2 · La secante
Un secondo punto Q e la retta che li unisce
Prendi un secondo punto Q sulla curva, un passo h più a destra: con h = 1, Q è in (2; 4). La retta per P e Q si chiama secante. La sua pendenza si legge sul triangolo: sale di Δy = 3 mentre avanza di Δx = 1, quindi la pendenza è 3 / 1 = 3.
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Passo 3 · Il rapporto
La pendenza della secante è il rapporto incrementale
In generale Δx = h e Δy = f(1 + h) − f(1), quindi la pendenza è [f(1 + h) − f(1)] / h: il rapporto incrementale. Per la parabola si semplifica: [(1 + h)² − 1] / h = (2h + h²) / h = 2 + h. Con h = 0,5 la secante ha pendenza 2,5. Trascina Q e controlla: il numero è sempre 2 più h.
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Passo 4 · Avvicina Q
Avvicina Q a P: le secanti ruotano e si stringono
Con h = 0,1 la pendenza è 2,1, con h = 0,01 è 2,01. Le secanti di prima restano disegnate come una scia: ruotano tutte attorno a P e, man mano che Q si avvicina, si schiacciano una sull’altra. Premi «Avvicina Q a P» e guarda la scia chiudersi su una retta sola.
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Passo 5 · Il limite
h = 0 non si può scrivere, ma ci si può avvicinare
Con h = 0 il punto Q finisce sopra P: Δx = 0, Δy = 0 e il rapporto diventa 0/0, che non vuol dire niente — per un punto solo passano infinite rette. Però da destra i valori sono 2,1 e 2,01, da sinistra (h negativo) 1,9 e 1,99: da tutte e due le parti si avvicinano a 2. Quel limite è la derivata, f′(1) = 2, e la retta per P con pendenza 2 è la tangente: y = 2x − 1.
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Passo 6 · f′ è una funzione
Sposta P: ogni punto ha la sua pendenza
Trascina P lungo la curva. In x₀ = 0 la tangente è orizzontale, pendenza 0; in x₀ = −1 scende, con pendenza −2. Il secondo grafico segna, per ogni x₀, la pendenza della tangente: esce la retta y = 2x. È la funzione derivata, f′(x) = 2x — la stessa che le regole di derivazione ti danno in una riga.
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Passo 7 · Provalo
Due curve per mettere alla prova l’idea
Con x³/3 − x in x₀ = 1 il rapporto vale h + h²/3: tende a 0, e la tangente è orizzontale in un punto di minimo. Con |x| in x₀ = 0, invece, le secanti da destra hanno tutte pendenza 1 e quelle da sinistra −1: non si stringono su una retta sola. Lì la derivata non esiste: è un punto angoloso.
Che cos'è ogni elemento del disegno
Nella figura queste spiegazioni compaiono passando il mouse sull'elemento. Qui sono tutte in chiaro.
- La curva y = f(x)
- Il grafico della funzione scelta. Una curva non ha una pendenza sola: cambia da punto a punto, ed è per questo che serve la derivata.
- Il punto P
- Il punto in cui vuoi conoscere la pendenza, di ascissa x₀. Trascinalo lungo la curva, oppure selezionalo e usa le frecce: si sposta di 0,1 alla volta.
- Il punto Q
- Sta sulla curva, a distanza h da P in orizzontale. Trascinalo verso P, oppure usa le frecce (0,01 alla volta) e PagSu / PagGiù per saltare a h = 1, 0,5, 0,1, 0,01.
- La secante PQ
- La retta che passa per P e Q. La sua pendenza è il rapporto incrementale: cambia con h, e quando Q si avvicina a P si avvicina alla pendenza della tangente.
- Il triangolo dell’incremento
- Il cateto orizzontale è Δx = h, quello verticale è Δy = f(x₀ + h) − f(x₀). La pendenza della secante è Δy diviso Δx: quanto sale per ogni passo in orizzontale.
- La tangente in P
- La retta per P con pendenza f′(x₀): quella su cui si stringono le secanti quando h tende a zero. Vicino a P la curva e la tangente quasi non si distinguono.
- Il grafico della derivata
- Per ogni posizione di P segna la pendenza della tangente in quel punto. È il grafico di f′: positivo dove f sale, negativo dove scende, zero dove la tangente è orizzontale.
Tre domande per capire se ti è entrato.
Prima prova a rispondere guardando la figura, poi apri la risposta.
1. Con f(x) = x², P in x₀ = 3 e h = 0,1: quanto vale il rapporto incrementale? E quanto vale f′(3)?
È lo stesso conto del passo 3 con 3 al posto di 1: [(3 + h)² − 9] / h = (6h + h²) / h = 6 + h, quindi con h = 0,1 vale 6,1. Per h che tende a zero resta 6: f′(3) = 6, cioè 2 · 3, come dice f′(x) = 2x.
2. In quali punti la tangente al grafico di x³/3 − x è orizzontale?
Dove la pendenza è zero, cioè dove f′(x) = x² − 1 si annulla: in x = 1 e in x = −1. Nella figura scegli x³/3 − x e porta P in quei due punti: in 1 c’è un minimo, in −1 un massimo, e in entrambi la tangente è piatta.
3. f(x) = |x| è derivabile in x₀ = 1? Con che pendenza?
Sì. Fra 0 e 2 la funzione coincide con y = x, quindi per ogni h tra −1 e 1 (escluso lo zero) il rapporto vale esattamente 1, da destra e da sinistra. Il limite è 1: f′(1) = 1. Lo spigolo, e il punto in cui la derivata non esiste, è solo in 0.
Le domande che arrivano sempre.
Che differenza c’è tra secante e tangente?
La secante passa per due punti del grafico, P e Q, e la sua pendenza è il rapporto incrementale. La tangente passa per il solo P ed è la posizione a cui le secanti si avvicinano quando Q scivola verso P. Per questo la pendenza della tangente si trova con un limite e non con un semplice rapporto: con un punto solo il rapporto sarebbe 0/0.
La tangente tocca la curva in un punto solo?
Non necessariamente, ed è uno degli equivoci più diffusi. Per x³/3 − x in x₀ = 0 la tangente è y = −x, e la curva la attraversa: sta sopra da una parte e sotto dall’altra. Al contrario, la retta verticale x = 1 incontra la parabola y = x² in un punto solo, ma non è tangente. Conta la pendenza limite delle secanti, non il numero di punti in comune.
Che cosa vuol dire, guardando il grafico, che una funzione non è derivabile?
Che le secanti non si stringono su una retta sola quando Q si avvicina a P. Con |x| in 0 le secanti da destra hanno sempre pendenza 1 e quelle da sinistra sempre −1: le due derivate laterali esistono ma sono diverse, il grafico fa uno spigolo e una tangente unica non c’è. Altrove |x| è derivabile senza problemi.
Che cosa c’entra la derivata con la velocità?
Se f(t) è la posizione di un oggetto al tempo t, il rapporto incrementale [f(t + h) − f(t)] / h è la velocità media fra t e t + h: lo spazio percorso diviso il tempo impiegato. Facendo tendere h a zero si ottiene la velocità in quell’istante, cioè la derivata. La secante è la velocità media, la tangente quella istantanea.
Continua da qui
Le derivate non ti tornano?
Chi ha visto la secante diventare tangente smette di applicare regole a memoria e comincia a capire che cosa sta calcolando — ed è lì che si sbloccano retta tangente, punti di non derivabilità e studio di funzione. Si recupera in poche ore, con gli esercizi giusti.