Il quadrato del binomio, tagliato in quattro.
«(a+b)² = a² + b²» è l'errore più comune di tutta l'algebra del biennio — e si vede benissimo perché è sbagliato appena lo disegni: manca un pezzo, anzi due, ed entrambi hanno lo stesso nome. Qui puoi cambiare a e b con due slider e guardare le quattro aree ricalcolarsi dal vivo.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
L'identità
La figura interattiva
Usa «Avanti» per costruire la dimostrazione un pezzo alla volta, poi trascina gli slider a e b — o scegli una forma già pronta — e guarda le quattro aree e la somma ricalcolarsi.
Passa il mouse (o tocca) su una parte del disegno — il quadrato, una regione, la somma — per sapere che cos’è.
L’errore che (quasi) tutti fanno una volta
Molti scrivono (a + b)² = a² + b², come se il quadrato «si distribuisse» sulla somma. Non torna: prova con a = 2 e b = 3. (2+3)² fa 25, ma 2² + 3² fa solo 13. Mancano 12 — e quei 12 sono esattamente 2 · 2 · 3, il pezzo che questa figura mostra.
a² = 252ab = 30b² = 9(a + b)² = 64
Con a = 5 e b = 3: 25 + 15 + 15 + 9 = 64, esattamente (a + b)² = 64.
La dimostrazione, passo per passo
Gli stessi 6 passi della figura, tutti insieme — nello stesso ordine, per leggerli di seguito o ripassarli senza toccare niente.
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Passo 1 · L’errore
L’errore che (quasi) tutti fanno una volta
Molti scrivono (a + b)² = a² + b², come se il quadrato «si distribuisse» sulla somma. Non torna: prova con a = 2 e b = 3. (2+3)² fa 25, ma 2² + 3² fa solo 13. Mancano 12 — e quei 12 sono esattamente 2 · 2 · 3, il pezzo che questa figura mostra.
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Passo 2 · Il quadrato
Si parte da un quadrato di lato a + b
a e b sono due segmenti messi in fila: insieme formano il lato del quadrato grande, e l’area di quel quadrato è per definizione (a + b) al quadrato — è la stessa cosa, disegnata invece che scritta.
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Passo 3 · Il taglio
Un taglio orizzontale e uno verticale, alla stessa distanza
Il taglio verticale sta ad a dal lato sinistro, quello orizzontale ad a dal lato superiore — lo stesso a in entrambi i casi. Il quadrato si divide così in quattro rettangoli, non a caso: sono le quattro combinazioni possibile fra «il pezzo a» e «il pezzo b».
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Passo 4 · Le regioni
Quattro regioni: a², ab, ab, b²
In alto a sinistra un quadrato di lato a, area a². In basso a destra un quadrato di lato b, area b². Gli altri due sono rettangoli a × b, area ab ciascuno — e sono due, non uno: è lì che si nasconde il termine che l’errore iniziale perdeva.
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Passo 5 · La somma
Sommale tutte: a² + 2ab + b²
Le due aree ab sono uguali, quindi insieme fanno 2ab. L’area del quadrato grande — che sapevamo già essere (a + b)² — è la somma delle quattro regioni: a² + 2ab + b². Non è una regola da imparare a memoria, è un conto di aree che si può ridisegnare ogni volta.
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Passo 6 · Provalo
Cambia a e b e guarda l’identità restare vera
Trascina gli slider: il quadrato si ridisegna, i numeri sotto cambiano, ma la somma delle quattro aree torna sempre uguale a (a + b)². Prova a rendere a e b molto diversi, o uguali: l’identità non ha eccezioni.
Che cos'è ogni regione del disegno
Nella figura queste spiegazioni compaiono passando il mouse sull'elemento. Qui sono tutte in chiaro.
- Il quadrato grande
- Lato a + b, area (a + b)². È il punto di partenza: tutto il resto è solo un modo diverso di contare la stessa area.
- Il quadrato a²
- Lato a, l’angolo in alto a sinistra. La sua area è a per a, cioè a².
- I due rettangoli ab
- Lato a per lato b, uno sopra e uno sotto il taglio. Sono due rettangoli identici: insieme valgono 2ab, il termine «di mezzo» dell’identità.
- Il quadrato b²
- Lato b, l’angolo in basso a destra. La sua area è b per b, cioè b².
- La somma delle quattro aree
- a² + ab + ab + b², cioè a² + 2ab + b². Uguale, sempre, all’area del quadrato grande (a + b)² — perché è la stessa area, solo divisa in quattro pezzi.
Le domande che arrivano sempre.
Perché (a + b)² non è a² + b²?
Perché (a + b)² significa (a + b) moltiplicato per (a + b), e quel prodotto ha quattro termini, non due: a·a, a·b, b·a e b·b. I due termini misti a·b e b·a sono uguali e si sommano in 2ab, che l’errore comune perde del tutto.
Funziona anche con i numeri negativi?
Sì: (a − b)² = a² − 2ab + b², la stessa identità con b sostituito da −b. Il segno di 2ab cambia perché a·(−b) e (−b)·a sono negativi, ma la struttura — un quadrato, due rettangoli uguali, un quadrato — resta la stessa.
A cosa serve nella pratica, oltre a semplificare i calcoli?
È il primo esempio di «prodotto notevole»: una scorciatoia di calcolo che si userà per anni, da scomposizioni algebriche fino a completare il quadrato nelle equazioni di secondo grado. Chi la impara come un disegno, e non come una formula da ricordare, la applica correttamente molto più a lungo.
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I prodotti notevoli non tornano mai?
Il quadrato del binomio è il primo di una famiglia che si usa per anni — scomposizioni, equazioni di secondo grado, radicali. Chi lo impara come un disegno, non come una formula, non lo sbaglia più.