Teorema di Rolle, da muovere con le mani.
Se una funzione parte e arriva alla stessa quota, da qualche parte nel mezzo deve aver smesso di salire per cominciare a scendere — o viceversa. In quel punto la tangente è orizzontale. Tutto il teorema di Rolle è questa frase, e qui puoi verificarla trascinando la curva.
Sia f una funzione continua sull’intervallo chiuso [a, b] e derivabile sull’intervallo aperto (a, b). Se f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale che f′(c) = 0.
Enunciato
La figura interattiva
Usa «Avanti» per costruire la figura un passo alla volta, poi trascina i due punti di controllo o scegli una forma già pronta. Funziona anche da tastiera: Tab per spostarti, frecce per muovere un punto.
Passa il mouse (o tocca) su una parte del disegno — la curva, gli estremi, il punto c — per sapere che cos’è.
Si parte da un intervallo chiuso [a, b]
Gli estremi a e b sono fissi e fanno parte del dominio: il teorema chiede che la funzione sia definita e continua anche esattamente lì, non solo «vicino». È il motivo per cui l’intervallo si scrive con le parentesi quadre.
Punto c: x = 0,00f′(c) = 0,00
Il caso più pulito: la curva è simmetrica, e il punto c cade esattamente a metà.
Il ragionamento, passo per passo
Gli stessi 6 passi della figura, tutti insieme — per leggerli di seguito, stamparli o ripassarli senza toccare niente.
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Passo 1 · Intervallo
Si parte da un intervallo chiuso [a, b]
Gli estremi a e b sono fissi e fanno parte del dominio: il teorema chiede che la funzione sia definita e continua anche esattamente lì, non solo «vicino». È il motivo per cui l’intervallo si scrive con le parentesi quadre.
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Passo 2 · Ipotesi
Le due ipotesi: continua su [a, b], derivabile in (a, b)
Continua su tutto il chiuso significa che la curva si disegna senza staccare la penna. Derivabile sull’aperto significa che in ogni punto interno esiste la tangente: niente spigoli, niente punti a tangente verticale. Agli estremi la derivata non serve, ed è per questo che il secondo intervallo è aperto.
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Passo 3 · f(a) = f(b)
La terza ipotesi: la funzione torna al punto di partenza
f(a) e f(b) sono lo stesso numero, quindi il segmento che unisce i due estremi è orizzontale: il suo coefficiente angolare vale (f(b) − f(a)) / (b − a) = 0. Tieni a mente questo zero, perché è esattamente il numero che ritroveremo alla fine.
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Passo 4 · Esiste c
La conclusione: esiste almeno un punto c interno
Se la curva sale, prima o poi deve tornare giù per ritrovare la quota di partenza — o viceversa. Nel punto in cui inverte la marcia la funzione ha un massimo o un minimo interno, e in un massimo o minimo interno di una funzione derivabile la derivata si annulla. Quel punto è c.
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Passo 5 · Tangente
In c la tangente è orizzontale: f′(c) = 0
La tangente disegnata in c è parallela all’asse x, cioè ha la stessa pendenza del segmento fra gli estremi. Rolle dice proprio questo: da qualche parte dentro l’intervallo la pendenza istantanea coincide con quella media, che qui è zero.
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Passo 6 · Provalo
Adesso prova tu a rompere il teorema
Trascina i due punti di controllo o scegli una delle forme già pronte: la curva cambia, il punto c si sposta, a volte diventa due — ma non riuscirai a farlo sparire. Finché f(a) = f(b) e la curva resta liscia, un punto a tangente orizzontale c’è sempre. È il senso della parola «almeno» nell’enunciato.
Che cos'è ogni elemento del disegno
Nella figura queste spiegazioni compaiono passando il mouse sull'elemento. Qui sono tutte in chiaro.
- L’intervallo [a, b]
- Il dominio su cui si ragiona, chiuso — le parentesi quadre includono a e b. La funzione deve essere definita e continua anche esattamente lì, non solo nei punti «vicini».
- Gli estremi A e B
- I punti (a, f(a)) e (b, f(b)). Stanno alla stessa altezza: è l’ipotesi f(a) = f(b), e nel disegno non si può violare perché la curva è costruita per passare di lì.
- La retta f(a) = f(b)
- Il segmento orizzontale che unisce i due estremi. Il suo coefficiente angolare è zero: è la pendenza media della funzione sull’intervallo.
- La funzione f
- Continua su [a, b] e derivabile in (a, b): nessuno spigolo, nessun salto, nessun punto a tangente verticale. Senza una di queste proprietà il teorema cade.
- Il punto c
- Un punto interno all’intervallo in cui la derivata si annulla. Non è cercato a occhio: è la soluzione esatta dell’equazione f′(x) = 0, ricalcolata ogni volta che sposti la curva.
- La tangente in c
- La retta tangente al grafico nel punto c. Essendo f′(c) = 0 è orizzontale, quindi parallela alla retta che unisce gli estremi.
- I punti di controllo
- Trascinali su e giù (o usa le frecce della tastiera) per cambiare la forma della funzione. Gli estremi restano fermi, quindi l’ipotesi f(a) = f(b) resta vera qualsiasi cosa tu faccia.
Perché la dimostrazione funziona
Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ammette massimo e minimo assoluti su quell'intervallo: è il teorema di Weierstrass, e la chiusura di [a, b] serve esattamente a questo. Ci sono allora due casi. Se massimo e minimo cadono entrambi agli estremi, valgono lo stesso numero — perché f(a) = f(b) — quindi la funzione è costante e la derivata è nulla ovunque. Altrimenti almeno uno dei due cade in un punto interno c.
In quel punto interno interviene il teorema di Fermat: in un massimo o in un minimo interno di una funzione derivabile la derivata si annulla, perché se fosse positiva la funzione starebbe ancora salendo e se fosse negativa starebbe scendendo — in entrambi i casi non sarebbe un estremo. Quindi f′(c) = 0. È tutta qui: Weierstrass garantisce che un estremo esista, Fermat dice che lì la derivata è zero, e f(a) = f(b) è l'ipotesi che impedisce all'estremo di nascondersi nei bordi.
Nota quale ipotesi serve dove: la continuità la usa Weierstrass, e la vuole anche negli estremi; la derivabilità la usa Fermat, e le basta all'interno. Non è un dettaglio di notazione — è il motivo per cui il primo intervallo è chiuso e il secondo è aperto.
Le domande che arrivano sempre.
Il teorema di Rolle dice che c è unico?
No. Dice che esiste almeno un punto c con f′(c) = 0. I punti possono essere due, dieci o infiniti: nella visualizzazione la forma «Due punti c» ne mostra due, e se la funzione è costante ogni punto dell’intervallo va bene.
Perché [a, b] è chiuso e (a, b) è aperto?
La continuità serve anche negli estremi, altrimenti la funzione potrebbe «scappare» proprio in a o in b e non avere massimo o minimo. La derivabilità negli estremi invece non serve: il punto c che il teorema garantisce è interno, quindi basta che la tangente esista dentro.
Che rapporto c’è fra Rolle e il teorema di Lagrange?
Rolle è il caso particolare di Lagrange con f(a) = f(b). Lagrange dice che esiste un c in cui la pendenza istantanea uguaglia quella media (f(b) − f(a)) / (b − a); quando i due valori agli estremi coincidono quella pendenza media vale zero, e si ritrova esattamente l’enunciato di Rolle.
Che cosa succede se una delle ipotesi salta?
Il teorema non garantisce più niente. Con f(x) = |x| su [−1, 1] si ha f(−1) = f(1) ma in 0 c’è uno spigolo: la funzione non è derivabile lì e nessun altro punto ha derivata nulla. Basta un solo punto non derivabile per far cadere la conclusione.
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Analisi che non entra in testa?
Rolle, Lagrange, Cauchy, De l'Hôpital: sono quattro enunciati che si appoggiano l'uno sull'altro, e chi li impara a memoria in ordine sparso li confonde a ogni compito. Ripartiamo dal primo che non ti torna.