Montante e sconto: interesse semplice, composto e sconto commerciale

Tutta la matematica finanziaria parte da un’idea semplice: un euro di oggi vale più di un euro di domani, perché nel frattempo può fruttare interesse. Le formule di montante e di sconto sono i due modi di spostare una somma nel tempo: avanti (capitalizzare) e indietro (attualizzare). Qui le vediamo con esempi numerici controllati.

Montante a interesse semplice

Se versi un capitale $C$ al tasso annuo $i$ per $t$ anni e gli interessi non producono altri interessi, il montante è:

Esempio: $C=5000$, $i=4\%$, $t=3$ anni:

Gli interessi sono $600$ euro: $200$ ogni anno, sempre uguali.

Montante a interesse composto

Nel regime composto gli interessi maturati si sommano al capitale e producono a loro volta interesse:

Con gli stessi dati:

Il confronto è istruttivo: dopo 3 anni la differenza è di $24,32$ euro, e cresce con la durata. Per $t<1$ il regime semplice rende di più, per $t>1$ il composto: è un controllo veloce da fare sul risultato.

Valore attuale: il percorso inverso

Il valore attuale $V$ di una somma $M$ esigibile fra $t$ anni si ottiene invertendo la formula del montante. In regime composto:

Esempio: $M=10000$ fra 5 anni, $i=3\%$:

Sconto commerciale e sconto razionale

Quando si anticipa un credito (per esempio un effetto), la banca applica uno sconto. Ci sono due convenzioni.

Sconto commerciale, con tasso di sconto $d$ e durata $t$ in anni, su un valore nominale $N$:

Sconto razionale, con tasso di interesse $i$:

Esempio: $N=10000$, tasso $6\%$, durata 3 mesi ($t=0,25$ anni).

• Commerciale: $D_c=10000\cdot 0,06\cdot 0,25=150$, quindi $V_c=9850$.
• Razionale: $D_r=\frac{10000\cdot 0,06\cdot 0,25}{1,015}\approx 147,78$, quindi $V_r\approx 9852,22$.

Lo sconto commerciale è maggiore: l’interesse è calcolato sul valore nominale e non sul valore attuale. Per questo il tasso di sconto “pesa” più del tasso d’interesse con lo stesso numero.

Gli errori più frequenti

• Mescolare i regimi: una formula semplice con un tasso composto, o viceversa.
• Tenere $t$ in mesi quando il tasso è annuo: va convertito ($3$ mesi $=0,25$ anni).
• Confondere $d$ e $i$: sono tassi diversi, legati da $i=d/(1-dt)$ per la stessa durata.
• Dimenticare che il valore attuale va sotto il nominale: se esce un numero più alto, hai capitalizzato invece di attualizzare.

Come usarle

Quando incontri un esercizio, chiediti tre cose: in che regime siamo?, devo andare avanti o indietro nel tempo?, il tempo è in anni? Con queste tre risposte la formula si sceglie da sola.

Per i prossimi passi (rendite, ammortamento, VAN e TIR) ci sono le ripetizioni di matematica finanziaria; per vedere un’applicazione completa leggi come si calcola la rata di un mutuo.