Come si calcola la rata di un mutuo: l'ammortamento alla francese

Quando si restituisce un prestito con rate tutte uguali, ogni rata contiene due cose: gli interessi sul debito che resta e una parte di capitale che lo riduce. È l’ammortamento alla francese, il più diffuso nei mutui, e una delle prime applicazioni della matematica finanziaria. Qui ricaviamo la formula e la applichiamo a un esempio completo, con tutti i numeri controllabili.

Cosa serve sapere

Chiamiamo $C$ il capitale preso a prestito, $i$ il tasso per periodo (per un tasso annuo nominale $j$ con rate mensili si usa $i=j/12$) e $n$ il numero di rate. Il prestito è ripagato se il valore attuale delle $n$ rate uguaglia $C$:

Il fattore che moltiplica $R$ è il valore attuale di una rendita di $n$ rate unitarie posticipate: è lo stesso strumento che serve per le rendite, usato al contrario. Risolvendo rispetto alla rata $R$:

Un esempio completo

Mutuo di $C=100000$ euro, tasso annuo nominale $3\%$, durata 20 anni con rate mensili. Allora $i=0,03/12=0,0025$ e $n=20\cdot 12=240$.

La rata mensile è di circa 554,60 euro.

Come si divide la prima rata

Alla prima scadenza il debito è ancora tutto $100000$, quindi gli interessi sono:

La quota capitale è la differenza: $554,60-250,00=304,60$ euro. Il debito residuo scende a $99695,40$, e alla rata successiva gli interessi saranno calcolati su quella cifra, un poco più bassa. Per questo nell’ammortamento alla francese gli interessi diminuiscono e la quota capitale aumenta a ogni rata, mentre la somma resta costante.

Dopo un anno

Ripetendo il calcolo per 12 rate si trova un debito residuo di circa $96294,15$ euro. In 12 rate si versano circa $6655$ euro, ma solo $3705,85$ sono capitale: il resto, circa $2949$ euro, sono interessi. È la ragione per cui, nei primi anni, estinguere anticipatamente fa risparmiare più interessi che negli ultimi.

Quanto si paga in tutto

Moltiplicando la rata per il numero di rate si ottiene il totale versato:

Gli interessi complessivi sono quindi circa $33103$ euro. Le cifre sono arrotondate al centesimo, quindi un piano reale calcolato dalla banca può differire di qualche centesimo.

Gli errori più frequenti

• Usare il tasso annuo con rate mensili: il tasso va portato al periodo ($j/12$), altrimenti la rata risulta sbagliata di molto.
• Dimenticare che $n$ conta le rate, non gli anni.
• Confondere tasso nominale e tasso effettivo: qui $0,03$ è nominale annuo; il tasso mensile equivalente a un $3\%$ effettivo annuo sarebbe $1,03^{1/12}-1$, che dà un numero diverso.
• Pensare che la rata contenga sempre gli stessi interessi: cambia la composizione, non l’importo.

Come allenarsi

Prendi lo stesso capitale e cambia un dato alla volta: durata a 10 anni, poi tasso al $5\%$. Prevedi prima se la rata sale o scende, poi calcolala. Confronta infine il totale degli interessi: è il modo più rapido per capire come pesano durata e tasso.

Se nel tuo corso di matematica finanziaria o di economia trovi difficile passare dalla formula all’esercizio, guarda la pagina sulle ripetizioni di matematica finanziaria: partiamo dai tuoi esercizi, senza ripetere tutto il programma.