La differenza di quadrati, ricomposta a mano.
a² − b² non è un quadrato: è un rettangolo travestito. Togli un angolo b × b da un quadrato di lato a, taglia quello che resta in un punto solo e riaccostalo — ottieni un rettangolo (a+b) × (a−b) della stessa area. Qui puoi vederlo succedere, non solo leggerlo.
a² − b² = (a + b)(a − b)
L'identità
La figura interattiva
Usa «Avanti» per seguire la costruzione un pezzo alla volta, poi trascina gli slider a e b — b resta sempre più piccolo di a — o passa dalla vista «quadrato» alla vista «rettangolo» con l'interruttore qui sotto.
Passa il mouse (o tocca) su una parte del disegno — il quadrato, l’angolo, il rettangolo — per sapere che cos’è.
L’errore che si confonde con il quadrato del binomio
Qualcuno scrive a² − b² = (a − b)², confondendola con l’identità del binomio. Non è la stessa cosa: con a = 5 e b = 3, a² − b² fa 16, ma (a − b)² fa solo 4. La differenza di quadrati non è un quadrato — è un prodotto, e questa figura mostra perché.
a² − b² = 40(a + b)(a − b) = 40a + b = 10a − b = 4
Con a = 7 e b = 3: 7² − 3² = 40 = (7+3) × (7−3).
La costruzione, passo per passo
Gli stessi 6 passi della figura, tutti insieme — nello stesso ordine, per leggerli di seguito o ripassarli senza toccare niente.
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Passo 1 · L’errore
L’errore che si confonde con il quadrato del binomio
Qualcuno scrive a² − b² = (a − b)², confondendola con l’identità del binomio. Non è la stessa cosa: con a = 5 e b = 3, a² − b² fa 16, ma (a − b)² fa solo 4. La differenza di quadrati non è un quadrato — è un prodotto, e questa figura mostra perché.
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Passo 2 · Il quadrato
Si parte da un quadrato di lato a
La sua area è a². Da qui immaginiamo di togliere un angolo: un quadratino di lato b, con b più piccolo di a — e quello che resta è a² − b², la quantità che ci interessa.
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Passo 3 · L’angolo tolto
Un angolo b × b viene tolto
In alto a destra, un quadratino di lato b e area b². Quello che resta del quadrato grande — la forma a «L», detta gnomone — ha area a² − b² per costruzione: è il quadrato meno l’angolo.
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Passo 4 · Lo gnomone
Lo gnomone si taglia in due pezzi rettangolari
Un solo taglio, alla stessa altezza dell’angolo tolto, divide la forma a «L» in due rettangoli: uno stretto e alto (a − b) × b, uno largo e basso a × (a − b). Insieme valgono ancora a² − b² — un taglio non cambia l’area totale.
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Passo 5 · La ricomposizione
Il pezzo stretto scivola accanto all’altro
Ruotato e spostato, il pezzo (a − b) × b si affianca all’altro senza sovrapposizioni né buchi: insieme formano un rettangolo pulito, largo a + b e alto a − b. La sua area, (a + b)(a − b), è la stessa area di prima: a² − b².
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Passo 6 · Provalo
Cambia a e b e guarda il rettangolo ricomporsi
Trascina gli slider — b resta sempre più piccolo di a, altrimenti non ci sarebbe gnomone da tagliare. A ogni combinazione, l’area del rettangolo finale e quella dello gnomone di partenza coincidono sempre.
Che cos'è ogni pezzo del disegno
Nella figura queste spiegazioni compaiono passando il mouse sull'elemento. Qui sono tutte in chiaro.
- Il quadrato di lato a
- Il punto di partenza, area a². L’angolo in alto a destra sta per essere tolto.
- L’angolo tolto, b × b
- Un quadratino di lato b, area b². È la quantità che si sottrae ad a².
- Lo gnomone
- La forma a «L» che resta dopo aver tolto l’angolo: il quadrato grande meno il quadratino. La sua area è esattamente a² − b², per costruzione, non per coincidenza.
- Il taglio
- Un solo taglio orizzontale, alla stessa altezza dell’angolo tolto, divide lo gnomone in due rettangoli senza cambiarne l’area totale.
- Il rettangolo ricomposto
- Largo a + b, alto a − b. La sua area, (a + b)(a − b), è la stessa dello gnomone di partenza: ecco perché a² − b² = (a + b)(a − b).
Le domande che arrivano sempre.
Perché a² − b² non è (a − b)²?
(a − b)² è (a − b) moltiplicato per se stesso: a² − 2ab + b². a² − b² è tutta un’altra quantità — manca il −2ab e il segno di b² è opposto. Sono due identità diverse che si assomigliano solo nei simboli usati.
Perché b deve essere più piccolo di a in questa figura?
Perché la costruzione toglie un angolo b × b da un quadrato a × a: se b fosse uguale o più grande di a, l’angolo coprirebbe l’intero quadrato (o più) e non resterebbe gnomone da tagliare. L’identità algebrica resta vera anche con b ≥ a, ma perde il significato di «area che resta».
A cosa serve in pratica?
È lo strumento più veloce per scomporre certe espressioni algebriche e per razionalizzare denominatori con radicali (moltiplicando per la «differenza coniugata»). Riconoscerla a colpo d’occhio — due quadrati, un segno meno in mezzo — fa risparmiare passaggi in molti esercizi di algebra e di analisi.
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Le scomposizioni algebriche non tornano mai?
La differenza di quadrati torna continuamente: nelle scomposizioni, nella razionalizzazione dei radicali, nelle equazioni di secondo grado. Riconoscerla a colpo d'occhio fa risparmiare tempo per anni.