Corpo rigido e momento d'inerzia: esercizi svolti

Il corso di Fisica 1 sta per cambiare passo. Fino a ottobre si lavora con il punto materiale: cinematica, leggi di Newton, lavoro ed energia. Fra novembre e dicembre arriva il corpo rigido, cioè un oggetto che ha dimensioni, ruota e rotola. La prova in itinere o l’esame cadono fra quattro e dieci settimane, tra dicembre e gennaio, quindi ora è il momento di sistemare le basi. Serve a chi frequenta Ingegneria, Fisica, Matematica o Chimica e ha già in mano il primo blocco di dinamica.

Il corpo rigido spaventa perché sembra una fisica nuova, ma non lo è: è la stessa dinamica con grandezze diverse. Nelle mie lezioni vedo che quasi tutti i punti persi vengono da tre cose: unità di misura incoerenti, segni sbagliati e testi letti di fretta. Se imposti bene l’asse e il segno, il resto è algebra.

Dalla traslazione alla rotazione: il dizionario

Ogni grandezza della traslazione ha la sua gemella angolare. Imparare questa corrispondenza vale più di dieci formule a memoria.

Il ponte fra i due mondi è il raggio: per un punto a distanza $R$ dall’asse valgono $v=\omega R$ e $a_t=\alpha R$. Gli angoli sono sempre in radianti. Se ti danno giri al minuto, converti: $1\text{giro/min}=2\pi /60\text{rad/s}$.

Il momento di una forza rispetto a un asse è

dove $\phi$ è l’angolo fra il braccio $r$ e la forza. Conta solo la componente della forza perpendicolare al braccio. Il segno si fissa una volta per tutte: positivo il verso antiorario, negativo l’orario, e non si cambia a metà esercizio.

Il momento d’inerzia

Per un insieme di masse puntiformi si calcola così:

dove $r_i$ è la distanza di ciascuna massa dall’asse di rotazione. L’unità di misura è il $\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$. Per i corpi continui il risultato è già tabulato, ma devi sapere rispetto a quale asse:

A parità di massa e raggio, più la massa è lontana dall’asse, più $I$ è grande: l’anello ha il doppio del momento d’inerzia del disco. Questo dettaglio decide chi vince nelle gare di rotolamento, come vedremo.

Il teorema di Huygens-Steiner

Se l’asse non passa per il centro di massa ma è parallelo a uno che ci passa, a distanza $d$:

Controllo con l’asta: per un estremo $d=L/2$, quindi $I=\frac{1}{12}M{L}^2+M\frac{L^2}{4}=\frac{1}{3}M{L}^2$, che coincide con la tabella. Con $M=3,0\text{kg}$ e $L=1,2\text{m}$ si ottiene $0,36+1,08=1,44\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$.

L’errore classico è partire da un $I$ calcolato rispetto a un asse che non è quello baricentrale e sommare comunque $M{d}^2$. Steiner vale solo a partire dal centro di massa, mai fra due assi qualsiasi.

La seconda equazione cardinale e l’energia

Per un corpo che ruota attorno a un asse fisso:

L’energia cinetica di un corpo che si muove e ruota insieme è la somma di due termini:

Dimenticare il secondo termine è l’errore più frequente nei problemi di energia con corpi che rotolano.

Rotolamento puro

Un corpo rotola senza strisciare quando il punto di contatto col suolo è fermo. Il vincolo è

L’attrito statico c’è, ma non compie lavoro: l’energia meccanica si conserva. Su un piano inclinato di angolo $\theta$, combinando $F=ma$ lungo il piano e $\tau =I\alpha$ attorno al centro, si ricava

L’accelerazione dipende solo dal rapporto $I/(M{R}^2)$, cioè dalla forma, non da massa e raggio. Per il cilindro pieno vale $\frac{2}{3}g\sin \theta$, per la sfera piena $\frac{5}{7}g\sin \theta$, per l’anello $\frac{1}{2}g\sin \theta$.

Momento angolare

Se il momento esterno rispetto all’asse è nullo, $L=I\omega$ si conserva. È la regola del pattinatore che chiude le braccia: $I$ diminuisce, $\omega$ aumenta. Attenzione, però: la conservazione di $L$ non implica quella dell’energia.

Esercizio 1: carrucola con massa appesa

Un disco omogeneo di massa $M=2,0\text{kg}$ e raggio $R=0,10\text{m}$ ruota attorno al proprio asse orizzontale. Intorno al bordo è avvolta una fune senza massa, che non slitta, a cui è appesa una massa $m=0,50\text{kg}$. Il sistema parte da fermo. Calcola accelerazione della massa, tensione della fune e velocità dopo una discesa di $1,0\text{m}$ (con $g=9,8{\text{m/s}}^2$).

Passo 1: momento d’inerzia. $I=\frac{1}{2}M{R}^2=\frac{1}{2}\cdot 2,0\cdot 0,010=0,010\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$.

Passo 2: un’equazione per ogni corpo. Per la massa, con verso positivo verso il basso: $mg-T=ma$. Per il disco: $TR=I\alpha$. Il vincolo della fune senza slittamento è $a=\alpha R$.

Passo 3: sostituisci. Dal disco $T=I\alpha /R=Ia/R^2$. Inserendo nella prima:

Qui $I/R^2=0,010/0,010=1,0\text{kg}$ (è $M/2$), quindi

Passo 4: tensione. $T=m(g-a)=0,50\cdot (9,8-3,27)\approx 3,27\text{N}$. La tensione è minore di $mg=4,9\text{N}$: la fune non regge tutto il peso, perché la massa sta accelerando.

Passo 5: velocità. $v=\sqrt{2ah}=\sqrt{2\cdot 3,27\cdot 1,0}\approx 2,56\text{m/s}$.

Verifica con l’energia. Il lavoro della gravità è $mgh=4,9\text{J}$. Con $\omega =v/R=25,6\text{rad/s}$: $\frac{1}{2}m{v}^2=1,63\text{J}$ e $\frac{1}{2}I{\omega }^2=3,27\text{J}$, somma $4,9\text{J}$. I conti tornano.

Per allenarti su quesiti a risposta chiusa c’è la simulazione di Fisica 1: la risposta corretta è gratis, la soluzione guidata passo passo si sblocca con la prima lezione. Non esiste un simulatore dedicato al solo corpo rigido: quella è la pagina di riferimento per il corso.

Esercizio 2: cilindro pieno contro anello

Un cilindro pieno e un anello, con la stessa massa e lo stesso raggio, partono insieme da fermi dalla cima di un piano inclinato di $30^{\circ }$ lungo $L=2,0\text{m}$ e rotolano senza strisciare. Chi arriva prima, e con che velocità?

Cilindro pieno, $I/(M{R}^2)=\frac{1}{2}$:

Anello, $I/(M{R}^2)=1$:

Il tempo di discesa è $t=\sqrt{2L/a}$:

• cilindro: $t=\sqrt{4,0/3,27}\approx 1,11\text{s}$;
• anello: $t=\sqrt{4,0/2,45}\approx 1,28\text{s}$.

Le velocità finali sono $v=\sqrt{2aL}$: circa $3,6\text{m/s}$ per il cilindro e $3,1\text{m/s}$ per l’anello. Vince il cilindro, qualunque siano massa e raggio, perché la corsa dipende solo dalla forma. L’anello tiene tutta la sua massa lontana dall’asse e spende in rotazione una quota maggiore dell’energia disponibile.

Un controllo che chiude bene il problema: un corpo che scivola senza attrito avrebbe $a=g\sin \theta =4,9{\text{m/s}}^2$, più grande di entrambi. Se il tuo risultato supera questo valore, hai sbagliato qualcosa.

Esercizio 3: il disco che si aggancia

Un disco con $I_1=0,50\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$ ruota a ${\omega }_1=12\text{rad/s}$ attorno a un asse verticale fisso. Dall’alto cade sopra, coassialmente, un secondo disco fermo con $I_2=0,30\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$ e i due si trascinano per attrito fino a ruotare insieme. Calcola la velocità angolare finale e l’energia dissipata.

Non ci sono momenti esterni rispetto all’asse, quindi il momento angolare si conserva:

Per l’energia:

• iniziale: $\frac{1}{2}\cdot 0,50\cdot 12^2=36\text{J}$;
• finale: $\frac{1}{2}\cdot 0,80\cdot 7,5^2=22,5\text{J}$;
• dissipata: $36-22,5=13,5\text{J}$, il $37,5\%$ di quella iniziale.

È il corrispondente rotazionale dell’urto completamente anelastico. Conservare $L$ e non conservare $E_c$ è il punto che l’esame vuole vedere, e molti studenti inventano una conservazione dell’energia che qui non c’è.

Gli errori che costano punti

1. Asse sbagliato in Steiner. Parti sempre da $I_{CM}$. Scrivi nel foglio l’asse di partenza prima di aggiungere $M{d}^2$.
2. Termine rotazionale dimenticato. Se un corpo rotola, l’energia cinetica ha due addendi. Il controllo è semplice: se il corpo ruota, $\frac{1}{2}I{\omega }^2$ deve esserci.
3. Vincolo $v=\omega R$ ignorato o usato col raggio sbagliato. Nel rotolamento il raggio è quello del corpo che rotola; in una carrucola è quello della gola su cui è avvolta la fune.
4. Unità e controllo dimensionale. Prima di consegnare, verifica che $I$ sia in $\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$, $\omega$ in $\text{rad/s}$, $\tau$ in $\text{N}\cdot \text{m}$. Un centimetro lasciato al posto del metro sbaglia $I$ di un fattore 10000. È il primo filtro che applico quando correggo.
5. Segni. Scegli il verso positivo della rotazione e rispettalo per tutti i momenti. Una massa che scende e una carrucola che gira devono avere versi coerenti fra loro.
6. Testo letto a metà. “Rotola senza strisciare”, “la fune non slitta”, “asse fisso”: ogni frase del testo è una condizione. Sottolineale prima di scrivere formule.

Come prepararti nelle settimane che restano

Il corpo rigido si impara solo risolvendo. Rifai a mano i tre esercizi qui sopra cambiando i dati, poi passa a problemi misti con carrucole, aste che ruotano e rotolamento in salita. Se il blocco precedente è ancora fragile, ripassa cinematica e dinamica per la prova in itinere di Fisica 1, dove trovi il metodo per impostare le forze. Per i bilanci energetici ti serve lavoro, energia e urti, che affronta le stesse idee a livello più semplice. Se il corso prosegue con la formulazione analitica, il passo dopo è la dinamica di Lagrange in Meccanica razionale. E per rivedere da capo un piano inclinato senza rotazione c’è dinamica e piano inclinato.

Gli esercizi di rotazione seguono ogni volta lo stesso schema: disegno con asse e versi, equazioni per ciascun corpo, vincoli, risultato e controllo energetico. Il quadro generale della materia è in Fisica.

Se vuoi un controllo sul tuo metodo

Se ogni problema di rotazione ti lascia un dubbio diverso, di solito la causa è una sola, a monte: asse, segni o vincolo. Scrivimi dalla pagina contatti e facciamo una diagnosi gratuita: mi mandi uno o due esercizi che non ti tornano e ti dico dove si rompe il metodo.