Le probabilità, da vedere sull’albero.
Probabilità condizionata, probabilità totale e teorema di Bayes sembrano tre formule da imparare a memoria. In realtà sono tre modi di leggere lo stesso disegno: un albero in cui ogni ramo porta un numero. Qui i numeri li sposti tu, e vedi i prodotti lungo i percorsi, la somma delle foglie e la lettura «al contrario» cambiare insieme.
Su un albero di probabilità si moltiplica lungo ogni percorso e si somma tra percorsi diversi; per leggere la probabilità «al contrario» si divide una foglia per tutte le foglie che finiscono nello stesso punto.
Il principio
La figura interattiva
Usa le frecce sulla figura (o scorri col dito) per seguire il ragionamento un pezzo alla volta, poi trascina le pillole sui rami in su e in giù — oppure usa i tre slider sotto la figura, o gli esempi pronti. Da tastiera: Tab raggiunge una pillola, e lì le frecce cambiano il valore di un punto percentuale, PagSu / PagGiù di dieci, Home e Fine portano a 0% e a 100%. Quando il fuoco è altrove nella figura, ← e → cambiano passo.
Passa il mouse (o tocca) su una parte del disegno — una biforcazione, una foglia, la somma — per sapere che cos’è.
Un albero per ragionare a stadi
Un filtro anti-spam guarda le email in arrivo. Il primo livello descrive la posta: all’inizio 10 email su 100 sono spam e 90 sono normali. I due rami che escono dallo stesso punto fanno sempre 100%: succede l’una o l’altra. Trascina il valore sul ramo in su o in giù, oppure usa le frecce: l’altro ramo è sempre il resto.
Il ragionamento, passo per passo
Gli stessi 7 passi della figura, tutti insieme — nello stesso ordine, per leggerli di seguito o ripassarli senza toccare niente.
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Passo 1 · L’albero
Un albero per ragionare a stadi
Un filtro anti-spam guarda le email in arrivo. Il primo livello descrive la posta: all’inizio 10 email su 100 sono spam e 90 sono normali. I due rami che escono dallo stesso punto fanno sempre 100%: succede l’una o l’altra. Trascina il valore sul ramo in su o in giù, oppure usa le frecce: l’altro ramo è sempre il resto.
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Passo 2 · Secondo livello
Dopo ogni ramo, il filtro decide
Da ciascun punto parte una nuova coppia di rami: il filtro segnala l’email oppure no. I numeri sono due e indipendenti, perché il filtro si comporta in modo diverso sullo spam (ne segnala 90 su 100) e sulla posta normale (ne segnala per errore 10 su 100). Sono probabilità condizionate: valgono solo dopo aver imboccato quel ramo.
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Passo 3 · I percorsi
Ogni percorso è uno scenario, e si moltiplica
Dalla radice alle foglie ci sono 2 × 2 = 4 percorsi: è il principio del conteggio, una scelta dopo l’altra. La probabilità di un percorso è il prodotto dei rami che attraversa: spam e segnalata fa 10% × 90% = 9%. Su 1000 email, 100 sono spam e 90 di queste vengono segnalate. Passa il mouse su una foglia, o selezionala, per vedere il suo percorso illuminarsi.
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Passo 4 · La somma fa 1
Le quattro foglie esauriscono tutti i casi
I quattro percorsi non si sovrappongono e coprono tutto quello che può succedere, quindi le loro probabilità sommano sempre 100%: 9% + 1% + 9% + 81% = 100%. È il controllo da fare per primo: se sull’albero non torna, c’è un ramo sbagliato. Sposta un valore: le foglie cambiano, la somma no.
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Passo 5 · Totale
Somma i percorsi che portano allo stesso esito
Quanto è probabile che un’email venga segnalata, qualunque sia la sua natura? Due percorsi finiscono in «segnalata»: spam segnalato (9%) e posta normale segnalata per errore (9%). Percorsi diversi che portano allo stesso esito si sommano: 9% + 9% = 18%. È la formula della probabilità totale, letta sull’albero.
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Passo 6 · Lettura inversa
Capovolgi la domanda: da dove arriva una email segnalata?
Ora sai che l’email è stata segnalata: quanto è probabile che sia davvero spam? Tra i percorsi che finiscono in «segnalata», conta quanti passano da spam: 9% su un totale di 18%, cioè 50%. Il filtro segnala il 90% dello spam, eppure una email segnalata è spam una volta su due: la posta normale è tanta che anche il 10% di errori pesa quanto lo spam vero. Questo è il teorema di Bayes.
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Passo 7 · Provalo
Cambia i numeri e guarda la sorpresa muoversi
Porta lo spam dal 10% all’1%: una segnalata è spam una volta su dodici. Portalo al 50%: sale a 9 volte su 10. Con «Nessun falso allarme» la segnalazione diventa certezza; con «Filtro inutile» (50% e 50%) segnalare non dice niente e la probabilità resta quella di partenza. La lettura inversa dipende da quanto è frequente l’evento, non solo da quanto è bravo il filtro.
Che cos'è ogni elemento del disegno
Nella figura queste spiegazioni compaiono passando il mouse sull'elemento. Qui sono tutte in chiaro.
- Una biforcazione
- I rami che escono dallo stesso punto sono tutti i modi in cui può andare avanti la storia, quindi le loro probabilità sommano sempre 100%. Per questo ne scegli una sola, trascinandola, e l’altra è il resto. Più il ramo è spesso, più è probabile.
- Il secondo livello: probabilità condizionate
- Ogni punto del primo livello ha la sua coppia di rami, con i suoi numeri: la probabilità che il filtro segnali, sapendo già se l’email è spam o no. Non sono due versioni dello stesso numero, sono due numeri diversi da fissare.
- Le foglie: un percorso intero
- Una foglia è la fine di un percorso. La sua probabilità è il prodotto dei due rami attraversati, scritto accanto: «10% × 90% = 9%». Le quattro foglie sono tutti e soli gli scenari possibili, quindi sommano 100%.
- La probabilità totale
- Si sommano le foglie che finiscono nello stesso esito, qui «segnalata», anche se vengono da rami diversi. Sono evidenziate in blu: moltiplichi lungo il percorso, sommi tra i percorsi.
- La lettura inversa (Bayes)
- Sai già com’è finita e vuoi risalire all’inizio. Il numeratore è la foglia che ti interessa, evidenziata in arancio; il denominatore è la somma di tutte le foglie che finiscono nello stesso esito. È una frazione, non un ramo dell’albero.
Tre domande per capire se ti è entrato.
Prima prova a rispondere guardando la figura, poi apri la risposta.
1. Lo spam è il 20% della posta, il filtro segnala il 50% dello spam e il 10% della posta normale. Quanto vale il percorso «normale e segnalata»?
La posta normale è il resto di 20%, cioè 80%, e il filtro ne segnala per errore il 10%: 80% × 10% = 8%. Su 1000 email sono 80 falsi allarmi.
2. Con gli stessi numeri, quanto è probabile che un’email sia segnalata? E se è segnalata, quanto è probabile che sia spam?
Spam e segnalata: 20% × 50% = 10%. Normale e segnalata: 8%. Segnalate in tutto: 10% + 8% = 18%. Lettura inversa: 10% / 18% ≈ 55,6%. Più di metà delle segnalate è spam, anche se il filtro ne prende solo metà: qui lo spam è abbastanza frequente da reggere i falsi allarmi.
3. Lo spam è l’1% della posta, il filtro segnala il 95% dello spam e il 5% della posta normale. Un’email è segnalata: è spam al 95%?
No: 95% è la probabilità di essere segnalata sapendo che è spam, un ramo dell’albero, mentre la domanda chiede la lettura inversa. Spam e segnalata: 1% × 95% = 0,95%. Normale e segnalata: 99% × 5% = 4,95%. Segnalate in tutto: 5,9%. Quindi 0,95 / 5,9 ≈ 16,1%: circa una segnalata su sei è spam.
Le domande che arrivano sempre.
Quando si moltiplica e quando si somma sull’albero?
Si moltiplica lungo un percorso, perché è una cosa «e poi» un’altra: spam e poi segnalata. Si somma tra percorsi diversi che portano allo stesso esito, perché è una cosa «oppure» un’altra: segnalata perché spam, oppure segnalata per errore. Se esci dall’albero con un risultato oltre il 100%, hai sommato dove dovevi moltiplicare o hai contato due volte lo stesso percorso.
Che differenza c’è tra P(A|B) e P(B|A)?
P(B|A) chiede: se l’email è spam, quanto è probabile che sia segnalata? È un ramo del secondo livello e vale 90%. P(A|B) chiede il contrario: se l’email è segnalata, quanto è probabile che sia spam? Non sta su nessun ramo: si ricava dividendo una foglia per il totale e vale 50%. Sono numeri diversi, e confonderli è l’errore più frequente nei problemi di probabilità condizionata e nei test diagnostici.
Come si legge il teorema di Bayes sull’albero?
Il teorema dice P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B). Sull’albero il numeratore è la foglia del percorso «A poi B» (10% × 90% = 9%) e il denominatore è la somma di tutte le foglie che finiscono in B (9% + 9% = 18%). Non serve ricordare la formula: basta disegnare l’albero, moltiplicare lungo i rami e dividere.
L’albero funziona anche con le estrazioni senza reimmissione o con più di due rami?
Sì, con due accorgimenti. I rami possono essere quanti servono, purché quelli che escono dallo stesso punto sommino 100%. E nelle estrazioni senza reimmissione le probabilità del secondo livello cambiano da ramo a ramo: da un’urna con 3 palline rosse e 2 blu, la prima rossa vale 3/5 e la seconda rossa, dopo la prima, 2/4, quindi il percorso rosso-rosso fa 3/5 × 2/4 = 3/10. L’albero rende evidente perché le due estrazioni non sono indipendenti.
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La probabilità non ti torna?
Quando l'albero diventa un disegno che sai rifare da solo, le formule di probabilità condizionata, totale e Bayes smettono di essere un elenco da ricordare e tornano a essere cose che si ricavano. Si recupera in poche lezioni, con i problemi giusti al momento giusto.