Matematica del TOLC-I: argomenti ed esercizi svolti

Fine settembre 2026: la sessione autunnale del TOLC-I (ottobre-novembre, posti residui) è aperta, e chi si iscrive ora lo sostiene fra quattro e otto settimane. Per chi è in quinta superiore, cominciare adesso a lavorare sulla matematica del TOLC-I — senza aspettare la maturità — significa arrivare pronto alle sessioni invernale-primaverile di inizio 2027, quando ci sarà tempo per prepararsi con calma e senza sovrapporsi allo studio per l’esame di stato. Ne ho già scritto in generale nella guida completa al TOLC-I: qui non la ripeto, mi concentro solo sulla sezione che decide il punteggio — la matematica — con gli argomenti da conoscere e dieci esercizi svolti nello stile del test.

Perché la matematica conta più delle altre tre sezioni messe insieme

Il TOLC-I ha quattro sezioni disciplinari: Matematica (20 quesiti, 50 minuti), Logica (10/20), Scienze (10/20), Comprensione verbale (10/20) — 50 quesiti in 110 minuti, più una sezione di Inglese (30 quesiti, 15 minuti) senza penalità e senza peso sul punteggio principale. La matematica da sola vale 20 punti su 50 — il 40% del punteggio massimo — con lo stesso schema di tutte le sezioni: +1 corretta, 0 omessa, −0,25 errata.

C’è un secondo motivo per non trascurarla: in molti atenei il punteggio della sola sezione di matematica (a prescindere dal totale) determina se scatta un OFA (obbligo formativo aggiuntivo) da recuperare nel primo anno — verifica sempre la soglia specifica sul bando del tuo corso, perché varia da ateneo ad ateneo. Vale la pena arrivare preparati anche solo per questo: chi entra con un OFA aperto parte il primo anno con un esame in più da smaltire, proprio mentre si abitua al ritmo universitario — ne parlo in dettaglio in come recuperare l’OFA di matematica al primo anno.

Il ritmo: 2,5 minuti a quesito

Cinquanta minuti per venti quesiti fanno 2,5 minuti a domanda in media, ma non tutte le domande costano lo stesso: un’equazione di primo grado si risolve in trenta secondi, un problema di geometria analitica con più passaggi può richiederne quattro o cinque. La strategia che funziona è scorrere prima tutti i venti quesiti, rispondere subito a quelli che riconosci a colpo d’occhio, e lasciare per un secondo giro quelli che richiedono più calcoli. Quando ti trovi arenato su un procedimento lungo e il tempo stringe, conviene omettere e passare oltre: uno 0 costa meno di un −0,25, e quel tempo puoi recuperarlo su un quesito più semplice lasciato indietro.

Gli argomenti del syllabus

Il sillabo ufficiale CISIA (da riverificare ogni anno su cisiaonline.it, perché può cambiare) copre:

• Aritmetica e algebra: numeri interi, razionali, reali; valore assoluto; potenze e radici; logaritmi ed esponenziali; calcolo letterale; polinomi e scomposizione in fattori.
• Equazioni e disequazioni: di primo e secondo grado (o riducibili a esse), fratte, con radicali; sistemi di primo grado.
• Geometria euclidea: segmenti, angoli, rette, luoghi geometrici, proprietà delle figure piane, aree e volumi dei solidi.
• Geometria analitica: rette, parabole, circonferenze, distanze fra punti e da una retta.
• Funzioni elementari: dominio, funzioni lineari, quadratiche, esponenziali, logaritmiche.
• Trigonometria: relazioni fondamentali, grafici, equazioni goniometriche di base.
• Statistica e probabilità elementare: permutazioni, combinazioni, calcolo di probabilità semplice, varianza.

Niente analisi: derivate e integrali restano fuori dal programma. Buona notizia soprattutto per chi arriva da un istituto tecnico o da un liceo non scientifico.

Come organizzare lo studio, partendo da adesso

Se sostieni la sessione autunnale, hai fra quattro e otto settimane. In questo tempo non ha senso rifare tutto il programma di matematica delle superiori: ha senso una simulazione a freddo cronometrata, per capire quali dei sette blocchi del sillabo pesano di più sul tuo punteggio attuale, e poi lavorare in ordine di priorità su quelli — di norma algebra e disequazioni prima (sono la base di quasi tutto il resto), poi geometria analitica e funzioni, infine trigonometria e statistica, che pesano meno quesiti ma si recuperano più in fretta con un ripasso mirato delle formule. Chi punta invece alla finestra invernale-primaverile 2027 ha mesi davanti: in quel caso vale la pena integrare lo studio della matematica del TOLC-I nel ripasso ordinario di quinta, invece di trattarlo come un programma separato — buona parte degli argomenti (equazioni, disequazioni, geometria analitica, trigonometria) sono anche argomenti di verifica scolastica in quel periodo dell’anno.

Dieci esercizi svolti

Ogni quesito ha 5 opzioni come nel test reale. Strategia indicata dopo ogni soluzione.

1. Algebra. Risolvi $2x-5=3x+1$. (a) $x=-6$ (b) $x=6$ (c) $x=-4$ (d) $x=4$ (e) nessuna soluzione.

$2x-3x=1+5\Rightarrow -x=6\Rightarrow x=-6$. Risposta (a). Strategia: isolare la $x$ portando i termini simili dallo stesso lato, senza cambiare segno per distrazione.

2. Disequazione con valore assoluto. Risolvi $|x-3|<2$. (a) $x<1$ (b) $x>5$ (c) $1<x<5$ (d) $-1<x<5$ (e) $x<-1$ o $x>5$.

$|x-3|<2⟺-2<x-3<2⟺1<x<5$. Risposta (c). Strategia: trasformare subito il valore assoluto in doppia disequazione, evitando di ragionare per casi quando la disuguaglianza è "$<$" (con "$>$" servirebbe invece l’unione di due intervalli, come in (e)).

3. Sistema di primo grado. Risolvi $\{\begin{array}{l}x+y=10\\ 2x-y=5\end{array}$. (a) $x=3,y=7$ (b) $x=5,y=5$ (c) $x=7,y=3$ (d) $x=4,y=6$ (e) $x=6,y=4$

Sommando le due equazioni: $3x=15\Rightarrow x=5$, quindi $y=10-5=5$. Risposta (b). Strategia: sommare le equazioni quando i coefficienti di una variabile sono opposti o facilmente resi tali, invece di sostituire subito — è più veloce sotto pressione.

4. Geometria euclidea. Un triangolo rettangolo ha i cateti di $6$ cm e $8$ cm. Quanto misura l’ipotenusa? (a) $10$ cm (b) $12$ cm (c) $14$ cm (d) $9$ cm (e) $\sqrt{48}$ cm

$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. Risposta (a). Strategia: riconoscere la terna pitagorica 6-8-10 (multiplo di 3-4-5) evita il calcolo della radice.

5. Geometria analitica. Trova la distanza fra i punti $A(1,2)$ e $B(4,6)$. (a) $3$ (b) $4$ (c) $5$ (d) $7$ (e) $\sqrt{20}$

$d=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Risposta (c). Strategia: stessa terna 3-4-5 dell’esercizio precedente — vale la pena memorizzarla, torna spesso.

6. Esponenziali. Risolvi $3^{2x-1}=27$. (a) $x=1$ (b) $x=2$ (c) $x=3$ (d) $x=\frac{3}{2}$ (e) $x=14$

$3^{2x-1}=3^3\Rightarrow 2x-1=3\Rightarrow x=2$. Risposta (b). Strategia: scrivere entrambi i membri come potenza della stessa base prima di uguagliare gli esponenti — è più rapido che passare ai logaritmi quando la base coincide già. L’opzione (e) è la trappola di chi divide 27 per 2 invece di riconoscere $27=3^3$.

7. Logaritmi. Qual è il dominio di $f(x)=\log (x-2)$? (a) $x>0$ (b) $x\ge 2$ (c) $x>2$ (d) $x<2$ (e) $x\ne 2$

L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo: $x-2>0\Rightarrow x>2$. Risposta (c). Strategia: il dominio dei logaritmi è l’errore più frequente del test — l’argomento è strettamente maggiore di zero, mai $\ge$.

8. Trigonometria. Quanto vale $\sin 30^{\circ }+\cos 60^{\circ }$? (a) $0$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $1$ (d) $\sqrt{3}$ (e) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ e $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, quindi la somma è $1$. Risposta (c). Strategia: memorizzare i valori notevoli di $0^{\circ }$, $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$ evita di dover ricostruire i triangoli ogni volta, con un netto risparmio di tempo.

9. Probabilità. Da un mazzo di 40 carte napoletane (4 semi da 10 carte) estrai una carta a caso. Qual è la probabilità che sia una figura (fante, cavallo o re)? (a) $\frac{1}{40}$ (b) $\frac{3}{10}$ (c) $\frac{1}{4}$ (d) $\frac{3}{4}$ (e) $\frac{1}{10}$

Le figure sono 3 per seme, quindi $3\cdot 4=12$ su 40: $\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$. Risposta (b). Strategia: contare prima i casi favorevoli per un seme e poi moltiplicare, e semplificare la frazione prima di confrontarla con le opzioni — i distrattori spesso nascono da chi conta un seme solo, come la (e) che corrisponde a $\frac{4}{40}$ di chi pensa a una sola figura per seme.

10. Disequazione di secondo grado. Risolvi $x^2-x-6>0$. (a) $-2<x<3$ (b) $x<-2$ o $x>3$ (c) $x<-3$ o $x>2$ (d) $-3<x<2$ (e) nessuna soluzione

Le radici di $x^2-x-6=0$ sono $x=-2$ e $x=3$ (infatti $(x+2)(x-3)=x^2-x-6$), parabola verso l’alto. La disequazione "$>0$" è verificata fuori dalle radici. Risposta (b). Strategia: per una parabola con concavità verso l’alto, "$<0$" è sempre l’intervallo interno fra le radici, "$>0$" è sempre esterno — memorizzare questa regola evita di doverla ridimostrare ogni volta con lo studio del segno. Le opzioni (c) e (d) sono di chi sbaglia il segno delle radici.

Errori tipici

Ricontrolla ogni risposta due volte quando il tempo lo consente: un errore di segno o di calcolo costa −0,25, esattamente come non sapere l’argomento.

Verificati con la simulazione dedicata

Sul sito trovi la simulazione TOLC-I, struttura e punteggio identici al test CISIA: risposta corretta gratis, soluzione guidata passo passo con la prima lezione. Per la strategia generale del test — tempi, piano di studio, le altre tre sezioni — c’è la guida completa al TOLC-I; per la logica del punteggio e quando conviene rispondere a caso, Punteggio TOLC: come si calcola; se il punteggio in matematica non basta a evitare l’OFA, come recuperarlo al primo anno. Per un ripasso più ampio, /materie/matematica e /materie/test-ammissione.

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