Equazioni fratte e sistemi di disequazioni in seconda

Fine settembre, e in seconda al liceo artistico il ripasso di equazioni e la scomposizione stanno occupando queste settimane, fino a ottobre. Il blocco nuovo — equazioni fratte, disequazioni lineari e sistemi di disequazioni — parte a novembre, e la verifica arriva fra nove e dodici settimane, quindi fra fine novembre e metà dicembre. Con 3 ore di matematica a settimana, più le 12 ore settimanali di consegne delle materie di indirizzo che all’artistico non lasciano tregua, non c’è margine per rincorrerlo dopo: il momento di arrivarci con un metodo è adesso, prima che il capitolo inizi in classe.

Questo post parte da dove finisce la scomposizione. Se in classe non hai ancora chiaro come si scompone un polinomio o come si semplifica una frazione algebrica, il metodo — l’albero di decisione, il trinomio speciale, gli esercizi svolti — è nel post su scomposizione e frazioni algebriche in seconda: qui la scomposizione la do per fatta e parto dalle equazioni fratte.

Equazione fratta: il procedimento in quattro passi

Un’equazione fratta è un’equazione in cui l’incognita compare al denominatore. Il procedimento è sempre lo stesso, in quest’ordine, senza scorciatoie:

1. Condizione di esistenza (C.E.). Ogni denominatore deve essere diverso da zero. Scomponi i denominatori se serve, e scrivi la condizione su ogni fattore.
2. Minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori. Riduci tutti i termini, a sinistra e a destra dell’uguale, allo stesso denominatore.
3. Equazione intera. Una volta che tutti i termini hanno lo stesso denominatore, puoi confrontare solo i numeratori: è qui che l’equazione fratta diventa un’equazione “normale” da risolvere con le regole che già conosci.
4. Verifica della C.E. sulla soluzione. Il passaggio che quasi tutti saltano. Ogni soluzione trovata al passo 3 deve essere confrontata con la condizione del passo 1: se coincide con un valore escluso, va scartata, anche se il calcolo algebrico è corretto.

Il punto 4 è quello segnalato come critico per questo programma, e non a caso: un’equazione fratta puoi risolverla perfettamente e consegnare comunque una soluzione sbagliata, semplicemente perché non hai controllato che il valore trovato non annulli un denominatore.

Esercizio 1 — equazione fratta con una soluzione da scartare

Risolvi:

Condizione di esistenza. Il denominatore è $x-2$ in entrambi i membri:

Risoluzione. I due membri hanno lo stesso denominatore, quindi per $x\ne 2$ posso confrontare direttamente i numeratori:

Scompongo: cerco due numeri che moltiplicati diano $10$ e sommati diano $-7$: sono $-2$ e $-5$.

Verifica con la C.E. La condizione era $x\ne 2$. La soluzione $x=2$ coincide esattamente con il valore escluso: va scartata. Resta solo:

Controllo diretto: a sinistra $\frac{5^2}{5-2}=\frac{25}{3}$; a destra $\frac{7\cdot 5-10}{5-2}=\frac{25}{3}$. Coincidono, la soluzione tiene.

Se vuoi allenarti su questo tipo di controllo prima di passare alle disequazioni, trovi la simulazione qui: verifica di matematica — disequazioni di primo grado. È catalogata sul primo anno perché nei licei con 5 ore le disequazioni lineari si fanno già in prima; all’artistico, con 3 ore, arrivano in seconda, ma il contenuto è lo stesso: usala senza pensare di essere finito su un quiz sbagliato.

Disequazioni lineari: cosa cambia rispetto alle equazioni

Una disequazione lineare si risolve con le stesse regole di un’equazione — sommare o sottrarre uno stesso termine a entrambi i membri, moltiplicare o dividere per uno stesso numero — con una sola differenza, ma decisiva:

Se moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero negativo, il verso della disequazione si inverte.

Un esempio minimo basta a fissarla:

Divido per $-2$ (negativo): il $\ge$ diventa $\le$.

Non $x\ge -3$. Se in un esercizio dividi per un numero negativo e lasci il verso com’era, il resto del calcolo può essere perfetto e il risultato resta sbagliato: è l’errore più frequente su questo argomento, più delle disequazioni fratte o dei sistemi.

Come si scrive l’insieme delle soluzioni

Una disequazione, a differenza di un’equazione, di solito non ha una soluzione sola ma un intervallo di valori. Ci sono tre modi equivalenti per scriverlo, e in verifica ti verrà chiesto quello in notazione:

• A parole: “tutti i valori di $x$ maggiori di $-3$”.
• Sulla retta: un pallino vuoto su $-3$ (perché $-3$ non è compreso) con una freccia verso destra, per indicare che vanno bene tutti i valori più grandi.
• In notazione di intervallo: $x>-3$, oppure $(-3,+\infty )$.

Il pallino è pieno quando il valore è compreso (disuguaglianza con $\ge$ o $\le$), vuoto quando è escluso (disuguaglianza con $>$ o $<$). È un dettaglio piccolo che nelle verifiche corrette vale punti a parte.

Sistemi di disequazioni: lo schema a righe

Un sistema di disequazioni si risolve così: risolvi ciascuna disequazione per conto suo, come hai visto sopra, e poi intersechi gli intervalli trovati — cioè cerchi i valori di $x$ che soddisfano tutte le disequazioni insieme, non solo una.

Il modo più sicuro per non sbagliare l’intersezione è lo schema a righe: disegni una retta orizzontale per ciascuna disequazione del sistema, una sotto l’altra, con la stessa scala di valori in verticale; su ogni retta segni la parte di piano che soddisfa quella disequazione (tratteggiata o campita, a seconda di come la disegna il tuo libro); in fondo aggiungi una riga di riepilogo e prendi solo la zona dove tutte le righe sono “piene” contemporaneamente. È lì, in quella sovrapposizione, che si sbaglia di più: si guarda una riga alla volta e si perde di vista quale tratto è comune a tutte.

Esercizio 2 — sistema di tre disequazioni lineari

Risolvi il sistema:

Prima disequazione.

Divido per $2$, positivo: il verso resta com’era.

Seconda disequazione.

Divido per $-3$, negativo: il verso si inverte, da $\ge$ a $\le$.

Terza disequazione.

Divido per $-1$, negativo: il verso si inverte, da $<$ a $>$.

Schema a righe. Le tre soluzioni sono $x>2$, $x\le 3$, $x>-3$. Sulla retta:

• riga 1: pallino vuoto su $2$, tratto verso destra;
• riga 2: pallino pieno su $3$, tratto verso sinistra;
• riga 3: pallino vuoto su $-3$, tratto verso destra.

La condizione $x>-3$ è già compresa in $x>2$ (ogni valore maggiore di $2$ è anche maggiore di $-3$), quindi non aggiunge restrizioni. Il tratto comune a tutte e tre le righe va da poco dopo $2$ (escluso) a $3$ (incluso):

In notazione di intervallo: $(2,3]$.

Il caso impossibile e il caso sempre verificato

Due situazioni che il libro chiede di riconoscere, senza bisogno di uno svolgimento lungo:

• Sistema impossibile. Se una riga chiede $x>3$ e un’altra chiede $x<1$, non esiste nessun valore che soddisfi entrambe: gli intervalli non si sovrappongono in nessun punto. La soluzione è l’insieme vuoto, $\varnothing$.
• Disequazione sempre verificata. Se dopo aver semplificato resta una disuguaglianza vera indipendentemente da $x$ — per esempio $2x+1>2x-3$, che si riduce a $1>-3$ — allora è vera per ogni $x$ reale, e in un sistema quella riga non aggiunge nessuna restrizione.

Entrambi i casi si riconoscono guardando lo schema a righe con la stessa attenzione con cui leggi un’intersezione normale: non sono eccezioni da temere, sono solo un risultato diverso.

Prima di novembre

Il punto debole di questo blocco non è il calcolo — le regole sono poche e le hai già viste nelle equazioni — ma la disciplina di applicarle nell’ordine giusto: C.E. prima di tutto nelle equazioni fratte, verso invertito quando serve nelle disequazioni, intersezione letta riga per riga nei sistemi. Se hai bisogno di ripassare anche il primo anno di questo indirizzo, trovi il post su numeri e frazioni in prima al liceo artistico; il formulario completo del programma di seconda è invece nel post su matematica di seconda superiore.

Per allenarti su disequazioni e sistemi trovi la stessa simulazione di prima: verifica di matematica — disequazioni di primo grado — la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata si sblocca con la prima lezione.

Trovi tutte le materie che seguiamo su /materie/matematica. Se vuoi una mano prima della verifica, la prima chiacchierata è gratuita → contatti.