Con quale angolo si ottiene la gittata massima?

Con 45°, a parità di velocità iniziale e partendo e arrivando alla stessa quota, perché in quel caso sin(2θ) vale 1 e la gittata è v0² diviso g.

Due angoli diversi possono dare la stessa gittata?

Sì, due angoli complementari, cioè che sommati danno 90°, hanno la stessa gittata. Con 20 m/s, 30° e 60° portano entrambi a circa 35 m, ma con tempi di volo diversi.

La massa del proiettile influisce sulla gittata?

No, almeno nel modello senza resistenza dell'aria: la massa non compare in nessuna formula del moto parabolico, come nella caduta libera.

Perché la velocità orizzontale resta costante?

Perché in orizzontale non agisce nessuna forza (si trascura l'aria): l'accelerazione è nulla e il moto in quella direzione è rettilineo uniforme.

Moto parabolico: gittata e altezza massima

In quarta, nella fisica del liceo classico, il moto parabolico di solito arriva in ottobre o poco dopo, spesso insieme al moto circolare. Molti insegnanti lo trattano in fretta perché il programma è lungo: lo studente lo ritrova poi in verifica, e il compito che lo contiene cade di solito fra sei e otto settimane, tra fine novembre e dicembre. Ti conviene capirlo adesso, con calma, perché una volta chiara l’idea di base le formule si ricostruiscono da sole.

Qui trovi l’idea (due moti indipendenti), le formule di gittata, altezza massima e tempo di volo, gli errori che vedo di più e tre esercizi svolti. Per il moto circolare e per lavoro ed energia ho scritto un articolo a parte; per le basi dei grafici s-t e v-t, quello sulla cinematica; per le oscillazioni, quello sul moto armonico. Qui non li ripeto.

L’idea: due moti indipendenti

Un sasso lanciato in orizzontale da un tavolo non cade dritto in basso: disegna una curva. Galileo lo spiegò così: il moto si compone di due moti che non si influenzano.

In orizzontale non agisce nessuna forza (si trascura l’aria): il moto è rettilineo uniforme, con velocità costante $v_{x}$ .
In verticale agisce solo la gravità: il moto è uniformemente accelerato, con accelerazione $g = 9, 8 m/s^{2}$ verso il basso.

Il tempo è l’unico legame fra i due. Per questo, nei problemi, si risolve prima la direzione verticale (che ti dà il tempo) e poi si usa quel tempo in orizzontale. Una conseguenza che sorprende: un proiettile sparato in orizzontale e uno lasciato cadere dalla stessa quota nello stesso istante toccano terra insieme.

Tutte le formule che seguono valgono nel modello senza resistenza dell’aria, che è quello che chiede la scuola.

Lancio orizzontale

Si parte dalla quota $h$ con velocità $v_{0}$ orizzontale. Le leggi orarie sono:

x (t) = v_{0} t y (t) = h - \frac{1}{2} g t^{2}

Il corpo tocca terra quando $y = 0$ , quindi il tempo di volo dipende solo dall’altezza:

t_{v} = \frac{2 h}{g}

La gittata (distanza orizzontale percorsa) è $x = v_{0} t_{v}$ . La velocità in un istante ha due componenti: $v_{x} = v_{0}$ sempre uguale e $v_{y} = g t$ che cresce. Il modulo è $v = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$ .

Lancio obliquo

Si lancia dal suolo con velocità $v_{0}$ inclinata di un angolo $θ$ sull’orizzontale. Si scompone il vettore:

v_{0 x} = v_{0} cos θ v_{0 y} = v_{0} sin θ

Le leggi orarie diventano:

x (t) = v_{0} cos θ t y (t) = v_{0} sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2}

Tre grandezze da sapere, valide quando si parte e si arriva alla stessa quota. Il tempo di volo è il doppio del tempo di salita, e il tempo di salita è quando $v_{y}$ si annulla, cioè $t = v_{0} sin θ / g$ :

t_{v} = \frac{2 v _{0} sin θ}{g}

L’altezza massima si raggiunge proprio a metà volo, nel punto in cui il corpo ha solo la velocità orizzontale:

h_{ma x} = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} θ}{2 g}

La gittata si ottiene moltiplicando la velocità orizzontale per il tempo di volo e usando $2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ :

R = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}

Da qui seguono le due domande di teoria più frequenti. La gittata è massima quando $sin 2 θ = 1$ , cioè per $θ = 45°$ , e vale $v_{0}^{2} / g$ . E due angoli complementari ( $θ$ e $90° - θ$ ) danno la stessa gittata, perché $sin 2 θ = sin (180° - 2 θ)$ : il lancio più basso arriva prima, quello più alto sale di più e resta in aria più a lungo.

Se il testo chiede la forma della traiettoria, eliminando il tempo si trova una parabola:

y = x tan θ - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} θ}

Nel punto più alto la velocità non è nulla: c’è ancora la componente orizzontale $v_{0} cos θ$ . È una delle trappole più comuni.

Gli errori che tornano ogni anno

Dimenticare di scomporre la velocità. Con un lancio obliquo, $v_{0}$ non è né $v_{x}$ né $v_{y}$ . Se usi $v_{0}$ al posto di $v_{0} sin θ$ nella formula della salita, ottieni un’altezza troppo grande.

Dire che nel punto più alto la velocità è zero. È zero solo la componente verticale. Il modulo della velocità lì vale $v_{0} cos θ$ .

Accelerazione orizzontale diversa da zero. Nel modello base $a_{x} = 0$ sempre: se metti $g$ anche in orizzontale ottieni numeri senza senso.

Calcolatrice in modalità sbagliata. Se l’angolo è in gradi, la calcolatrice deve essere in gradi: $sin 30° = 0, 5$ , mentre $sin (30 rad) = - 0, 988$ . Prima di calcolare, controlla che $sin 30°$ ti dia $0, 5$ .

Usare le formule della gittata quando non si parte e non si arriva alla stessa quota. $R = v_{0}^{2} sin 2 θ / g$ e $t_{v} = 2 v_{0} sin θ / g$ valgono solo in quel caso. Se si lancia da un balcone, serve risolvere $y (t) = 0$ per il tempo.

Confondere altezza massima e quota di partenza. In un lancio dal suolo $h_{ma x}$ è l’altezza sopra il suolo; se parti da una quota $h_{0}$ , la quota massima è $h_{0} + h_{ma x}$ .

Tre esercizi svolti

1. Lancio orizzontale da una scogliera

Un sasso viene lanciato in orizzontale a $v_{0} = 15$ m/s da un’altezza $h = 45$ m ( $g = 9, 8$ m/s²). Calcola tempo di volo, gittata e velocità (modulo e angolo) all’impatto.

Il tempo dipende solo dall’altezza:

t_{v} = \frac{2 \cdot 45}{9 , 8} = 9, 184 \approx 3, 03 s

La gittata:

x = v_{0} t_{v} = 15 \cdot 3, 03 \approx 45, 5 m

All’impatto la componente verticale è $v_{y} = g t_{v} = 9, 8 \cdot 3, 03 \approx 29, 7$ m/s, quella orizzontale è ancora $15$ m/s:

v = 1 5^{2} + 29, 7^{2} = 225 + 882 \approx 33, 3 m/s

L’angolo sotto l’orizzontale: $tan α = 29, 7/15 \approx 1, 98$ , quindi $α \approx 63°$ . Controllo: se il sasso cadesse dritto dalla stessa quota arriverebbe a $v_{y} = 29, 7$ m/s e $t = 3, 03$ s, quindi il tempo è giusto.

2. Lancio obliquo: tempo, altezza, gittata

Una palla viene lanciata dal suolo a $v_{0} = 20$ m/s con un angolo di $30°$ . Trova tempo di volo, altezza massima e gittata. Poi: che gittata si avrebbe con $60°$ ?

Scomposizione: $v_{0 x} = 20 cos 30° \approx 17, 3$ m/s e $v_{0 y} = 20 sin 30° = 10$ m/s.

Tempo di volo:

t_{v} = \frac{2 \cdot 10}{9 , 8} \approx 2, 04 s

Altezza massima:

h_{ma x} = \frac{1 0 ^{2}}{2 \cdot 9 , 8} \approx 5, 10 m

Gittata:

R = 17, 3 \cdot 2, 04 \approx 35, 4 m

Controllo con la formula diretta: $R = 2 0^{2} sin 60°/9, 8 = 400 \cdot 0, 866/9, 8 \approx 35, 4$ m, uguale.

Con $60°$ le componenti si scambiano ( $v_{0 x} = 10$ m/s, $v_{0 y} \approx 17, 3$ m/s): il tempo di volo diventa $2 \cdot 17, 3/9, 8 \approx 3, 53$ s e la gittata $10 \cdot 3, 53 \approx 35, 4$ m, identica. Cambia l’altezza massima, che sale a circa $15, 3$ m.

3. Con quale angolo si colpisce un bersaglio?

Un cannone lancia con $v_{0} = 25$ m/s. Il bersaglio è a $40$ m sullo stesso piano. Qual è la gittata massima possibile? Con quali angoli si colpisce il bersaglio?

La gittata massima si ha a $45°$ :

R_{ma x} = \frac{v _{0}^{2}}{g} = \frac{625}{9 , 8} \approx 63, 8 m

Il bersaglio a $40$ m è raggiungibile, perché $40 < 63, 8$ . Imponiamo $R = 40$ m:

sin 2 θ = \frac{R g}{v _{0}^{2}} = \frac{40 \cdot 9 , 8}{625} \approx 0, 627

Quindi $2 θ \approx 38, 8°$ oppure $2 θ \approx 180° - 38, 8° = 141, 2°$ , cioè:

θ \approx 19, 4° oppure θ \approx 70, 6°

I due angoli sono complementari ( $19, 4° + 70, 6° = 90°$ ), come previsto. Il tiro teso arriva in circa $1, 7$ s, quello a parabola alta in circa $4, 8$ s: stessa gittata, tempi molto diversi.

Come prepararsi nelle prossime settimane

Hai tempo, quindi fai poco e spesso:

Impara il procedimento, più che le formule: scomponi la velocità, risolvi la verticale per il tempo, usa il tempo in orizzontale.
Rifai i tre esercizi senza guardare, cambiando angolo e velocità.
Disegna la traiettoria con i vettori $v_{x}$ e $v_{y}$ in quattro punti: partenza, salita, vertice, arrivo.
Quando l’argomento è chiuso in classe, allenati a tempo con il simulatore delle verifiche per il liceo. Su questo argomento non c’è ancora una verifica dedicata, ma i quesiti di fisica ti dicono a che punto sei con il resto del programma.

Altro materiale sulla disciplina è nella pagina fisica.

Come lavoriamo nelle lezioni

Faccio ripetizioni 1-a-1 online. Con chi arriva da me su questo argomento parto da un disegno con le due direzioni separate, perché quando il moto si guarda come due moti la formula non è più da imparare a memoria. Poi facciamo esercizi con numeri tuoi, soprattutto quelli dove l’angolo o l’unità di misura nascondono un errore.

Se vuoi una mano

Se il compito si avvicina e vuoi capire a che punto sei, puoi prenotare una diagnosi gratuita: vediamo insieme dove sono i buchi e se ha senso lavorarci.

Moto parabolico: gittata, altezza massima e formule

L’idea: due moti indipendenti

Lancio orizzontale

Lancio obliquo

Gli errori che tornano ogni anno

Tre esercizi svolti

1. Lancio orizzontale da una scogliera

2. Lancio obliquo: tempo, altezza, gittata

3. Con quale angolo si colpisce un bersaglio?

Come prepararsi nelle prossime settimane

Come lavoriamo nelle lezioni

Se vuoi una mano

Domande frequenti

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